信息时代的数学

信息时代的数学第1页/共49页9.1从算筹到电子计算机

中国古代的算筹：

创造了以算法化为特征的中国古代数学，并取得了众多领先于其它民族的中国古代数学成就

利用算筹进行数字计算也有其不便之处：

首先，用筹拼排数码，10以内的九个数要用29根筹，平均每个数需用3.2根，就是说摆放一个数码平均要做３.2个动作，所以不利于计算。其次，算筹中国古代的算筹较长，计算时占地方大。以较短的隋筹为例，计算一道4位数乘4位数得积数是8位的乘算题，将算筹分上、中、下三层排列，约占长90厘米、宽40厘米的地位，一张方桌不够做两道这样的乘算题

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算盘由于它构造简单，价格低廉，计算方便，中国自明代开始，筹算很快就为算盘所取代。同时也使得中国的数学依然固守着算法化的传统

国外算盘起源也很早，算盘一词在古希腊文中是“沙盘”，由此可以推测它的原始形式可能是一种有标记的沙盘。中世纪后期的欧洲，一些主张使用罗马数字和算盘进行计算的“算盘家”，与另一些主张使用阿拉伯数字和适当算法的“算术家”进行了长达四百年（自1100~1500年）的争论，最终算术家占了上风，形成了现在使用的计算方法。到了18世纪，算盘在西欧已经绝迹。

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纳皮尔算筹（约1590年）

使乘法和除法运算归结为简单的加法和减法运算。对数的发现“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”（拉普拉斯语）

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纳皮尔算筹

牛牛文库文档分享第5页/共49页对数计算尺基本原理：

冈特（1581~1626）设计出了第一个对数刻度尺这是一个标有数字的线段，从尺的左端量起的距离与所标之数的对数成正比，图中两个标有刻度的尺子上,自1到2的长度是log2=0.30，自1到3的长度是log3=0.48，……，自1到10的长度是log10=1。利用两个滑尺做乘除运算时就可以转化为对数的加减运算。如，log4=log2＋log2=0.60,这个长度就是上面一个滑尺上自1到4的长度。

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第一台能做加减运算的机械式计算机（1642，帕斯卡）

十九世纪，英国数学家巴贝奇是设想制造具有程序控制功能的普通四则运算机器的第一位学者

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进入20世纪，计算机研究有了质的变化，这得益于数理逻辑的纯形式化推理的研究成果，同时也依赖于科学技术为之提供的技术保障。二次世界大战中大量计算问题的需要，使计算机发展有了更广泛的社会基础。数理逻辑的诞生与“可计算”函数对某些函数，能否用有限步、按规定次序的计算过程，得到函数的解。如果存在这样的算法，就称函数是“可计算”函数

牛牛文库文档分享第8页/共49页1936年，英国数学家图灵（1912~1954）在研究可计算性时提出理想计算机理论——图灵机。图灵机原本是对于“可计算性”数学概念的一种定义方法，但它却成为今天计算机运转方式的基本理论设想。

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1944年，美国哈佛大学教授艾肯领导和制造了用继电器为元件的机电计算机

945年，美国宾夕法尼亚大学与阿伯丁弹道实验室联合开发了第一台电子管计算机,1947年投入弹道设计使用，后经多次改进成为能进行各种数值计算的通用计算机。

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这台计算机包括1.9万个真空管，有30吨重，现存在华盛顿的史密斯研究所。这一时期，还生产了许多类似的高速数值计算的计算机，并且有了自动程序控制的功能。但同时期类似的计算机时常因电子管烧坏而停机检修。更为严重的是，其程序是“外插型”而非“储存型”。为了进行几分钟的运算，计算机的准备程序往往要花费几小时，这就使得采用电子管而获得的速度被大大抵消

牛牛文库文档分享第11页/共49页1946年6月，冯·

诺伊曼又提出了更完善的设计方案，对已有的计算机提出了三方面的改进设想：是用二进制取代十进制，以充分发挥电子元件在速度方面的潜力；是设置程序计数器，以保存当前欲执行指令的地址——改外插型计算程序为内置，从而使整个计算过程完全由电子计算机自动控制，并有效地提高了运算速度；是依据图灵的理论模型，认为计算机的体系结构应由运算器、控制器、储存器、输入设备和输出设备等五个部分组成，把“程序”和“数据”都放在储存器中，并首次提出“中央处理器”（简称CPU）概念，而CPU则由运算器、控制器和程序计数器组成，这就是著名的“冯·诺依曼体系结构”。

