倒易点阵及电子衍射基础

倒易点阵及电子衍射基础第1页/共139页第1章倒易点阵及电子衍射基础1.1晶体结构知识的简单回顾1.1.1点阵1.1.2晶体学点群1.2倒易点阵1.3.正点阵与倒易点阵的指数互换1.4.晶面间距与晶面夹角公式1.5Bragg定理及其几何图解1.6晶带定律与零层倒易截面1.7结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.8倒易点阵与电子衍射图的关系第2页/共139页第1章倒易点阵及电子衍射基础

晶体内原子、离子、分子或集团在三维空间内呈周期性规则排列。这些质点可以抽象为几何点，构成的点列称为空间点阵，组成它的几何点称为阵点——正点阵。用空间三维直线连接阵点得到空间格子——晶格。单位晶格组成的平行六面体称为晶胞。

晶胞的选取多种多样，晶体学中应用最广的是尽量照顾对称性选取的晶胞称为BravaisCell。1.1晶体结构知识的简单回顾1.1.1点阵第3页/共139页代表空间点阵的对称性相等的棱、角数目应最多棱间的直角最多选取最小体积的平行六面体BravaisCell的选取原则：数学证明，按上述规则选取的BravaisCell有14种代表空间的点阵类型，用a，b，c，，，间的关系来表达，归为七大晶系，有5个类别：P（初基或简单）、I（体心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）。第4页/共139页第5页/共139页晶体结构的对称性有宏观和微观之分。宏观对称是指有限体积的规则晶体外形的对称性，不包括平移对称性，仅在转动、反演或反映下表现出的对称性，共32种，构成32种点群。或者说是，经过一点对称素组合的类别称为点群。微观对称是指从晶格的角度出发，在认为整个晶格近似为三维无限广延的情况下的空间平移、转动、反演操作下的对称性。可能的空间对称有230种，构成230个空间群。或者说是，考虑晶体内部结构-原子、离子、分子类别和排列的对称性类别。第6页/共139页1，2，3，4，6，i，m，

晶体的独立宏观对称要素共有8种，即1.1.2晶体学点群

晶体的宏观对称性是按宏观点对称操作所构成的点群来进行分类的。群，是代数理论中的抽象概念，满足一定条件的一些元素的集合。对称要素第7页/共139页对称中心的国际符号形象法表示等效位置，+、—号表示正反面，，左右手的变化对称的极图表示第8页/共139页图1-13-1二次转轴的表示图1-13-2三次转轴的表示第9页/共139页图1-13-3四次转轴的表示图1-13-4六次转轴的表示第10页/共139页第11页/共139页第12页/共139页

二维空间的彭罗斯(Penrose)拼图由内角为36度、144度和72度、108度的两种菱形组成，能够无缝隙无交叠地排满二维平面。这种拼图没有平移对称性，但是具有长程的有序结构，并且具有晶体所不允许的五次旋转对称性。一种典型的准晶体结构是三维空间的彭罗斯拼图。

1984年，D.Shechtmen在快速冷却的Al4Mn合金中发现了一种新的相，其电子衍射斑具有明显的五次对称性。推测这种结构具有三维空间的彭罗斯拼图结构。这一发现在当时曾经震动了凝聚态物理学界。后来在许多复杂的合金中也发现了这一现象。第13页/共139页

