勾股定理16种经典证明方法

#-•・•RtADGT9RtABCA,RtADHA9RtABCA.・•・RtADGT9RtADHA.・•・DH=DG=a,ZGDT=ZHDA.又•・•ZDGT=90°,ZDHF=90°,ZGDH=ZGDT+ZTDH=ZHDA+ZTDH=90°,・•・DGFH是一个边长为a的正方形.・•・GF=FH=a.TF丄AF,TF=GT—GF=b—a.・•・TFPB是一个直角梯形，上底TF=b—a，下底BP=b,高FP=a+（b—a）.用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为①b2一ab2c2—S+S+S+S+①b2一ab212345-丄lb+（b-a）］•L+（b-a）142+S9,1b2-S-S18—b2-abb2-S-S188=28=把②代入①，得-S+S88c2—S+S+b2-S+S8812_b2+S+S=29・a2+b2—c2【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b〉a）,成如图所示形状，使A、•・•ZTBEE、【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b〉a）,成如图所示形状，使A、•・•ZTBEE、G三点在一条直线上.=90°,斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼用数字表示面积的编号（如图）.ZABHZABE.ZBEA=b,9RtAABE.=a.=GT—HT=ZGHF+ZBHTZDBC+ZBHTZGHF=ZDBC.DB=EB—ED=b—a,ZHGF=ZBDC=90°,S—S・•・RtAHGF9RtABDC.即72.过Q作QM丄AG，垂足是M.由ZBAQ=ZBEAZQAM，而AB=AQ=c,所以RtAABE9RtAQAM.又RtAHBT9ZTBH=又•・•ZBTH=BT=BERtAHBTHT=AEGH=GT—HT又•・•=90°,b—a.=90°,=ZTBH+ZBHT=90°,R=c，2.=90°,可知ZABES—SRtAABE.所以RtAHBT9RtAQAM.即85.由RtAABE9RtAQAM，又得QM=AE=a,ZAQM=ZBAE.ZAQM+ZFQM=90°，ZBAE+ZCAR=90°，ZAQM=ZBAEZFQM=ZCAR.又•ZQMF=ZARC=90°,QM=AR=a,S・RtAQMF9RtAARC.即4…c2—S+S+S+S+S4—S•1又•・•S7—S25,6.a2—S1+Sb2—S+S+S6,378,—S4.a2+b2=S+S+S+S+S…16378_S+S+S+S+S=14325=c2，—,即a2+b2=c2.证法11】（利用切割线定理证明）证法12】（利用多列米定理证明）证法13】（作直角三角形的内切圆证明）证法14】（利用反证法证明）aba2b2abaaba2b2aba证法15】（辛卜松证明）ababb设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为°+b“二a2+b2+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为(a+b\=4x丄ab+c222ab+c2bFa23a14cc5bFa23a14cc5a2+b2+2ab=2ab+c2•a2+b2=c2?••【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,则AD=c.•・•EM=EH+HM=b+a,ED=a,・•・DM=EM—ED=“+a丿—a=b.又TZCMD=90°,CM=a,ZAED=90°,AE=b,・•・RtAAED9RtADMC.・•・ZEAD=ZMDC,DC=AD=c.•・•ZADE+ZADC+ZMDC=180°,ZADE+ZMDC=ZADE+ZEAD=90°,・ZADC=90°.・•・作AB〃DC,CB〃DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.TZBAF+ZFAD=ZDAE+ZFAD=90°,・ZBAF=ZDAE.连结FB，在AABF和AADE中，TAB=AD=c,AE=AF=b,ZBAF=ZDAE,・•・AABF9AADE.・•・ZAFB=ZAED=90°,BF=DE=a.・•.点B、F、G、H在一条直线上.在RtAABF和RtABCG中，*.*AB=BC=c,BF=CG=a,RtAABF9RtAB