牛牛文库文档分享第12页/共49页国际计算机界普遍认为冯·诺依曼体系结构的提出及其实现是现代电子计算机基本完善的重要标志。上述三个方面的改进最终于1949年在英国剑桥大学完成。

牛牛文库文档分享第13页/共49页1975年1月，当时还是哈佛大学法律系二年级的学生比尔·

盖茨从《大众电子学》封面上看到MITS公司研制的第一台个人计算机照片。他马上产生了一种新奇的想法：这种个人计算机体积小、价格低、可以进入家庭，甚至人手一台，因而有可能引起一场深刻的革命——不仅是计算机领域的革命，而且是整个人类社会生活方式、工作方式的革命。针对当时以大型机、巨型机为主流的计算机发展的局面，比尔·

盖茨敢于向传统、权威挑战。他写信给MITS公司的老板，要为他的个人电脑配BASIC解释程序（他知道若没有便于用户掌握的计算机程序语言，个人电脑难以普及），在他的好友艾伦的帮助下，花了五个星期时间终于出色地完成了这一任务。接着他从哈佛中途退学并和艾伦创办了自己的公司“Microsoft”．闻名遐迩的“微软”

牛牛文库文档分享第14页/共49页图灵（1912~1954）

出生于英国伦敦，19岁进入剑桥皇家学院研究量子力学和数理逻辑。1935年，他从一名学生直接成为学院的研究员，并开始了“可计算性”研究。1936年4月，图灵发表了“可计算数及其在判定问题上的一个应用”的论文，形成了“图灵机”的重要思想。用反证法证明，任何可计算其值的函数都存在相应的图灵机；反之，不存在相应图灵机的函数就是不具有可计算其函数值算法的函数。图灵到美国学习，并于1938年获美国普林斯顿大学博士学位。1939年秋，图灵应召到英国外交部通讯处从事密码破译工作，开始了最早的计算机的研究工作。他于1950年发表了“计算机和潜力”的论文，引发了“机器是否会思考”的学术讨论。图灵思想活跃，但性格内向，1954年6月，图灵在家中因氰化钾中毒去世，原因则众说纷纭，至今仍为一个谜。

9.2图灵机与可计算性

牛牛文库文档分享第15页/共49页图灵机（理论）

由三个部分组成：一条带子，一个读写头和一个控制装置。带子分成许多小格，每小格可存一位数（0或1），也可以是空白的。机器的运作是按逐步进行的方式，每一步由三个不同的动作组成：在任一确定时刻，读写头对准带子上的一个方格，根据该格上的内容和机器的状态决定自己的动作；机器可以抹去带上的原有符号，使方格保持空白或者写上另外的（也可以与原来相同的）符号；然后让带子通过读写头，朝两个方向之一移动一个方格

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算法有效性的一种判定法则区分算法是否有效，要以图灵机为基本的计算工具，用图灵机上完成计算的步数（即图灵程序）来评估一个算法是否有效。一般地，人们习惯于依据“计算时间”的长短来判定算法的有效性

“多项式时间算法”

:如果存在确定的整数A和k，对于长度为n的输入数据，计算可以在至多Ank步内完成（对任意的n值）。那么，这个算法被称为“多项式时间算法”

牛牛文库文档分享第17页/共49页不是多项式时间算法的算法被称之为“指数时间算法”。当一个算法处理长度为n的输入数据时，若需要2n（或3n,nn,n!）步，它就是一个指数时间算法。

“有效”算法规定为需要多项式时间的算法。而将需要指数时间的算法规定为“非有效”算法。这种划分方法只是“理论”的划分方法，它与实际应用还有一定的区别。对于相对大的n，后者总是大于前者

牛牛文库文档分享第18页/共49页假定一台计算机每10-6秒执行一次基本运算，对于已知的数据长度n，多项式时间与指数时间算法在计算机上的运行时间如下表：数据长度n