一个具体的宏观对称要素是8种对称要素的一种或几种的组合。每种组合对应一种对称类型，即一个点群。

点群的表示符号有2种Schonflies符号国际符号（或H-M符号）点群第14页/共139页Schonflies符号：Cn表示n次旋转对称，取自循环群（Cyclicgroup）第1字母D表示二面体群（dihedralgroup），即n次旋转对称轴，+与n次轴垂直的二次旋转对称T表示四面体群（tetrahedralgroup）,高次旋转对称轴的组合O表示八面体群（octahedralgroup），高次旋转对称轴的组合第15页/共139页点群的国际符号用特定方向的对称要素直接表示。三斜晶系：[100]单斜晶系：[010]正交晶系：[100][010][001]四方晶系：[001][100][110]三角晶系：[001][100][210]六角晶系：[001][100][210]立方晶系：[100][111][110]第16页/共139页2/m（2在m上），表示具有垂直于镜面的2次旋转轴。[010]方向三斜晶系：[100]单斜晶系：[010]第17页/共139页正交晶系：[100][010][001]第18页/共139页四方晶系：[001][100][110]第19页/共139页三角晶系：[001][100][210]第20页/共139页六角晶系：[001][100][210]第21页/共139页立方晶系：[100][111][110]第22页/共139页第23页/共139页第24页/共139页第25页/共139页第26页/共139页1.1.2空间群晶格的周期性，也称平移对称性，是最基本的微观对称性。晶体的点对称元素和平移相结合能产生新的对称元素，即：旋转轴+平移→螺旋轴镜面+平移→滑移面，操作顺序并不重要1.晶体的微观对称性第27页/共139页（1）螺旋轴国际符号用nm来表示。定义方向的

nm次螺旋轴对称操作由2/n旋转和m/n平移组成。第28页/共139页（2）滑移面

滑移面是对镜面反映后再沿某一方向平移，平移量为点阵周期的一个分数距离。有三种类型的滑移面：轴向滑移——沿a，b，c轴作滑移，轴向滑移的平移平行于镜面，平移量为该方向平移周期的一半；n滑移——沿面对角线滑移到一半处；d滑移——亦称“金刚石”滑移，沿体对角线滑移到1/4处。第29页/共139页2.空间群及其国际符号

空间群是指一个晶体结构中所有对称要素的集合。提供晶体的全部对称信息，涉及到一个给定的点群、Bravais点阵以及这个点群作用在这个点阵上的结果。晶体结构中所能出现的空间群总共230种。空间群有两种常用的表示符号，Schonflies和国际符号。材料学界常用国际符号。第30页/共139页国际符号的第一位符列出Bravais点阵类型——P，A、B或C，I，F，R根据对称元素对于晶体学轴的位置列出他们的符号，符号的位置所代表的轴向对不同晶系并不同，空间群国际符号的顺序见下表。国际符号的表示：P（初基或简单）、I（体心）、F（面心）、R（三角或菱形）、C（A，B）（底心）第31页/共139页三斜晶系：[100]单斜晶系：[010]正交晶系：[100][010][001]四方晶系：[001][100][110]三角晶系：[001][100][210]六角晶系：[001][100][210]立方晶系：[100][111][110]国际符号标注对称素参照方向的顺序第32页/共139页第33页/共139页举例：P2/m（2在m上），表示单斜初基点阵，具有垂直于镜面的2次旋转轴。[010]方向参考文献刘文西，黄孝瑛．材料结构电子显微分析，天津大学出版社，1989张福学.现代压电学（上册），科学出版社，2001冯端，师昌绪，刘治国.材料科学导论，化学工业出版社，2002第34页/共139页1.2.1倒易点阵概念的引入

衍射是波动性的体现，是波的弹性相干散射。如光的狭缝衍射、X光对晶体的衍射。衍射条件：

衍射花样1.2倒易点阵第35页/共139页PlanewavesSinglesourceinterference第36页/共139页Supposethataplanewaveisincidentonapanelwithaslotofwidthd(smalldistance)Topredicttheformofthewaveontheright-handsideofthepanetheHuygensprincipleisused.第37页/共139页HuygensprincipleThemannerinwhichawavefrontofarbitraryshapewilladvancecanbedeterminedbyconsideringeverypointonagivenwavefrontofanyinstanttobethesourceofacircularwave.（媒质中波动传到的各点，都可以看成是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹就决定新的波阵面）第38页/共139页Anywavemotioninwhichtheamplitudeoftwoormorewavescombinewillexhibitinterference.One-dimensionalwavemotion.第39页/共139页Twokindsofinterferenceexist•Destructiveinterference:–Wavepulsesarecancelledwhentheypasseachotheriftheyareofoppositesign.•Constructiveinterference–Wavepulsesareaddedwhentheypasseachotheriftheyareofequalsign.第40页/共139页Asinterferenceeffectsoccurinwavemotionsofallsorts,interferenceordiffractionpatternscanalsobeformedwithlight.第41页/共139页X光对晶体的衍射花样第42页/共139页电子衍射：

