计算方法插值法演示

（优选）计算方法插值法课件2023/3/241当前1页，总共114页。2023/3/242Chapter2插值法

表示两个变量x,y内在关系一般由函数式y=f(x)表达。但在实际问题中的函数是多种多样的,有下面两种情况：（1）由实验观测而得的一组离散数据(函数表)，显然这种函数关系式y=f(x)存在且连续，但未知。（2）函数解析表达式已知，但计算复杂，不便使用。通常也列函数表，如y=sin(x),y=lg(x)2.1引言当前2页，总共114页。2023/3/243

办法是：根据所给的y=f(x)的函数表，构造一个简单的连续函数P(X)近似替代f(x)。Chapter2插值法2.1引言

近似代替即逼近的方法有很多种：插值方法、最佳一致逼近、最佳平方逼近、曲线拟合。

由于问题的复杂性,直接研究函数f(x)可能很困难,但为了研究函数的变化规律,有时要求不在表上的函数值，怎么办？？

简单连续函数P(x)指可用四则运算计算的函数:如有理函数(分式函数),多项式或分段多项式。当前3页，总共114页。2023/3/244Chapter2插值法2.1引言插值问题的数学提法：

已知函数y=f(x)在n+1个点x0,x1,…,xn上的函数值yi=f(xi)(i=0,1,…,n)，求一个简单函数y=P(x)，使其满足P(xi)=yi,（i=0,1,…,n）。即要求该简单函数曲线要经过y=f(x)上已知的这n+1个点(x0,y0),(x1,y1),…,(xn,yn),同时在其它x∈[a,b]上要估计误差R(x)=f(x)-P(x)。当前4页，总共114页。2023/3/245Chapter2插值法2.1引言重要术语

对于n+1个基点的插值问题，我们称：f(x)为被插值函数；P(x)为插值函数；x0,x1,…,xn为插值基点或插值节点；P(xk)=f(xk),k=0,1,…,n为插值条件；[a,b]为插值区间。注释：对于早期的插值问题来说，f(x)通常是已知的，比如对数函数，指数函数，三角函数等，这些问题现在已经不用插值法来计算了；对于现在的许多实际问题来说，我们并不知道f(x)的具体形式，所对应的函数值可能是由测量仪器或其他物理设备中直接读出来的，f(x)只是一个概念中的函数。当前5页，总共114页。2023/3/246Chapter2插值法2.1引言多项式插值

对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。

实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形式为：Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

所以只要确定了n+1个系数a0，a1，…，a2，an，我们便确定了一个插值多项式。当前6页，总共114页。2023/3/247Chapter2插值法yx2.1引言x0x1x2…xn-1xny0y1y2多项式插值的几何意义：

多项式Pn(x)，其几何曲线过给定的y=f(x)的n+1个点(xi,yi)i=0,1,2,…,n。ynyn-1当前7页，总共114页。2023/3/248Chapter2插值法2.2拉格朗日插值Lagrange插值当前8页，总共114页。2023/3/249Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性已知y=f(x)的函数表，且xi(i=0,1,…,n)两两互异，xi∈[a,b]。求次数不超过n的多项式使得Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n此问题中Pn(x)是否存在？存在是否唯一？如何求？显然关键是确定多项式Pn(x)的系数a0,a1,…,an。当前9页，总共114页。2023/3/2410Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性定理：在n+1个互异的插值节点x0,x1,…,xn

上满足插值条件Pn(xi)=yi,i=0,1,2…,n的次数不超过n的代数多项式Pn(x)存在且唯一。分析：为求主要考虑插值条件当前10页，总共114页。2023/3/2411Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-1插值多项式的唯一性证明：由插值条件，有其系数矩阵的行列式为关于未知量a0,a1,…,an的非齐次线性方程组当前11页，总共114页。2023/3/2412Chapter2插值法2.2拉格朗日插值例给定f(x)的函数表，求f(x)的次数不超过3的插值多项式。x-1125y-77-435解：设则，解方程组得a0=10,a1=5,a2=-10,a3=2即P3(x)=10+5x-10x2+2x3当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！！当前12页，总共114页。2023/3/2413Chapter2插值法2.2拉格朗日插值2-2线性插值与抛物插值问题的提法：已知函数y=f(x)的函数表求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x满足插值条件L1(xk)=yk,L1(xk+1)=yk+1。xxkxk+1yykyk+1分析:过两点(xk,yk),(xk+1,yk+1)作直线y=L1(x)——线性插值解:由点斜式方程称为线性插值基函数,而L1(x)是它们的线性组合。当前13页，总共114页。2023/3/2414Chapter2插值法2.2拉格朗日插值L1(X)L1(X)∴lg2.718≈L1(2.718)=0.43428当前14页，总共114页。2023/3/24152.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-2线性插值与抛物插值