102030405060

n0.00001s0.00002s0.00003s0.00004s0.00005s0.00006sn20.0001s0.0004s0.0009s0.0016s0.0025s0.0036s

n30.001s0.008s0.027s0.064s0.125s0.216s2n

0.001s1.0s17.9分12.7天35.7年366世纪3n

0.059s58分6.5年3855世纪2×108世纪1.3×1013世纪

牛牛文库文档分享第19页/共49页P型问题，它是可解的。但是诸如旅行推销员这类问题还不能说是无解的，而是归入了称之为NP型问题

人工智能的研究。根据符号转换的定义，人脑或计算机进行的定理证明、文字处理和一切可归结为符号处理的操作，都属于计算的过程。1947年，图灵论证了智能机器的可能性。1950年图灵又根据计算机能进行符号计算的事实，提出计算机能像人类的思维方式进行思维的观点，并给出了检验计算机是否具有思维的能力的一个实验，这就是很著名的“图灵检验”。1956年夏，美国的一批年轻的科学家提出人工智能的概念。1976年西蒙等人提出了假设：任何一个系统，如果它能表现出智能，则它必须具备执行输入符号、输出符号、存储符号、复制符号、建立符号结构和条件性迁移操作这六种功能。反之，任何能执行这六种操作的系统，必然表现出智能，这一假设有三个推论：第一，因为人有智能，所以人是一个符号系统；第二，因为计算机是一个符号系统，所以计算机可以表现出智能；第三，计算机能模拟人的职能。该假设为人工智能提供了一个理论基础

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9.3机器证明与吴法为实现几何定理的机器证明，一般采用代数的方法，它需要解决以下几个问题：

首先，引进数式与坐标系，使任何几何定理的条件和结论都写成代数式，从而几何证明成为纯代数问题。其次，将定理假设部分的代数关系式进行整理，第三，依确定的步骤，验证定理结论部分的代数式可由假设部分的代数式推出。最后，按上述步骤编写程序，并在计算机上实现

20世纪算法设计者面临的任务是解决上述第二、三两部分的难题。

1975年，吴文俊提出了定理的机器证明的方法：“吴法”

牛牛文库文档分享第21页/共49页1940年毕业于上海交通大学数学系，在上海教中学达五年半。1946年8月，进入陈省身所主持的数学研究所，开始拓扑学研究，1947年11月赴法国留学，并于1949年获法国国家博士学位，1951年回国，任中国科学院院士，是2002年中国国家科技奖的获得者吴文俊在拓扑学上的重要成就，是“复形在欧氏空间中的实现问题”，他利用拓扑学的性质——示嵌类，开辟了解决这一问题的道路，这一成果被称为“吴类”载入教科书与辞典吴法，使用变量的“三角化”、多项式除法的技巧，并给出几何结论成立的判定准则，为几何的机器证明创造了有效的算法机器证明研究一般又称为自动推理研究，其涉及的领域相当广泛。这一课题一列入在我国近些年的国家重点科研项目——攀登计划项目中，目前，在几何定理机器证明方面，我国处于国际领先地位。

吴文俊（1919~）

牛牛文库文档分享第22页/共49页四色问题猜想（英国古色里，1852年）：

对平面或球面上的任意一个地图着色，至多用四种颜色就可以使相邻（即有一段公共边界而不是一点或有限点）两个国家或地区（这里所谓的“国家”或地区是指连通的区域）的颜色不同一个浅显易懂的命题引发了无数专家学者的极大兴趣一个迟迟得不到解决的的命题1975年由美国计算机专家给出了机器的证明9.4四色猜想的机器证明

牛牛文库文档分享第23页/共49页英国数学家德·摩根（1806~1871）的工作

1、从特殊的构图（如右上图）中认定：仅用三色是无法使相邻国家着不同色，至少需要四种颜色。2、证明了：“五个国家，不能每个都和其余的（4个）相邻”。由此使他相信四色猜想是对的。即，德·摩根假定了：着色所需要的颜色种数，与图中相互毗邻的国家的最大个数总是相等的然而，如右下图所示：任意四个国家都与其它三个国家相邻，但只用三种颜色着色是不行的（需使用A、B、C、D四种颜色）。因此，毗邻国家的最大数不恒等于着色所需的种数。地图上不能有五个彼此都相邻的国家的论据，并不能保证四色猜想的成立。