电子衍射是晶体物质对单色电子波产生的衍射现象。下图分别是单晶体、多晶体和非晶体的电子衍射花样。第43页/共139页单晶C-ZrO2准晶（quasicrystals）非晶多晶Au第44页/共139页FIGURE2.13.SeveralkindsofDPsobtainedfromarangeofmaterialsinaconventional100-kVTEM:(A)amorphouscarbon,(B)anAlsinglecrystal,(C)polycrystallineAu,(D)Siilluminatedwithaconvergentbeamofelectrons.Inallcasesthedirectbeamofelectronsisresponsibleforthebrightintensityatthecenterofthepatternandthescatteredbeamsaccountforthespotsorringsthatappeararoundthedirectbeam.第45页/共139页

电子衍射原理与X射线衍射相似，是以满足或基本满足布拉格方程为产生衍射的必要条件。但因其电子波有其本身的特殊性，与X射线衍射相比具有下列特点：电子波的波长比X射线短得多，因此，在同样满足布拉格条件时，它的衍射角度很小，10-2rad，而X射线最大衍射角可达/2。如X射线的波长范围：10-3-10nm0.05-0.25nm范围适于结构分析0.005-0.1nm范围适于探伤分析200KV加速下电子波λ=0.00251nm第46页/共139页电子衍射产生斑点大致分布在一个二维倒易截面内，晶体产生的衍射花样能比较直观地反映晶体内各晶面的位向。因为电子波长短，用Ewald图解时，反射球半径很大，在衍射角很小时的范围内，反射球的球面可近似为平面。电子衍射用薄晶体样品，其倒易点沿样品厚度方向扩展为倒易杆，增加了倒易点和Ewald球相交截面机会，结果使略偏离布拉格条件的电子束也能发生衍射。电子衍射束的强度较大，拍摄衍射花样时间短。因为原子对电子的散射能力远大于对X射线的散射能力。第47页/共139页问题：这些规则排列的斑点是某晶面上的原子排列的直观影象？这些斑点代表什么？这些斑点与晶体的点阵结构有什么样的对应关系呢？这些斑点如何解释？第48页/共139页正空间倒空间

晶带正空间与倒空间对应关系图B衍射花样衍射花样分析思路实验发现，晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是倒易点阵。第49页/共139页

物理学家Bragg最早解释了衍射现象，提出了著名的Bragg公式：

显然，上述的讨论和表述都采用正空间习用的语言和处理方法，并没有直观地建立起衍射花样与晶体结构之间的联系。于是，是否有可能在数学上另辟蹊径，从几何上对Bragg公式加以诠释呢？

实际上，对于X射线的衍射问题，Bragg通过实验现象，理解为是晶面的“选择性”反射，也就是说，衍射花样中的一个斑点与某个晶面相对应，这样，问题就变成了如何把正空间的晶面表达为另一空间（倒空间）的一个点。1.2.2

Bragg方程及其几何图解方法-厄瓦尔德球方法第50页/共139页1921年厄瓦尔德（Ewald）数学上另辟蹊径，从几何上对Bragg公式加以诠释，做了很好的尝试，并获得成功。第一，建立了Bragg公式的几何图解方法，后称为厄瓦尔德球方法；第二，提出了与正空间、正点阵相对应的倒易空间、倒易点阵全新概念，而且指出了在一定条件下，倒空间、倒易点阵也是可见的，如在衍射实验时，在物镜后焦面处记录到的衍射谱，就是倒空间倒易点阵的一个截面。下面将简要说明其基本思路。瓦尔德（Ewald）建立Bragg公式的几何解的思路第51页/共139页Bragg公式（1-1）可以改写为：

三角函数的表达式右边分子与分母参数的量纲均变成长度的（-1）次量纲。对上式进行图解表达，如图1-18所示。第52页/共139页OC是入射束的方向，OB是设想的取向能使入射束入射角满足Bragg公式从而产生衍射的晶面(hkl)的反射束方向，OA就是(hkl)面延长后交于反射球面的交点。以晶体所在处O为圆心，以为半径作一圆球，称为厄瓦尔德球或反射球。