利用线性插值法对函数y=f(x)进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替曲线y=f(x)。

显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线性插值的误差很大。

为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似代替复杂曲线y=f(x)。二次多项式函数的曲线为抛物线，所以我们构造插值函数L2(x)，即n=2。当前15页，总共114页。2023/3/24162.2拉格朗日插值Chapter2插值法问题的提法：已知y=f(x)的函数表，x0,x1,x2为互异节点，求一个次数不超过2的多项式L2(x)=a0+a1x+a2x2

：L2(x0)=y0,L2(x1)=y1,L2(x2)=y2xx0x1x2yy0y1y2几何意义:L2(x)为过三点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)的抛物线。方法：基函数法，构造基函数l0(x),l1(x),l2(x)

(三个二次式)

使L2(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+y2l2(x)满足插值条件。当前16页，总共114页。2023/3/24172.2拉格朗日插值Chapter2插值法求二次多项式l0(x)：l0(x0)=1,l0(x1)=0,l0(x2)=0<=>l0(x)=C(x-x1)(x-x2)只须求C=?由l0(x0)=1

得C(x0-x1)(x0-x2)=1∴C=1/(x0-x1)(x0-x2)同理求得l1(x),l2(x),即抛物插值的插值基函数如下:抛物插值问题的解:当前17页，总共114页。2023/3/24182.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-3拉格朗日插值多项式已知y=f(x)在两两互异节点x0,x1,…,xn的函数值y1,y2,…,yn,求n次多项式Ln(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,满足插值条件Ln(xi)=yi.i=0,1,2,3,…,n。基函数法：求n+1个n次多项式l0(x),l1(x),…,ln(x)使

Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)。Ln(x)须满足插值条件Ln(xi)=yii=0,1,2,3,…,n即y0l0(xi)+y1l1(xi)+…+yili(xi)…+ynln(xi)=yi当前18页，总共114页。2023/3/24192.2拉格朗日插值Chapter2插值法∵li(x0)=0,…,li(xi-1)=0,li(xi+1)=0,…,li(xn)=0即li(x)有n个零点，x0,x1,…,xk-1,xk+1,…,xn。求插值基函数li(x)与节点有关，而与f无关当前19页，总共114页。2023/3/24202.2拉格朗日插值Chapter2插值法

于是，满足插值条件Ln(xi)=yi.i=0,1,2,3,…,n的插值多项式为：

上式即为拉格朗日（Lagrange）插值多项式。当n=1，或n=2时分别就是线形插值与抛物插值公式。基函数的等价形式当前20页，总共114页。2023/3/24212.2拉格朗日插值Chapter2插值法2-4插值余项函数y=f(x)与其Lagrange插值多项式Ln(x)：(1)Ln(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,…,n；(2)而对于插值区间[a,b]内插值节点xi(i=1,2,…,n)以外的点x,一般Ln(x)≠f(x)，存在误差。Def:对于一般的n+1个基点的多项式插值问题，设f(x)为被插值函数,Ln(x)为相应的插值多项式,记Rn(x)为f(x)与Ln(x)的差,即

Rn(x)=f(x)-Ln(x)

则Rn(x)就是用Ln(x)近似替代f(x)的误差,我们称它为插值余项。显然，由插值多项式的唯一性可以导出插值余项的唯一性。当前21页，总共114页。2023/3/24222.2拉格朗日插值Chapter2插值法利用Lagrange插值公式Ln(x)来计算，结果是否可靠，要看余项Rn(x)是否足够小。Rn(x)=？