牛牛文库文档分享第24页/共49页1879年，英国律师肯普（1849~1922）

英国律师肯普（1849~1922）的开创性工作（1879年）

1、证明了“五色定理”：一张画在球面上的（完全任意的）地图，可以用五种或更少的颜色来着色

2、肯普方法－－用机器证明四色猜想的基础肯普四色猜想证明的漏洞机器后人的修补，形成了肯普方法

图形可约性的概念:给定一张画在一个球面上的（完全任意的）地图，将两个或更多个相邻国家合并为一的过程（称为约化过程）使得约化过程中所使用的每步操作不减少地图着色所需要的颜色数如果最后可以得到一张至多有五个国家的地图，就证明最初的地图着色用五种颜色就够了，即“五色定理”成立。这种证法的关键在于，描述将已知地图约化为更简单的形式(即有较少国家)而又不减少所需的着色颜色数的特殊过程

牛牛文库文档分享第25页/共49页肯普“五色定理”证明中的六种不同的约简过程

（1）若一个区域完全被其他区域所包围，（图Ⅰ)，那么可以将里面的区域与包围它的区域相合并．任何至少要用两种颜色的新地图的着色，都可以拓展成原地图的需要同样种数颜色的着色（2）若有四个或四个以上的区域在一点相接触，那么这些区域中必定有一对区域没有(在地图上任何地方)公共边界线，而这两个区域就可以合并为一个(图Ⅱ)．给了修改地图的一种着色，原地图也就可用同样多种颜色来着色，只要使被合并的两个区域在原图中着相同的颜色，而其他区域的着色在两种情形都保持一样．反复应用这一约简过程，就可以将地图修改成在每一顶点都只有三个接触区域的情况．（3）若一个区域只有两个相邻区域，(图Ⅲ)，那么可以使它与其他两个区域中的一个相合并．如果新的地图可以用至少三种颜色着色，那么原地图也可以用同样多种颜色来着色，只要给后被取消的中央区域着上与两个外围区域都不相同的颜色．

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（4）若任何区域都有三个相邻区域的话，都可以通过将它与邻域之一合并而被“取消”(图Ⅳ)，并且如果新地图可以用至少四种颜色着色，那么原地图也必可用同样多种颜色着色，做法与上一种情形一样（5）任何有四个相邻区域的区域可以与它的一个邻域合并(图v)，在可以使用五种颜色的情况下，这样做不会引起所需着色数的任何改变（6）考虑这样一个有五条边的区域P，如图42(讥)所示，其邻域为Q，R，S，T，U．P有一对邻域相互没有公共边界，设为Q和S．将P，Q，S合并起来．如果新地图可以用五种颜色来着色，那么原地图也可以用五种颜色着色．使被合并的区域Q和S在原图中着相同颜色这样包围P的区域用了四种颜色，剩下一种颜色用于P

整个约简过程到此结束．每一步约简都使地图的区域数有所减少，反复约简后最终可以得到一张至多有五个区域的地图

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“正规”地图的概念：

没有一个国家能包围其它国家，也没有三个以上的国家相遇于一点利用可约性方法不难证明：可以把一张非正规地图修改成至少需要同样多颜色的正规地图。所以要想证明四色猜想，只要证明不存在正规的五色地图就够了

肯普证明了在每张正规地图中，包括有两个邻国、三个邻国、四个邻国及五个邻国组成的一组“构形”是“不可避免”的，即每张正规地图必定含有这组构形的某一个通过检验地图构形的可约性，就成为解决四色猜想的重要途径。然而使用这些方法来证明大的构形可约，需要检查大量的细节，似乎只有用计算机才能做到

牛牛文库文档分享第28页/共49页可约构型检验的历史积累

美国著名数学家伯克霍夫（1884~1944），用肯普的想法和他自己的新技巧，能够证明某些大的构形可约（1913年）弗兰克林（1898~1965）利用这些结果证明了至多包括25个国家的地图都可以用四种颜色着色（1938）伯克霍夫发展的方法在1913年至1950年间被许多数学家使用和改进，用这些方法建立了大量的可约构形。在阿佩尔和黑肯给出猜想的最后证明之前，人们只证明了不超过包括96个国家的地图上的四色猜想。但是，在伯克霍夫之后的四十年间所证明的全部可约构形还不能证明四色猜想。

牛牛文库文档分享第29页/共49页1、利用地图的平面网络性质来编制可约性的计算机的证明程序．

地图的“对偶”形（又称为网络）：将每个国家变为一个点（称为顶点），相邻国家用一条线段连接（称为边），边将平面分为区域（称为面），这样正规图的面就都由三角形组成。将每个顶点连接的边数称为顶点的次数。从一个顶点出发又回到同一顶点的边、而且边之间又不相交的路线把图分为内部与外部两部分。这样的一条路线称为回路．德国数学家希尔的“放电法”－－四色猜想的机器证明的突破（1950年）