显然．满足衍射条件时，CB必须与反射平面(hkl)垂直，而且长度应为，即广义晶面间距的倒数。图Bragg公式的厄瓦尔德图解

第53页/共139页定义矢量的方向就和正空间晶体点阵满足布拉菲条件的{hkl}晶面的法线方向联系起来了，其大小（或长度）与反射晶面面间距联系起来了

则矢量的大小就能够代表反射平面族{hkl}矢量便称为倒易矢量在图1-18的作图空间里，所有的量都是正空间相应量的（-1）次量纲：图Bragg公式的厄瓦尔德图解

第54页/共139页

从前面的分析可知，倒易点阵是晶体点阵的倒易，它并不是一个客观实在，也没有特定的物理概念与意义，纯粹是一种数学模型。然而倒易点阵对描述和阐述晶体对射线衍射的原理却是一种非常有力的工具。射线在晶体的衍射与干涉和衍射十分类似。衍射过程中作为主体的光栅和作为客体的衍射像之间存在着一个傅立叶变换的关系。1.5.2倒易空间的建立及其基本性质第55页/共139页

通常我们把晶体内部结构称为正空间，而晶体对射线的衍射被称为倒易空间。显而易见，倒易空间并不是一个客观实在的物理空间，而只是对一个物理空间的一种数学变换表达。同样，倒易点阵也仅是对晶体点阵的一种数学变换表达。随着物理学和固体物理的发展，倒易空间的概念，还被十分广泛地用来描述涉及能量分布空间的问题。

倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德于1912年创立的，它是在量纲为[L]-1的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。

第56页/共139页1．倒易点阵的数学表达及其基本性质（1）倒易点阵基矢的定义

g矢量如何用正空间的点阵基矢a1、a2、a3以及反射晶面指数{hkl}去表达呢？

就能够代表反射平面族{hkl}矢量便称为倒易矢量第57页/共139页NhklPQR、

图1-19倒易矢量的引入设平面ABC为反射晶面（hkl），其法向矢量为Nhkl，根据晶体学的定义，（hkl）晶面在三晶轴上的截距分别为第58页/共139页因为NhklP，NhklQ，NhklR，即有PQ

Nhkl，同时，法向矢量Nhkl的大小尚未限制，不妨定义一个g矢量来定义晶面法向，令若取归一化因子为（V为晶胞体积）第59页/共139页

（1-12）（j=1,2,3）为新的三个基矢，定义了一个新的空间。于是，晶面的法向不仅能够用正点正的基矢和晶面指数表达，该矢量指向的端点的坐标指数在

（j=1,2,3）定义的空间内为（hkl）

第60页/共139页2倒易点阵（reciprocallattice）1)．倒易点阵的定义及其基本性质（1）倒易点阵基矢的定义（2）倒易点阵的性质2).正点阵与倒易点阵的指数互换（1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系（2）正点阵与倒易点阵指数间的互换3).晶面间距与晶面夹角公式（1）晶面间距（2）晶面夹角公式第61页/共139页