设a≤x0<x1<…<xn≤b，且满足条件f∈cn[a,b],f(n+1)在[a,b]内存在,考察插值误差，Rn(x)=f(x)-Ln(x)

。Rn(x)至少有个n+1根把x看作是（任意）固定的点，作辅助函数(t)有n+2个不同的根x0,…,xn,x根据Rolle定理注意：此处是对t求导当前22页，总共114页。2023/3/2423Chapter2插值法2.2拉格朗日插值定理：设a≤x0<x1<…<xn≤b，且满足条件f∈cn[a,b],f(n+1)在[a,b]内存在,Ln(x)为相应的插值多项式，Rn(x)为插值余项，则对任意固定的x∈(a,b)，有其中ξ∈(a,b),ξ依赖于x，ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)注：通常不能确定，而是估计将作为误差上限。当f(x)为任一个次数≤n的多项式时,可知，即插值多项式对于次数≤n的多项式是精确的。当前23页，总共114页。2023/3/2424Chapter2插值法线性插值的截断误差为二次插值的截断误差为:2.2拉格朗日插值2-4插值余项当前24页，总共114页。2023/3/24252.2拉格朗日插值Chapter2插值法L2(x)当前25页，总共114页。2023/3/2426例．求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型插值多项式。2.2拉格朗日插值Chapter2插值法解：用4次插值多项式对5个点插值。x0=2，x1=4，x2

=6，x3=8，x4=10，y0=0，y1

=3，y2

=5，y3

=4，y4

=1;当前26页，总共114页。2023/3/24272.2拉格朗日插值Chapter2插值法解:当前27页，总共114页。2023/3/2428Chapter2插值法2.2拉格朗日插值程序设计:程序流程图当前28页，总共114页。2023/3/24292.2拉格朗日插值Chapter2插值法高度(m)0100300100015002000压强(kgf/m2)0.96890.93220.89690.85150.79840.7485

试用二次插值法求1200米处的压强值。

实际应用：已测得某地大气压强随高度变化的一组数据，

当前29页，总共114页。2023/3/2430解：设x为高度，y为大气压强的值，选取(1000,0.8515),(1500,0.7984),(2000,0.7485)三点构造二次插值多项式代入已知的数值，得L2(1200)=0.829802.2拉格朗日插值Chapter2插值法当前30页，总共114页。2023/3/2431Newton插值2.3均差与牛顿插值Chapter2插值法当前31页，总共114页。2023/3/24322.3均差与牛顿插值Chapter2插值法

拉格朗日插值多项式形式对称，计算较方便，但由于Ln(x)依赖于全部节点，若算出所有Ln(x)后精度不满足要求，又需要增加节点，则必须全部重新计算,为了克服这个缺点，我们引进牛顿插值多项式（Newton插值——具有承袭性）。不具有承袭性当前32页，总共114页。2023/3/2433Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值

假设对于具有k+1(k≥0)个插值节点的多项式插值问题，已经得到了相应的插值多项式，如果它不能满足我们的精度要求，则希望通过增加一个插值节点，并利用已得到的来构造新的，具有k+2个插值节点的插值多项式，为此,把表为与一个修正项的和的形式是合理的,即

从而只要确定了，我们即可写出。此时我们称上面的式子是具有承袭性的插值多项式。承袭性的含义：当前33页，总共114页。2023/3/2434Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值

由线性代数的知识可知，任何一个n次多项式都可以表示成共n+1个多项式的线性组合。那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？显然，多项式组线性无关，因此，可以作为插值基函数。当前34页，总共114页。2023/3/2435Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值当前35页，总共114页。2023/3/24362.3均差与牛顿插值Chapter2插值法有再继续下去待定系数的形式将更复杂为此引入差商的概念当前36页，总共114页。2023/3/24372.3均差与牛顿插值Chapter2插值法设f(x)是定义在某区间内,取连续变量值或离散变量值的实值函数，且已知f(x)在在n+1个互异的离散点x0,x1,,xn处的函数值f(x0)，f(x1)，，f(xn),称为f(x)在xk处的零阶差商。均差(差商)为f(x)在xi,xj处的一阶差商。注:(1)差商的几何意义：BAx0x1XY0f[x0,x1]为弦AB的斜率。(2)显然，f[x0,x1]=f[x1,x0]/*divideddifference*/当前37页，总共114页。2023/3/24382.3均差与牛顿插值Chapter2插值法为f(x)在xi,xj,xk处的二阶差商。均差(差商)/*divideddifference*/称一般地,如果定义了f(x)的k-1阶差商,则可以定义f(x)的k阶差商为:这里,k可取值2,…,n。当前38页，总共114页。2023/3/24392.3均差与牛顿插值Chapter2插值法差商具有如下性质(请同学们自证)：可用归纳法证明例：这个性质也表明均差与节点的排列顺序无关(均差的对称性）当前39页，总共114页。2023/3/24402.3均差与牛顿插值Chapter2插值法当前40页，总共114页。2023/3/24412.3均差与牛顿插值Chapter2插值法性质2

