高二理科数学竞赛试题

Word文档，下载后可任意编辑高二理科数学竞赛试题考试时间：120分钟满分：150分

（请将试题做在答题纸上）

第Ⅰ卷（选择题50分）

选择题（每小题5分，共10题）

1.在等差数列an中，a13,且a1,a4,a10成等比数列，则an的通项公式为（）A.an2n1B.ann2C.an2n1或an3D.ann2或an3

2.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c

，若a2

b2

，sinCB，则A=()（A）300（B）600（C）1200（D）1500

3、设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是()A、XZ2YB、YYXZZX

C、Y2

XZD、YYXXZX

4.已知{a5

n}为等比数列，Sn是它的前n项和。若a2a32a1，且a4与2a7的等差中项为4

，则S5=A．35B.33C.31D.29

5、在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosCcsinBcosA

12

b,且ab,则BA．

26B．3

C．5

3D．6

6、0b1a,若关于x的不等式(xb)2

＞(ax)2

的解集中的整数恰有3个，则（）

（A）1a0（B）0a1（C）1a3（D）3a67．已知不等式(x+y)(1a

x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()

A.2B.4C.6D.8

8.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，

a，则A.a＞bB.a＜b

C.a＝bD.a与b的大小关系不能确定

3xy609.设x，y满足约束条件

xy20，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是值为12，

x0,y0则

2a3b的最小值为().A.256B.83C.11

3

D.4（10）设正实数x,y,z满足x2

-3xy+4y2

-z=0.则当取得值时，+--的值为

（A）0（B）1（C）

（D）3

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.将直接填写在答题纸给定

的横线上.

11、在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c

，若ab

2，sinBcosB，

则角A的大小为．

12、若对任意x＞0，

x

x23x1

a恒成立，则a的取值范围是．

13.在锐角ABC中，BC1,B2A,则AC

cosA

的值等于，AC的取值范围为

14、设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是__________________.

x2y5≥015．设m为实数，若(x，y)3x≥0(x，y)x2y2

≤25

，

mxy≥0

则m的取值范围是．

三、解析题：本大题共6小题，共75

分，解析应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。

16、（12分）△ABC中，a,b,c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且

cosBcosC=-b

2a+c

（1）求∠B的大小；

（2）若a=4，S=53，求b的值。

17（12分）已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈-1,1时，不等式f(x)>a恒成立，求a的取值范围

18.（12分）已知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6＝55,a2+a7＝16.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{abn}和数列{bn}满足等式：an＝1b2b2+322+...bn2+32n

(n为正整数)，求数列{bn}的前n项和Sn

19．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（conA-sinA）cosB=0.

（1）求角B的大小；

（2）若a+c=1，求b的取值范围

20（本小题满分13分）

在等差数列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为{bn}，求数列{bn}

的前m项和Sm．

（21）（本小题满分14分）设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

的前n项和Rn.

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高中高二数学竞赛试题

一、选择题：DADCACBAAB

二、填空题：11π

2

12、a≥

1

5

132、d≤-d≥15、-4,433

16、⑴由

cosBbcosBsincosC=-2a+ccosC=-B

2sinA+sinC

2sinAcosB+cosBsinC=-sinBcosC2sinAcosB=-sinBcosC-cosBsinC

∴2sinAcosB=-sin(B+C)2sinAcosB=-sinAcosB=-12,又0ax2+ax+3>ax2

+3>a(1-x),x∈-1,1

-1≤x≤1,∴0≤1-x≤2

当x=1时，1-x=0,x2+3>a(1-x)对一切x∈R恒成立时，00由a2+a7＝16.得2a1+7d=16①由a3a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55②

由①得2a1=16-7d将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220。即256-9d2=220

∴d2=4,又d>0,∴d=2,代入①得a1=1∴a

n=1+(n-1)2=2n-1

（2）令cn

n=

b2

n,则有an=c1+c2++cn,an+1=c1+c2++cn-1

an+1-an=cn+1,由(1)得a1=1,an+1-an=2

两式相减得∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即当n≥2时，bn=2n+1又当n=1时，b1=2a1=2

∴b2,(n=1)n=2n+1

(n≥2)

于是Sn=b1+b2+b3+bn=2+23+24++2n+1=2+2

2

+23+24

+

+2

n+1

-4=

2(2n+1-1)

2-1-4=2n+2-6,即Sn=2n

+2-6

19.【解答】（1）由已知

得-cos(A+B)+cosA3sinA=cos

，

B即sinAsin3sinAco=s.

B因为0sinA≠0，所以sinBcosB=0

,又cosB≠0,所以tanB=又0Bπ，所以B=π

3

.

（2）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB，因为a+c=1，cosB=1

2

,所以

b2