倒易点阵是一种晶体学表示方法，是厄互尔德于1912年创立的，它是在量纲为[L]-1的倒空间内的另外一个点阵，与正空间内的某特定的点阵相对应。

通过倒易点阵可以把晶体的电子衍射斑点直接解释成晶体相应晶面的衍射结果。1)．倒易点阵及其基本性质第62页/共139页（1）倒易点阵基矢的定义

如果用点阵基矢（i=1,2,3）定义一正点阵，若由另一个点阵基矢（j=1，2，3）定义的点阵满足式（1）中，V—

阵胞体积

（1）

则由定义的点阵为定义的点阵的倒易点阵。第63页/共139页由此可知，与分别定义的正点阵与倒易点阵互为倒易。（2）

决定大小决定方向（2）倒易点阵的性质

据式（1）有第64页/共139页

倒易矢量及其基本性质

在倒易点阵中，以任一倒易点为坐标原点O*(000)，由倒易原点O*(000)指向任一坐标（HKL）的矢量称为倒易矢量，表达为（5）

其基本性质：

上式表明：倒易矢量垂直于正点阵中相应的(hkl)晶面，或平行于它的法向；倒易阵点的一个点代表的是正点阵中的一组晶面。第65页/共139页证明：

（1）设平面ABC为（HKL），根据晶体学的定义，（HKL）在三晶轴上的截距为：

显然，

因为，所以

同理可证：则n0第66页/共139页（2）设n0为（HKL）法线方向的单位矢量，显然，且晶面间距dHKL应为该平面的任一截距在法线方向上的投影长度所以

同理可以证明：

第67页/共139页第68页/共139页

对正交点阵，有

对立方系来讲，晶面法向和同指数的晶向是重合的，即倒易矢量是与相应指数的晶向平行。a1*//a1;………..a1*=1/a;……….第69页/共139页1.3.正点阵与倒易点阵的指数互换（1）正点阵与倒易点阵基矢间的关系假设正点阵基矢与倒易点阵基矢间可以通过变换矩阵[G]作如下变换（6）

将（6）式两端右乘行矩阵

第70页/共139页（7）

由可得

式中

（i,j=1,2,3）

（8）

利用（6）式可以将倒易基矢变换为正基矢。第71页/共139页将（6）式两端左乘[G]-1得（9）

再将式（9）两端同时右乘

(10)其中

（i,j=1,2,3）

举例：对立方晶系a1=a2=a3=aα=β=γ=900第72页/共139页（2）正点阵与倒易点阵指数间的互换

对立方系，晶面（HKL）与其同名的晶向[HKL]垂直，即但对非立方晶系，这种关系在多数情况下不成立，因此，需要解决以下两个问题：

已知（HKL）晶面，求其法线方向[uvw]

已知某一晶向[uvw]，求与其垂直的晶面设[uvw]是（HKL）晶面的法线，[uvw]⊥(HKL)，有第73页/共139页显然，和是同一方向的矢量在正倒空间的不同表达方式，可用数学式表达为（11）

写成等式为：

（12）

（13）

式中

第74页/共139页

乘以一个K因子是为了将和均变为无量纲的单位矢量，实际上与[uvw]垂直的晶面是一系列平行的晶面组，如在立方系中，与[110]垂直的晶面有（110），（220），（330）。

同样，（111）晶面的法线方向也可以是[111]，[222]等。因此，可以将（13）式中的K取消，写成等式（14）

将（14）式两端分别乘以，、、，得（15）

第75页/共139页写成矩阵形式为（16）

举例：[uvw]与其同名的晶面组（uvw）垂直。（1）立方晶系第76页/共139页(2)六方晶系如六方晶系的MoC，a=2.90Å,c=2.77Å,求与晶向[uvw]=[111]垂直的晶面。代入数据计算得（HKL）=（4.205，4.205，7.673）=(1,1,1.85)≈(559)第77页/共139页同理，将（14）式两端分别乘以,有（17）

或将（16）式两端乘[G]-1得到同样结果。第78页/共139页1.4.晶面间距与晶面夹角公式（1）晶面间距由倒易矢量的性质进一步可写成即（18）

此式为适用于任何晶系的通用公式。第79页/共139页

对立方晶系cosα*=cosβ*=cosγ*=0则有

（19）

第80页/共139页（2）晶面夹角公式

两晶面间的夹角可用两晶面法线夹角表达，也即可用两晶面对应的倒易矢量夹角表示，故有(20)上式适用于任何晶系。对立方晶系，夹角公式为（21）

第81页/共139页1.布拉格实验实验装置如图所示。C为样品；入射线以掠射角或布拉格角照射样品；满足反射定律的方向设置反射线接收装置；X射线照射样品过程中，记录装置与样品台以2：1的角速度同步转动，以保证记录装置始终处于反射线位置上。

试验结果表明，即仅在特定的角度才有反射线，X射线的反射具有选择性，即“选择反射”。1.5.1布拉格定律

1.5Bragg定理及其几何图解第82页/共139页2.布拉格方程的推导考虑：

晶体结构的周期性X射线具有穿透性入射线与反射线均可视为平行光（光源与记录装置至样品的距离较d大得多）

认为，“选择性反射”是各原子面各自产生的相互平行的反射线间的干涉作用的结果。

据此，可以构造如图所示的衍射几何，X射线照射到（hkl）原子面上并产生反射，面间距为d0，相邻两晶面（如A1，A2）的反射线光程差:第83页/共139页=PM2+M2Q=2dsin干涉相互加强的条件为

