第二十讲直线与平面、平面与平面垂直原卷版

第二十讲：直线与平面、平面与平面垂直【考点梳理】1.直线与平面垂直判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝α,l⊥α))⇒l⊥α【典型题型讲解】考点一：直线与平面垂直的判定定理及性质【典例例题】例1.（2022·广东珠海·高三期末）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，P在平面的投影为边的中点O，，，，．求证：平面.例2．（2022·广东东莞·高三期末）如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.证明：；【方法技巧与总结】（1）证明线线垂直的方法①等腰三角形底边上的中线是高；②勾股定理逆定理；③菱形、正方形对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是直角；⑤向量的数量积为零；⑥线面垂直的性质；⑦平行线垂直直线的传递性（）．（2）证明线面垂直的方法①线面垂直的定义；②线面垂直的判定（）；③面面垂直的性质（）；④平行线垂直平面的传递性（）；⑤面面垂直的性质（）．【变式训练】1.如图，圆台下底面圆的直径为，是圆上异于的点，且，为上底面圆的一条直径，是边长为的等边三角形，．证明：平面；2.如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面．证明：平面3.如图，在三棱锥中，已知平面ABC，，D为PC上一点，且．（1）若E为AC的中点，求三棱锥与三棱锥的体积之比；（2）若，，证明：平面ABD．4.如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，，，点是棱上靠近点的三等分点，点是的中点．（1）证明：平面；（2）点为线段上一点，设，若平面，试确定的值．5．（2022·广东深圳·高三期末）如下图所示，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形．证明：；6.如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．证明：7.如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．若，试证；考点二：面面垂直的判定定理和性质【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）如图，直三棱柱（即侧棱与底面垂直的棱柱）内接于一个等边圆柱（轴截面为正方形），AB是圆柱底面圆O的直径，点D在上，且．若AC=BC，求证：平面平面.例2.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E为AD的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD.【方法技巧与总结】1.面面垂直的判定定理（线面垂直面面垂直）．证明时，先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决．2.面面垂直的性质关键找两个平面的交线并且和交线垂直的直线.【变式训练】1．（2022·广东清远·高三期末）已知正三棱柱中，，D，E，F分别为的中点．证明：平面平面．2．（2022·广东汕尾·高三期末）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，求证：平面ADE平面ABCD；3.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．4.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，．在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．5.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ABD沿对角线BD折起，记折起后A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．求证：(1)CD⊥平面PBD．(2)平面PBC⊥平面PDC．6.如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE的中点．(1)证明：AE∥平面BDF；(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【巩固练习】一、单选题1．棱长为2的正方体中，E，F分别是棱BC，的中点，下列命题中错误的是（

）A． B．EF∥平面C．EF⊥平面 D．四面体的体积等于2．为正方体对角线上的一点，且，下面结论不正确的是（

）A． B．若平面PAC，则C．若为钝角三角形，则 D．若，则为锐角三角形二、多选题3．如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD4．如图所示，在四棱锥中中，为正方形，，E为线段的中点，F为与的交点，．则下列结论正确的是（

）A．平面 B．平面C．平面平面 D．线段长度等于线段长度三、填空题5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，写出以之间的部分位置关系为条件（除外），为结论的一个真命题：_____________．6．如图，在直三棱柱中，底面是为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在线段上，当_______时，平面．7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=x，AC与BD交于点O，将△ACD沿直线AC翻折，形成三棱锥D-ABC，若在翻折过程中存在某个位置，使得OB⊥AD，则x的取值范围是___________．四、解答题8．在四棱锥中，四边形为菱形，，且平面平面．证明：平面；9．如图所示，在四棱锥中，平面底面，，，，，，．设平面与平面的交线为，为的中点．（1）求证：平面；（2）若在棱上存在一点，使得平面，当四棱锥的体积最大时，求的值．10．如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，，为等边三角形，平面平面ABCD．（1）证明：；（2）求三棱锥的体积．11．如图1，在直角梯形ABCD中，，∠BAD=90°，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中的位置，使平面平面BC