2022高中数学第三章空间向量与立体几何单元测试新人教A版选修2-1

第三章空间向量与立体几何注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥，点，分别为，的中点，且，，，用，，表示，则等于（）A． B．C． D．2．已知、，且，则向量与的夹角是（）A．90° B．60° C．30° D．0°3．已知A、B、C三点的坐标分别为、、，若，则等于（）A．28 B． C．14 D．4．若向量是空间的一个基底，则一定可以与向量，构成空间的另一个基底的向量是（）A． B． C． D．5．在空间直角坐标系中，已知、、、，若、、分别表示三棱锥在、、坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A． B．C． D．6．已知、是两异面直线，、，、，，且，，则直线、所成的角为（）A．30° B．60° C．90° D．45°7．如图所示，在平行六面体中，点为上底面对角线的中点，若，则（）A．， B．，C．， D．，8．已知、，设在直线上，且，设，若，则的值为（）A． B． C． D．9．如图，在长方体中，，，、分别是面、面的中心，则、两点间的距离为（）A．1 B． C． D．10．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，则点到直线的距离为（）A． B． C． D．111．如图所示，在长方体中，，，点是棱AB的中点，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．12．如图所示，正方体中，、分别是正方形和的中心，是的中点，设、与所成的角分别为，，则等于（）A．120° B．60° C．75° D．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知、，是轴上的动点，当取最小值时，点的坐标为_____________．14．已知正四棱台中，上底面边长为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线与所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，则直线PA与底面ABC所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD中，AB＝1，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P－ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，，，，试用基底表示向量．18．（12分）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且．（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且．（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）求二面角C－AB－D的大小；（3）若直线BD与平面ACD所成的角为30°，求线段AB的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱中，已知AB＝2，，E、F分别为、上的点，且．（1）求证：BE⊥平面ACF；（2）求点E到平面ACF的距离．21．（12分）如图所示，PD⊥底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PD＝DC，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）求二面角B－DE－C的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面ABCD，AB⊥AC，，，，且点M和N分别为和的中点．（1）求证：MN∥平面ABCD；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱上的点．若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长．2022-2022学年选修2-1第三章训练卷空间向量与立体几何（二）答案一、选择题1．【答案】D【解析】，故选D．2．【答案】A【解析】∵，，，∴．故选A．3．【答案】D【解析】，，∵，∴，解得，故选D．4．【答案】C【解析】∵，所以、、共面，故、、不能构成空间的一个基底，排除A；∵，所以、、共面，故b、、不能构成空间的一个基底，排除B；∵，所以、、共面，故、、不能构成空间的一个基底，排除D；故选C．5．【答案】B【解析】由题意可得，，，故．故选B．6．【答案】B【解析】由于，∴．，故选B．7．【答案】A【解析】，∴，．故选A．8．【答案】B【解析】设，则，，，∵，∴，∴．∴，，∵，∴，∴．故选B．9．【答案】C【解析】以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则、，所以，故选C．10．【答案】B【解析】过点作垂直，垂足为，设点的坐标为，则，，，，，．因为，所以，解得，所以，所以点到直线的距离，故选B．11．【答案】C【解析】如图，以为坐标原点，直线、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、．从而、、，设平面的法向量为，则，即，得．令，则．所以点到平面的距离为．故选C．12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则、、、、、．则、、，∴，，∴，，，，，∴．故选D．二、填空题13．【答案】【解析】设，则，，，∴当时，取最小值，此时点的坐标为．14．【答案】【解析】设上、下底面中心分别为、，则平面，以为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．∵，，∴，，∵平面⊥平面，∴为侧棱与底面所成的角，∴，设棱台高为，则，∴，∴，，，，∴，，∴，故异面直线与所成角的余弦值为．15．【答案】45°【解析】由条件知，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，∴，∵PB＝PC＝1，∴∠BPC＝90°，取BC边中点E，则，，又PA＝1，∴∠PEA＝90°，故∠PAE＝45°，∵E为BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴平面PAE⊥平面ABC，∴∠PAE为直线PA与平面ABC所成角．16．【答案】【解析】如图，过B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N．则可求得、、、、．由于，∴，∴．三、解答题17．【答案】．【解析】∵BG＝2GD，∴．又，∴．18．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）如图，连接交于点O，连接OD．∵O为的中点，D为AC的中点，∴．∵平面，平面，∴平面．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz．则、、、．∴、．，设异面直线与所成的角为，则，∵，∴．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD⊥AB，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC．又∵CD⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）∵AB⊥BC，AB⊥CD，∴AB⊥平面BCD，∴AB⊥BD．∴∠CBD是二面角C－AB－D的平面角．∵在Rt△BCD中，BC＝CD，∴∠CBD＝45°．∴二面角C－AB－D的大小为45°．（3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接DH．∵平面ACD⊥平面ABC，∴BH⊥平面ACD，∴∠BDH为BD与平面ACD所成的角．∴∠BDH＝30°．在Rt△BHD中，，∴．又∵在Rt△BHC中，BC＝1，∴∠BCH＝45°，∴在Rt△ABC中，AB＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，、．平面ABC的法向量，设平面ABD的一个法向量为，则有，，∴，取，则，∴．∴，由图可知二面角C－AB－D为锐角，∴二面角C－AB－D的大小为45°．（3）、、．设平面ACD的一个法向量是，则，，令，∴，则．∵直线BD与平面ACD所成角为30°，∴，解得，∴AB＝1．20．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：以D为原点，DA、DC、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，则、、、、、、．∴、、、．∵，，∴，，且．∴BE⊥平面ACF．（2）解：由（1）知，为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离．故点E到平面ACF的距离为．21．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．设，则、、、、、，∴、、、．（1）设平面BDE的一个法向量为，则有，即，∴．∴．，∴，又∵平面BDE，∴AP∥平面BDE．（2）设平面CDE的一个法向量为．，∴二面角B－DE－C的余弦值为．22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得、、、、、、、，又因为M、N分