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如图，用细线表示的六个周围国家在对偶图形中就构成有六个顶点、六条边的一条回路。边界回路称为构形的环。图中的构形（画成对偶形式）称为“六环”构形，它的环有六个顶点，是由包围了原构形的六个国家组成的环。在对偶图中，“构形”是三角形的剖分（每个面都是三角形），，它由一组顶点加上连接这些点的所有边组成，

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2、“放电法”－－研究不可避免组的关键技术，而不可避免组在更加复杂的形式下它成为证明四色定理的中心要素

将平面网络的每个顶点配置一个电荷：如果我们对每个次数为k（即有k个邻国）的顶点指定6－k这个数（电荷量），则顶点次数为5的就带有1个正电荷，次数6的顶点不带电荷；次数为7的顶点带电荷－1，依此类推。再由肯普的研究结论可知，整个网络的电荷的和恰为12。这就表明每个平面三角剖分网络的这个电荷之和恒为正值。

移动网络中的正电荷，使正电荷从某些带正电的（五级）顶点移动到带负电的顶点，并且使全系统中的电荷不增不减。虽然这些移动不改变电荷的总和，但带正电的顶点却是可以变的；例如某些五次顶点可能失去全部正电荷（放电），而某些大顶点可能得到的电太多，结果变为正电荷顶点（充电）。

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“放电”的目的，是想找出一个明确的过程来精确描述怎样移动电荷才能保证所剩下的每个带正电的顶点一定属于可约构形。于是经过“放电”使每个三角剖分必有电荷为正的顶点，用这种放电方法得到的构形必然是“不可避免”的。如果这些构形又都是可约的，则四色猜想就被证明了。这样，四色猜想的证明就需要解决两个问题：找出放电过程，同时证明它所产生的不可避免构形是可约的。希尔自1936年开始研究四色问题，于1950年认识到只有借助能处理巨量数据的计算机装置，才能解决四色问题。他提出的地图的平面网络、放电法，为编制可约性的计算机的证明程序提供了技术准备

牛牛文库文档分享第33页/共49页美国数学教授阿佩尔与黑肯的工作（20世纪七十年代）－－完成四色猜想的机器证明

1、面临的问题

其一，可约构形的任何一个不可避免组都可能含有很大的构形（邻国环含有多至十八个顶点），计算机所需的时间、存储量的迅速增加，造成技术工具的困难，检查14点环的构形所需要的平均时间只有25分钟，那么检验18点环的构形所需要的平均时间就会超过100个小时，并且计算机所需的存储量也大大超过当时的任何一种计算机的存储量。其二，没人知道恰好需要多少个可约构形来形成一个不可避免组，这个数目似乎可能大到几千。从计算时间来说，假如要想证明18点环的构形可约，在有足够存储的计算机上需要100个小时。那么，当不可避免组里有一千个18点环构形时，在一个极大的计算机上证明可约的时间将需要10万个计算机时，这就超过了11年

牛牛文库文档分享第34页/共49页四色猜想的“机器证明”是否真的可靠－－方法、理念的冲突2、艰苦的尝试（1972~1974）

“好构形”的图上进行放电过程的计算机检验工作修订计算程序和放电过程

3、最后的冲刺（1976）

利用三部计算机运转了一千多个小时，分析了两千多个构形的可约性，并通过人工分析了约一万个带正电顶点的邻近区域，终于用不可避免组的证法证明了四色问题。在证明过程中，放电过程经过500多次的修改设计，计算机检验了2000多个构形并证明了1482个构形的可约性。

牛牛文库文档分享第35页/共49页美籍数学家曼德勃罗特（1824~）发表的《分形：构形、机遇和维数》(1975),

“fractal”（即“分形”）表示“不规则”、“碎片”的意思。分形几何以研究不规则图形（如分析学中的病态函数）性质为目标，开创了不同于欧几里得和牛顿模型的新的数学结构的研究，并将计算机技术应用于这一研究之中．分形概念、分形方法一经问世，就呈现出极大的生命力。据美国科学情报研究所的统计，世界上一千二百多种权威学术刊物在80年代后期发表的论文中，与分形有关的就占37.5/%，其中包括自然科学、社会科学的诸多领域9.5分形几何