差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变。依对称性，对调定义公式左端k阶均差中x0与xk-1的位置，当前41页，总共114页。2023/3/24422.3均差与牛顿插值Chapter2插值法性质4：若f(x)是x的n次多项式，则一阶均差，f[x,x0]是x的n-1次多项式，二阶均差f[x,x0,x1]是x的n-2次多项式；

一般地，函数f(x)的k阶均差f[x,x0,,xk-1]是x的n-k次多项式（k<n），而k>n时，k阶均差为零。当前42页，总共114页。2023/3/24432.3均差与牛顿插值Chapter2插值法差商的计算方法(表格法):规定函数值为零阶差商差商表当前43页，总共114页。2023/3/2444

计算规律：任一个k(≥1)阶均差的数值等于一个分式的值，其分子为所求均差左侧的数减去左上侧的数，分母为所求均差同一行最左边的节点值减去由它往上数第k个节点值。2.3均差与牛顿插值Chapter2插值法xif(xk)1阶2阶3阶4阶x0f(x0)

x1f(x1)f(x0,x1)

x2f(x2)f(x1,x2)f(x0,x1,x2)

x3f(x3)f(x2,x3)f(x1,x2,x3)f(x0,x1,x2,x3)

x4f(x4)f(x3,x4)f(x2,x3,x4)f(x1,x2,x3,x4)f(x0,x1,x2,x3,x

)

┊┊

┊

┊

┊

┊……对角线上的均差是构造牛顿型插值公式的重要数据。当前44页，总共114页。2023/3/2445

例已知函数y=f(x)的观测数据如表，试构造均差表，并求f[2,4,5]及f[2,4,5,6]的值。

x02456f(x)159-413解

n=4,构造均差表

xif(xi)1阶2阶3阶4阶0245621159-4132-13170-515-15f[2,4,5]=-5f[2,4,5,6]=52.3均差与牛顿插值Chapter2插值法当前45页，总共114页。2023/3/24462.3均差与牛顿插值Chapter2插值法例：计算三阶均差解：当前46页，总共114页。2023/3/2447均差表的数据构成一个矩阵F：F00=f(x0)F10=f(x1),F11=f[x0,x1]F20=f(x2),F21=f[x1,x2],F22=f[x0,x1,x2]F30=f(x3),F31=f[x2,x3],F32=f[x1,x2,x3],F33=f[x0,x1,x2,x3]Fi,j-1=f[xi-j+1,…,xi]Fi-1,j-1=f[xi-j,,…,xi-1]计算机上计算均差表的公式

一般有Fi,j=f[xi-j,xi-j+1,…,xi-1,xi]2.3均差与牛顿插值Chapter2插值法当前47页，总共114页。2023/3/24482.3均差与牛顿插值Chapter2插值法牛顿插值/*Newton’sInterpolation*/根据线性插值的点斜式可得牛顿均差型线性插值多项式：牛顿均差型二次插值多项式：当前48页，总共114页。2023/3/24492.3均差与牛顿插值Chapter2插值法牛顿插值公式的构造当前49页，总共114页。2023/3/2450Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值只要把后一式代入前一式，得:牛顿插值公式的构造当前50页，总共114页。2023/3/2451Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值最后一项中,均差部分含有x,是余项部分,记为Rn(x);牛顿插值公式的构造