=n，

即

2dsin=n(2-1a)n—任意整数，反射级数d—（hkl）晶面面间距

—Bragg角

—X射线波长式（2-1）称为布拉格方程。式中，第84页/共139页qqoPRX-rayDiffraction(Braggcondition)qq2d·sinq=lddl/2dsinql第85页/共139页0级1级2级布拉格方程中的反射级数的物理意义：第86页/共139页第87页/共139页

设衍射晶面为（hkl）面间距为d，入射方向与衍射晶面成θ角，由X射线的衍射原理，则衍射必要条件的数学表达式

由实验证明，衍射可解释为晶面对入射波的反射，如图所示。下面求几何解（2-1）3布拉格方程（Braggformula）的矢量表达第88页/共139页

设入射束和反射束的单位矢量分别为S0和S那么，

又可写为令

有

（2-2）ghkl第89页/共139页K/，K分别为衍射线与入射线的波数矢量。（2-1）（2-2）分别为布拉格定律的标量与矢量表达式。由（2-1）变换可得

一般情况下，金属和合金的面间距大都在0.2-0.4nm范围，而电子波长≤0.05nm(60KV)。因此，金属和合金极易满足条件产生衍射。且sinθ值很小，从而有特别小的衍射角。通常θ<10

那么，布拉格方程如何在几何上表达呢？这就是下面要讲的厄瓦尔德球作图法。

第90页/共139页1.5.2厄瓦尔德球作图法

在电子衍射的分析过程中，常常要用到厄瓦尔德球作图法，利用这种方法可以比较直观地观察衍射晶面、入射束和衍射束之间的几何关系。它实际上是布拉格方程的几何表示。

厄瓦尔德球是位于倒易空间中的一个球面，球之半径等于入射电子波波长的倒数1/λ。厄瓦尔德球作图法：第91页/共139页具体作法如下：在倒易空间中，画出衍射晶体的倒易点阵；以倒易原点0*为端点，作入射波的波矢量K(OO*)，该矢量平行于入射束方向，长度等于波长的倒数，即K=1/λ；以O为中心，1/λ为半径作一个球，这就是厄互尔德球。第92页/共139页若有倒易阵点G（hkl）正好落在厄瓦尔德球的球面上，则相应的晶面组（hkl）与入射束的位向必满足布拉格条件，而衍射束的方向就是OG或者衍射波矢量K/，其长度等于反射球的半径。根据倒易矢量的定义进行矢量运算有：

（2—3）

第93页/共139页现在来证明（2-3）与（2-1）（2-2）是等价的。证明：

显然，由图可知，K与K’之间的夹角等于2θ。这与布拉格定律的结果一致。

由O向0*G作垂线0D，垂足为D∵（hkl面的法线）∴0D就是正空间（hkl）面的方位设它与入射束的夹角为θ，则有∴第94页/共139页

综上所述，爱瓦尔德球内的三个矢量K、K’和ghkl清楚地描述了入射束、衍射束和衍射晶面之间的相对关系。这个方法成为分析衍射的有效工具。

前面的做图分析过程中，取爱瓦尔德球半径为1/，且ghkl=1/dhkl,因此，爱瓦尔德球本身就置于倒空间。而且倒空间的任一ghkl矢量就是正空间(hkl)晶面的代表，如果知道了ghkl矢量的排列方式，就可推得正空间对应的衍射晶面的方位了，这就是电子衍射分析要解决的主要问题。第95页/共139页Thefollowingfiguresshowtheannotationofcrystalsurfaces第96页/共139页1.6晶带定律与零层倒易截面

晶体中，与某一晶向[uvw]平行的所有晶面（HKL）属于同一晶带，称为[uvw]晶带，该晶向[uvw]称为此晶带的晶带轴，表示为此晶带内的各晶面用相应的倒易矢量来表示为∵∴（22）

即(23)