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经典的几何学（欧几里得几何学、解析几何、射影几何、微分几何、拓扑学等）利用规则、简单的、光滑的形态去近似地表达复杂的事物形态。它们以规则的、光滑的（或可微分）的空间形态为自己的研究对象，为我们研究规则图形的空间关系和性质提供了有效的工具

病态函数的出现，打破了传统观念，引起人们对曲线的关注

经典的几何学无法描述具有分形结构的事物形态。曼德勃罗特对此评述道（1982）：传统几何学不能描述云、山脉、海岸线、树木等物体的自然形状。由于云团不是球形，山脉不是锥形，海岸线不是圆的，树皮不是平滑的，闪电不是沿直线行进。自然界里还有许多其它种类的形态，都是一些非常不规则和破碎物体形状的模型。这些被欧几里得几何认为无定型的表面几何学要求我们去研究它分形学的一个重要思想是曲线的维数可以是分数

19世纪末，人们利用一一对应的方法，将二维（正方形）与一维（直线）图形联系在一起。原本属于一维的曲线却能“填满”二维的平面，显然传统的维数概念就需要重新加以认识9.5.1不规则图形与病态函数

牛牛文库文档分享第37页/共49页希尔伯特建立了单位线段到正方形上的连续映射（1891）

把单位线段和正方形都分成4个相等的部分，如图左、中，得到4个一级子线段和4个一级子正方形，将它按顺序编号，并按号数依次连接所有的子正方形中心，可得到一条无重叠点的折线l1。显而易见，单位线段可以连续映射到折线l1上

再把每个一级子线段和每个一级子正方形分别四等分，再次对它们进行编号，同时按号连接二级子正方形的中心，得到一条无重叠点的折线l2。同样，单位线段可以连续映射到l2上，如图右。如此不断地进行下去，会得到一系列折线序列ln。可以证明，当n趋于无限时，序列极限图形是一条能够填满正方形的曲线

牛牛文库文档分享第38页/共49页传统测量方法不适应于分形图形可微函数所对应的曲线长度，可用积分公式求解。那么，没有导数的函数曲线长度又怎样确定呢？英国一位科学家在查阅了西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰的百科全书之后，惊奇的发现各国各自测量的共同的国境海岸线长度竞相差20%。事实上，假设A、B分别用1公里、1米作度量单位测量海岸线，它们得到的值很不一样。B测得的长度比A测得的长度要大得多，这里的问题就出在所用的度量单位上。B用的度量单位小，可以把1公里以内的弯曲部分也量进去。如果A使用50厘米作为度量单位重新测量，那么测得的数值比B用1米作为度量单位的结果就大了很多。从这里就可以发现一个重要的数学问题：不可微曲线的长度将随着度量单位的无限变小而趋于无穷大。曼德勃罗特认为：因为不可微曲线的维数是大于1的分数，而度量它的尺子的维数是1；根据分形的维数理论，其测量结果必然随着量尺的缩短而变成无穷长。，传统测量方法只能应用于具有规整的、光滑的、可微的几何图形的量度，而不适合于度量不规整的、粗糙的、不可微的几何图形

牛牛文库文档分享第39页/共49页9.5.2“游牧者”的形象思维——分形几何创立者曼德勃罗特的奇特思维方式与广阔应用研究领域

布尔巴基学派的叛逆者曼德勃罗特从小没受过正规教育。据说他从来就没有学过字母表，也没有学过乘法表，但是他喜欢数学，而且几何直觉天赋出奇地好

广泛涉取

的博学家1947年毕业于巴黎理工学院，1948年获美国加利福尼亚理工学院硕士学位。1952年获巴黎大学哲学（数学）博士学位，1958年，曼德勃罗特接受了国际商用机器公司沃森研究中心的聘请，并于同年移居美国。他曾先后在哈佛大学教过经济学，在耶鲁大学教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学。曼德勃罗特的研究领域横跨数学、物理学、地学、经济学、生理学、计算机、天文学、情报学、信息与通讯、城市与人口、哲学与艺术等众多学科与专业。曼德勃罗特曾形象地称自己是一位“游牧者”。他在《大自然的分形几何》中写道：“非常感谢这些研究领域的变化，正是因为对这些领域的问题的研究，才使得整个理论渐渐地形成……，最后导致了分形几何的建立。”