前面n+1项中,均差部分都不含有x,因而前面n+1项是关于x的n次多项式,记作Nn(x)___牛顿插值公式。由于Rn(xi)=0i=0,1,2,,n;所以Nn(xi)=f(xi)i=0,1,2,…,n当前51页，总共114页。2023/3/2452计算牛顿均差插值多项式的步骤：2.3均差与牛顿插值Chapter2插值法（1）作均差表（2）根据公式计算牛顿型插值多项式（表中对角线上各均差值就是Nn(x)的各项系数）。

当前52页，总共114页。2023/3/2453Chapter2插值法2.3均差与牛顿插值例2:已知121520f(xi)7421xi求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。-1.25-3.5-112741315412301三阶均差二阶均差一阶均差f(xi)x则牛顿三次插值多项式为当前53页，总共114页。2023/3/2454拉格朗日插值与牛顿插值的比较2.3均差与牛顿插值Chapter2插值法1、Ln(x)与Nn(x)均是n次多项式,且均满足插值条件由多项式的唯一性,因而,两个公式的余项是相等的,即2、当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。当前54页，总共114页。2023/3/24552.4埃尔米特插值

许多实际问题不仅要求插值函数在节点上与原来的函数相等(满足插值条件)，而且还要求在节点上的各阶导数值也相等。满足这些条件的插值，称为埃尔米特(Hermite)插值。本节讨论已知两个节点的函数值和一阶导数的情形。Chapter2插值法当前55页，总共114页。2023/3/24562.4埃尔米特插值Chapter2插值法当前56页，总共114页。2023/3/24572.4埃尔米特插值基函数函数值一阶导数X0X1X0X11000010000100001Chapter2插值法当前57页，总共114页。2023/3/24582.4埃尔米特插值Chapter2插值法当前58页，总共114页。2023/3/24592.4埃尔米特插值Chapter2插值法当前59页，总共114页。2023/3/24602.4埃尔米特插值Chapter2插值法当前60页，总共114页。2023/3/24612.4埃尔米特插值Chapter2插值法当前61页，总共114页。2023/3/2462Chapter2插值法2.5分段低次插值/*Piecewisepolynomialapproximation*/多项式插值对于y=f(x)a≤x≤b

给定插值节点x0,x1,…,xn

，构造插值多项式Pn(x)，为使Pn(x)更好地逼近f(x)，我们已经知道插值有多种方法：Lagrange

插值、Newton插值等多种方式。插值的目的就是数值逼近，而数值逼近，为的是得到一个数学问题的足够精确的数值解。分段插值当前62页，总共114页。2023/3/2463Chapter2插值法

高次插值使Pn(x)在较多点上与f(x)相等，但在插值节点外，误差如何？

节点间距较小=>节点多(n较大)=>插值多项式Pn(x)的次数很高(高次插值)

我们已经知道：f(x)在n+1个节点xi(i=0,1,2,…,n)

上的n次插值多项式Pn(x)

的余项设想当节点数增多时会出现什么情况?是否插值多项式Pn(x)的次数越高越好?2.5分段低次插值当前63页，总共114页。2023/3/2464Chapter2插值法例并作图比较。

定义在区间[-5，5]上，这是一个光滑函数，它的任意阶导数都存在。分析：龙格(Runge)现象2.5分段低次插值当前64页，总共114页。2023/3/2465Chapter2插值法解：龙格(Runge)现象2.5分段低次插值当前65页，总共114页。2023/3/2466%lagrangen.mfunctiony=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;

fork=1:nL=1;

forj=1:n

ifj~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

endend

s=s+L*y0(k);

end

y(i)=s;endy;Chapter2插值法龙格(Runge)现象2.5分段低次插值当前66页，总共114页。2023/3/2467%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2);plot(x,z,'k',x,y,'r')axis([-55-1.52]);pause,holdonforn=2:2:10x0=linspace(-5,5,n+1);y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y1=lagrangen(x0,y0,x);plot(x,y1),pauseendy2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x);plot(x,y,'k'),holdoffgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gtext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x^2)')Chapter2插值法龙格(Runge)现象2.5分段低次插值当前67页，总共114页。2023/3/2468Chapter2插值法不同次数的Lagrange插值多项式的比较图2.5分段低次插值当前68页，总共114页。2023/3/2469Chapter2插值法

结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.