第97页/共139页式（22）为晶带定律的矢量表达式式（23）为晶带定律的标量表达式

如图所示，取某点O*为倒易原点，则该晶带所有晶面对应的倒易矢（倒易点）将处于同一倒易平面中，这个倒易平面与Z垂直。

由正、倒空间的对应关系，与Z垂直的倒易面为（uvw）*,即

[uvw]⊥(uvw)*

因此，由同晶带的晶面构成的倒易面就可以用（uvw）*表示，且因为过原点O*，则称为0层倒易截面（uvw）*。第98页/共139页正空间倒空间图2-3晶带正空间与倒空间的对应关系图第99页/共139页反过来，若已知[uvw]晶带中任意两晶面（H1K1L1）和（H2K2L2），则可按晶带定理求晶带轴指数，有解此方程组得（24）

手算时写成更容易记忆的形式uvw

第100页/共139页举列：一立方晶胞以[001]作晶带轴时，（100）、（010）、（110）和（210）等晶面均和[001]平行，相应的零层倒易截面如图所示。第101页/共139页体心立方晶体[001]和[011]晶带的标准零层倒易截面图。第102页/共139页1.7结构因子与倒易点阵的结构消光及倒易点阵类型1.7.1结构消光或

上述条件给出的是某晶面组（hkl）产生衍射的必要条件，满足了上述的要求，也未必一定产生衍射。这样，把满足布拉格条件而不产生衍射的现象称为结构消光。满足Bragg方程或者倒易阵点正好落在爱瓦尔德球球面上的(hkl)晶面组是否会产生衍射束？。答案是：下面将从衍射强度的角度进行分析。第103页/共139页X射线的衍射强度结构因子的定义：一个晶胞内所有原子散射的相干散射波振幅一个电子散射的相干散射波振幅

F=F称为结构因子它是以一个电子散射波振幅为单位所表征的晶胞散射波振幅。因此也称为结构振幅。第104页/共139页某个晶面的结构因子：

在(hkl)晶面的衍射方向上，晶胞中某个原子A(坐标为xjyjzj)与其阵胞原点O上原子的散射波的位相差为第105页/共139页于是(hkl)晶面的结构因子为：或第106页/共139页

由X射线的衍射知道，衍射束的强度（2—6）

Fhkl—（hkl）晶面组的结构因子（结构振幅），表征晶体的正点阵晶胞内所有原子的散射波在衍射方向的合成振幅。fj——晶胞中位于（xj,yj,zj）的第j个原子的散射因子n—晶胞原子数（第j个原子的座标矢量）

第107页/共139页（hkl）晶面组的结构因子（结构振幅）Fhkl它表征单胞的衍射强度，反映了晶体的正点阵晶胞内原子种类（fj）、原子个数（n）以及原子位置（xj,yj,zj）对衍射强度的影响。Fhkl2具有强度的意义，即F2越大，Ihkl越大。当Fhkl=0时，Ihkl=0，即使满足Bragg定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零，这叫结构消光。在X射线衍射中已经计算过典型晶体结构的结构因子。可以看出:第108页/共139页1.7.2产生衍射的充分必要条件产生衍射的必要条件充分条件Fhkl≠0综上所述：第109页/共139页简单立方对指数没有限制（不会产生结构消光）f.c.ch.k.L.奇偶混合b.c.cH+k+L=奇数h.c.pH+2k=3n,同时L=奇数体心四方H+k+L=奇数常见晶体的结构消光规律第110页/共139页1.7.3倒易点阵的类型

由上所述，满足Bragg定律只是产生衍射的必要而非充分条件，只有同时又满足F0的（HKL）晶面组才能得到衍射束。

考虑到这一点，可以把Fhkl2作为“权重”加到相应的倒易阵点上去，此时，倒易点阵中各个阵点将不再是彼此等同的，“权重”的大小表明各阵点所对应的晶面组发生衍射时的衍射束强度。