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标度不变性——分形几何学的基本性质

所谓标度不变性，是指在不规则点集（即分形集）上任选一局部区域对它进行放大或缩小量尺，这时原来看上去是光滑的部分又会再现出原图的复杂性质。因此，对于分形图，不论将其放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特征都不会发生变化。标度不变性刻画了一种图形的自相似性质。应用标度不变性处理问题的方法称为“标度不变性”方法

曼德勃罗特通过对词频分布、价格波动、海岸线长度以及湍流的实际问题的研究，找到了共同的研究方法——标度不变性方法，并且发现了这类对象的共同特点：粗糙和自相似。使自己的感性认识上升为理性认识，用数学模型描述这些现象的标度不变性，便成为曼德勃罗特进一步的研究课题。此后曼德勃罗特对于噪声——这个工程技术的问题研究，使他把“病态函数”进一步做为“粗糙和自相似”形态的数学模型词频分布研究（１９５１年）曼德勃罗特注意到美国语言学家齐普夫关于词频（即单词在一篇文章中或一本书中出现的频率）分布研究结果，由此引发了曼德勃罗特对分形几何的研究。

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词频分布是各种情报学的基本问题。齐普夫通过大量实验数据的统计分析，得到了齐普夫定律（1949），曼德勃罗特运用标度不变性概念，进一步对词频分布的规律进行了分析，得到了比齐普夫定律更精确的结果：词频分布几乎完全服从双曲分布，齐普夫定律代表着中频区的词频分布情况，而在高频区或低频区的分布表现着不同程度的自相似，而这恰恰是分形图形的基本特征

价格变动规律

在曼德勃罗特之前的学者，一般采用巴舍勒（1900）的观点；任何竞争价格都遵从“一维的布朗运动”的函数B(t)，这是一个关于时间t的连续（或几乎处处连续）的函数。曼德勃罗特通过棉花价格的研究，再一次使用了标度不变性方法。他从实验中获得的结果表明，实际数据并不能很好的满足B(t)，而竞争价格也不必是连续的，用一个连续函数去刻划一个不连续的随机变量显然是不合理的。受词频研究中所使用的标度不变性方法的启发，曼德勃罗特对价格规律作了适当的修正，而得出一个猜想：价格变化是服从稳定的非正态分布

曼德勃罗特在1963年和1967年把自己的理论用于许多商品的价格、利率以及19世纪的一些证券价格的检验，法玛在1963年对当时的证券价格，罗尔于1970年对其他的利率的研究，都验证了他的猜想对实践是有效的

牛牛文库文档分享第42页/共49页湍流研究与海岸线长度的分维思想（1962~1964年）曼德勃罗特在哈佛大学任客座教授期间，经伯克霍夫教授的指点，注意到标度方法与湍流研究方法很类似，于是从几何学的角度探讨了湍流的机理，并形成了海岸线长度的分维思想。由于湍流的几何研究的首要问题是区域的边界形态，这确实是一个比较复杂的问题。为了研究的方便，曼德勃罗特先选取比较简单的形状，把它限制在平稳的范围内，即湍流尾流或实验断面。他通过对这样的边界的仔细考察后发现，这个相当明显而复杂的“局部”结构，明显地具有自相似的特点

噪声研究与康托三分集（自相似图形的数学模型之一）噪声是表示不规则的、随机的波动和误差。在当代物理学中，误差分布造成的噪声分布是离散的，用指标函数加以刻划：在没有误差的的时刻t1内取值为0，而在有误差的时刻t2内取值为1

曼德勃罗特对于误差的分析是采用如下逐渐加细的方法。首先，初步确定一段没有误差的时间段，就称这段时间为0级中断，称在这个0级中断两侧的时间间隔为0级误差脉冲；然后再对这个0级误差脉冲分为三段来考虑，这时称比较短的没有误差的时间段为1级中断，相应地称其两边的时间间隔为1级误差脉冲。同样的办法，我们会继续得到2级中断和2级误差脉冲，等等，每次都将上一级的误差脉冲分为三段

。他很快把自己的研究和三分康托集联系了起来。

牛牛文库文档分享第43页/共49页三分康托集

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自相似图形的数学模型曼德勃罗特认为可以用三分康托集作为描述噪声主要特征的数学模型。但是，三