从图中，可见，在靠近-5或5时，余项会随n值增大而增大；在0附近插值效果是好的，即余项较小；另一种现象是插值多项式随节点增多而振动更多。龙格(Runge)现象2.5分段低次插值当前69页，总共114页。2023/3/2470

上述现象和定理，告诉我们用高次插值多项式是不妥当的，从数值计算上可解释为高次插值多项式的计算会带来舍入误差的增大，从而引起计算失真。因此，实践上作插值时一般只用一次、二次最多用三次插值多项式。那么如何提高插值精度呢？采用分段插值是一种办法。Chapter2插值法

这个任意阶可导的光滑函数之所以出现这种现象，跟它在复平面上有x=±1是奇点有关。2.5分段低次插值当前70页，总共114页。2023/3/24712.5分段低次插值Chapter2插值法

随着插值节点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值节点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的次数，以减小误差，我们可以采用分段插值的办法。

在区间[a,b]上取n=1个节点x0=a，x1，…，xn=b，对应的函数值f(x)=y0，f(x1)=y1，…，f(xn)=yn，构造函数Ih(x)满足：（1）插值条件：Ih(xk)=yk,(k=0,1,…,n);（2）在每个区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是低次多项式；（3）在整个区间[x0,xn]上Ih(x)连续。Ih(x)称为分段低次插值函数。当前71页，总共114页。2023/3/2472Chapter2插值法2.5分段低次插值分段线性插值

所谓分段线性插值就是通过插值点，用折线段连接起来逼近函数f(x)。设已知节点a=x0<x1<…<xn=b上的函数值f0,…,fn，记hk=xk+1-xk，h=maxhk,求一折线函数Ih(x)，满足：（1）插值条件：Ih(xk)=yk,(k=0,1,…,n);（2）在每个区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是线性函数；（3）在整个区间[x0,xn]上Ih(x)连续。

几何上看，Ih(x)是由点(xi,fi)(i=0,1,…,n)连成的一条折线，在整个区间连续，在节点处1阶导数不连续。当前72页，总共114页。2023/3/24732.5分段低次插值Chapter2插值法由定义可得Ih(x)在每个小区间[xk,xk+1]上的表达式为:

在每个区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，Ih(x)是线性函数；且I(xk)=fk，I(xk+1)=fk+1。当前73页，总共114页。2023/3/24742.5分段低次插值Chapter2插值法当前74页，总共114页。2023/3/24752.5分段低次插值Chapter2插值法

为了紧凑，也可通过分段插值基函数li(x)(i=0,1,2,…,n)的线性组合将分段线性插值函数表示为一个表达式。每个插值结点上所对应的插值基函数li(x)应当满足：(1)

li(x)是分段线性函数；当前75页，总共114页。2023/3/24762.5分段低次插值Chapter2插值法每个插值结点上所对应的插值基函数li(x)应当满足：YX1x0x1x2xn-1xn(3)YX1x0x1xn-1xnxi+1xixi-1YX1x0x1x2xn-1xn当前76页，总共114页。2023/3/24772.5分段低次插值Chapter2插值法

分段线性插值基函数li(x)

只在xi

附近不为零，在其他地方均为零，这种性质称为局部非零性质。

在区间[xk,xk+1]上，只有lk(x),lk+1(x)是非零的，其它基函数均为零，即因此：表达式与表达式是相同的。当前77页，总共114页。2023/3/24782.5分段低次插值Chapter2插值法--------(1)--------(2)显然我们称由(1)(2)式构成的插值多项式为分段线性Lagrange插值多项式当前78页，总共114页。2023/3/24792.5分段低次插值Chapter2插值法内插外插外插当前79页，总共114页。2023/3/24802.5分段低次插值Chapter2插值法例:已知函数在区间[0,5]上取等距插值节点（如下表），并利用它求出的近似值。0.038460.058820.10.20.51yi543210xi解：在每个分段区间上，当前80页，总共114页。2023/3/24812.5分段低次插值Chapter2插值法分段线性插值的误差估计

