大一第二学期微积分9.1微分方程的概念

第九章微分方程9.1

微分方程的基本概念9.2一阶微分方程20:53:40微积分研究的主要对象是函数，因此,如何寻找函数关系,这在实践中具有十分重要的意义.物科学以及经济与管理科学的许多领域中,反映变量之间内在联系的函数关系，往往很难直接得到，通过建立实际问题的数学模型因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具。起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个含有未知函数的导数或微分的方程,即微分方程.因此，微分方程，这个微分方程就能得到所需的函数关系。并求解第九章微分方程但在自然科学、生却比较容易建立20:53:40

如果说“数学是一门理性思维的科学，是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现。现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题。例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等都可以归结于微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型。微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系。是现代数学的一个重要分支。第九章微分方程20:53:40第九章微分方程9.1

微分方程的基本概念9.2一阶微分方程20:53:40

9.1微分方程的基本概念

20:53:40

我们在学习不定积分时就已经遇到过了一些最简单的微分方程。9.1

微分方程的基本概念

例

一曲线过点(1,2),曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标平方的3倍,求此曲线的方程.①③②由条件代入（3）式，一、基本概念引例④得解：微分方程初始条件方程通解方程特解20:53:40例一阶微分方程二阶微分方程三阶微分方程二、微分方程的基本概念1.微分方程及微分方程的阶

定义

微分方程的阶.称为微分方程中未知函数的导数微分方程，含有未知函数的导数或微分的方程称为20:53:40简称方程；的最高阶数，注：在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但未知函数的导数或微分否则就不称其为微分方程。必须出现，例非微分方程2.常微分方程与偏微分方程定义：把未知函数为一元函数的微分方程方程.把未知函数为多元函数的微分方程例都是偏微分方程.都是常微分方程,称为常微分称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程20:53:40二、微分方程的基本概念高阶(n)微分方程常微分方程的一般形式为（1）如果能从方程（1）中解出最高阶导数，就得到这种已就最高阶导数解出来的方程，称为正规形微分方程，有时也把方程（1）称为隐式微分方程。（主要讨论）（2）20:53:40二、微分方程的基本概念一阶微分方程二阶微分方程常微分方程的一般形式为20:53:40二、微分方程的基本概念如果把一个函数代入微分方程后，三、微分方程的解微分方程的主要问题-----1、微分方程的解定义：使微分方程成为恒等式，则称此函数为微分方程的解.

均有求微分方程的解.9.1

微分方程的基本概念20:53:40微分方程的解不唯一例得两边再积分得这个微分方程全部解的表达式中含有两个任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等。20:53:40三、微分方程的解或确定了通解中任意常数以后的解.若微分方程的解中含有相互独立的任意常数2、通解的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为方程的通解。前例中，3、特解把微分方程中不含任意常数的解，称为微分方程的特解。前例中，特解为特解为20:53:40三、微分方程的解（即它们不能合并而使任意常数的个数减少），且任意常数确定通解中的任意常数的条件，由于通解中含有任意常数，所以它还不能完全、确定地反映物质运动的规律性。为了能完全、确定地反映物质运动的规律性，就必须对这些任意常数作出具体的指定或根据实际情况提出确定这些常数的附加条件.前例1中，便是这样的条件。4、初始条件称为初始条件，也称为定值条件。一般地，20:53:40三、微分方程的解一阶:二阶:微分方程的解的图形是一条曲线，通解的图形:5、初值问题求微分方程的满足初始条件的特解的问题.6、积分曲线称为微分方程的积分曲线.积分曲线族.特解的图形:是这族积分曲线中的一条.（4）（5）初值问题（4）的几何意义：求微分方程的通过点的那条积分曲线.(柯西问题）20:53:40三、微分方程的解初值问题（5）的几何意义：

求微分方程的通过点且在该点处的切线斜率为的那条积分曲线.二阶:（5）20:53:40三、微分方程的解初值问题（4）的几何意义：求微分方程的通过点的那条积分曲线.一阶:（4）解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同．例120:53:40三、微分方程的解例120:53:40含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.

微分方程中未知函数的的导数的最高阶数称为微分方程的阶。１、微分方程、微分方程的阶2、线性微分方程与非线性微分方程如果微分方程中所含的未知函数及未知函数的各阶导数都是一次的，称为线性微分方程。不是线性方程的微分方程，称为非线性微分方程。微分方程的基本概念小结（简称为方程）3、微分方程的解通解、特解.解、20:53:40练习P3691,220:53:40

下次课内容9.2

一阶微分方程含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.

微分方程中未知函数的的导数的最高阶数称为微分方程的阶。１、微分方程、微分方程的阶2、线性微分方程与非线性微分方程如果微分方程中所含的未知函数及未知函数的各阶导数都是一次的，称为线性微分方程。不是线性方程的微分方程，称为非线性微分方程。微分方程的基本概念（简称为方程）3、微分方程的解通解、特解.解、20:53:40复习例2解20:53:40三、微分方程的解20:53:40三、微分方程的解思考题9.1

微分方程的基本概念思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.20:53:40解9.1

微分方程的基本概念20:53:40所求特解为9.1

微分方程的基本概念20:53:40例3.Solution.对所给方程求导得再求导得，9.1

微分方程的基本概念20:53:40练习题20:53:40练习题20:53:40练习题答案20:53:40目的要求：1.微分方程的解、通解、特解的概念

1.了解微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念重点：2.掌握可分离变量的微分方程的求解方法2.可分离变量的微分方程的求解方法第九章微分方程20:53:40由条件得①②③④解法概念命名微分方程初始条件方程通解方程特解9.1

微分方程的基本概念20:53:40