凡“权重”为0，即F=0的那些阵点，都应当从倒易点阵中抹去，仅留下可能会产生衍射的那些阵点。只要这些F≠0的阵点落在反射球面上，必有衍射束产生。第111页/共139页这样，在f.c.c晶体点阵中，要把h、k、l奇、偶数混合的那些阵点抹去，就成了体心立方结构的点阵，如图所示同理，b.c.c点阵对应的倒易点阵为面心结构。第112页/共139页基本规律概括为：倒易点阵与所对应的晶体点阵同属于相同的晶系倒易点阵与相应的晶体点阵布拉菲结构特征除面心和体心倒易互换外，其余都是相同的。第113页/共139页1.7.4倒易阵点的扩展（形状）与偏移参量

从几何意义上来看，电子束方向与某晶带轴重合时，零层倒易面除原点O*外，都不可能与爱瓦尔德球相交，因而，不可能产生衍射，如图（a）所示。

若要使晶带中的某一个或几个晶面产生衍射，必须将晶体倾斜，如图（b）所示。第114页/共139页

在实际电子衍射操作中，即使B//[uvw]，使零层倒易截面的倒易点不与爱瓦尔德球面严格相交仍能发生衍射，即入射束和晶面间的夹角和精确Bragg角θB存在某一偏差θ时仍能发生衍射。

这是因为实际的样品晶体都有确定的形状和有限的尺寸，因而，它的倒易点不是一个几何意义上的点，而是沿着晶体尺寸较小的方向发生扩展，扩展量为该方向实际尺寸的倒数的2倍。

衍射晶面位向与精确Bragg条件的允许偏差和样品晶体的形状和尺寸有关，这可以用倒易阵点的扩展来表示。第115页/共139页电子显微分析中常见的样品及其对应的扩展倒易点的形状（1）薄片（2）棒状或针状（3）颗粒状或球状第116页/共139页倒易阵点的形状效应第117页/共139页

假定倒易点扩展为杆，杆子总长2/t。如图可见，在偏离Bragg角θmax范围内，倒易杆都能和球面相接触而产生衍射。如图所示，偏离θ时，倒易杆中心至爱瓦尔德球面交截点的距离可用矢量S表示，S就是偏离矢量，θ为正，S为正，反之为负。即S以入射束K作为它的正方向，S越大，衍射强度越小。偏离矢量的定义第118页/共139页第119页/共139页第120页/共139页

下图给出了不同偏离矢量（s=0，s<0,s>0）三种典型情况下的爱瓦尔德球作图。倒易阵点扩展后的爱瓦尔德球图解第121页/共139页在偏离Bragg条件下，产生衍射的条件可表示为显然，当θ=θmax时，S=Smax=1/t

当θ>θmax时,不发生衍射倒易阵点的形状可以反映衍射斑点的强度分布和精细结构第122页/共139页1.8倒易点阵与电子衍射图的关系1.8.1电子衍射装置与电子衍射基本公式推导

右图是导出电子衍射基本公式的普通电子衍射装置示意图。电子束波长为样品晶体置于O处离样品距离为L处放置底版假定面间距为d的（hkl）面满足Bragg条件，则发生衍射，透射束和衍射束将和底片分别交于O’和P’。O’为衍射花样的中心斑，P’为（hkl）面的衍射斑。第123页/共139页此时，作Ewald球与晶体对应的倒易点阵，如图示。那么，必有（hkl）对应的倒易点G(hkl)落在Ewald球面上。∵2θ很小，一般为1-20

∴

由代入上式即

（2—4）

（2-4）为电子衍射的基本公式L为相机长度第124页/共139页令定义为电子衍射相机常数

把电子衍射基本公式写成矢量表达式（2—5）

这说明是相应的按比例放大，K称为电子衍射放大率。

单晶花样中的斑点可以直接被看成是相应衍射晶面的倒易阵点，各个斑点的R矢量也就是相应的倒易矢量g。衍射花样的几何性质与满足衍射条件的倒易阵点图形完全是一致的。第125页/共139页1.8.2倒易点阵与电子衍射图的关系

从上面的分析看到，产生电子衍射的晶面，其对应的倒易点必落在厄互尔德球面上。可以认为产生衍射的斑点是厄瓦尔德球面上的倒易点的投影。下面分析一下倒易点落在Ewald球上的可能性

已知，电子衍射采用波长极短的电