根据拉格朗日一次插值函数的余项,可以得到分段线性插值函数的插值误差估计。定理：设f(x)在[a,b]上有二阶连续导数f″(x)

，且|f″(x)|≤M2,记,h=max|xi+1-xi|,就有估计：证明：n次Lagrange插值多项式的余项为当前81页，总共114页。2023/3/24822.5分段低次插值Chapter2插值法分段线性插值的误差估计当前82页，总共114页。2023/3/2483收敛性证明：2.5分段低次插值Chapter2插值法当x∈[xk,xk+1]

时另一方面，这时现在证明考虑：

这里ω(h)是函数f(x)在区间[a,b]上的连续模，即对任意两点xˊ，x〞∈[a,b]，只要|xˊ−x〞|≤h，就有称ω(h)为f(x)在[a,b]上的连续模，当f(x)∈C[a,b]时，就有当前83页，总共114页。2023/3/24842.5分段低次插值Chapter2插值法由前式可知，当x∈[a,b]时有收敛性证明：因此，只要f(x)∈C[a,b]，就有在[a,b]上一致成立，故Ih(x)在[a,b]上一致收敛到f(x)。当前84页，总共114页。2023/3/24852.5分段低次插值Chapter2插值法例：设-1

≤x≤1(1)将[-1，1]10等份，用分段线性插值近似计算f(-0.96)。(2)将[-1，1]n等份，用分段线性插值近似计算,问如何选择步长h可使近似计算误差R<10-4?解：(1)插值节点为xi=-1+i/5(i=0,1,…,10),h=1/5因为-0.96∈[-1,-0.8],取此区间为线性插值区间，其上的插值函数为所以f(-0.96)≈

Ih(-0.96)=0.04253当前85页，总共114页。2023/3/24862.5分段低次插值Chapter2插值法(2)插值节点为xi=-1+ih(i=0,1,…,n),h=(b-a)/n=2/n由分段线性插值的余项估计：

|f(x)-Ih(x)|=|R(x)|≤M2h2/8当前86页，总共114页。2023/3/24872.6三次样条插值Chapter2插值法Spline样条插值当前87页，总共114页。2023/3/2488Chapter2插值法2.6三次样条插值什么是样条:是指飞机或轮船等的制造过程中为描绘出光滑的外形曲线(放样)所用的工具。它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个节点,然后再进行拼接,连接全部节点,使之成为一条光滑曲线,且在节点处具有连续的曲率。

当曲线上每一点处都具有切线，且切线随切点的移动而连续转动，这样的曲线称为光滑曲线。当前88页，总共114页。2023/3/2489Chapter2插值法2.6三次样条插值1946年,Schoenberg将样条引入数学,即所谓的样条函数。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。

样条本质上是一段一段的三次多项式拼合而成的曲线，在拼接处,不仅函数是连续的,且一阶和二阶导数也是连续的。当前89页，总共114页。2023/3/2490Chapter2插值法2.6三次样条插值三次样条的应用当前90页，总共114页。2023/3/2491Chapter2插值法2.6三次样条插值三次样条插值函数定义设给定区间[a,b]上n+1个点a=x0<x1<…<xn=b，以及相应的函数值yi=f(xi),i=0,1,…,n。如果函数S(x)满足:(1)在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上，S(x)是不超过三次的多项式，且S(xi)=yi,i=0,1,…,n；则称S(x)是f(x)在基点x0,x1,x2,…,xn上的三次样条插值函数.称xoy平面上的点(xi,yi)(i=0,1,…,n)为样点。当前91页，总共114页。2023/3/2492Chapter2插值法2.6三次样条插值当前92页，总共114页。2023/3/2493Chapter2插值法2.6三次样条插值当前93页，总共114页。2023/3/2494Chapter2插值法2.6三次样条插值

例给定区间[0,3]上3个点的函数值f(0)=0，f(1)=2，f(3)=4,试求数a,b,c,d,使函数S(x)为给定点上的三次样条插值函数。解设

根据定义，由得d=0，故则由

由由由求得

当前94页，总共114页。2023/3/24952.6三次样条插值Chapter2插值法一般使用第一、二类边界条件,常用第二类边界条件。当前95页，总共114页。2023/3/2496Ch