量子力学国内1、一维无限深方势阱Vx00xa中

1、一维无限深方势阱V 中 如果加上微扰H’=qEzE7页都在做同一道题因为书不在手边火车上又没办法查就是把第一二问拿出来考的原题一点都没变我还记得结果是个负数呢光看往年的题目是靠不住的这题记得是天大还是复旦200*年考过记不清了总的来说难度不大没有出格的考试题目这卷子也是我看别人总结之后加上点才发的就普物的题目去看看只记得09年10年我有手抄版本等到回家的吧扫出来让大家网上找到的，811量子力学，2011A B C h的数值为A ****（据6. (11◊10^34致使了，复习时主要一些细节，还有有可能还会出，我清楚的记得当时我还推到过单位，可是由于当时对数据坚信不疑，当时又不记得eV.s的值，致使丢了分）正确h=6. (1◊10-34sh=4. (3◊10-15Vs i(BA2

C DA

R2(r)4r2dr0 LrpprLrppr成 样一个表象，使得sxsysz在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，并说明理由. x，x之间的几率

1

rppr2 ^^^求[r,pr 1 1 rr2rrr22z2 若受到微扰H

0a处于处，宽度为b，且2

DiracCheng. 理解，而对于基本的几块，必须做到每一题自己可以演算出来。对比以往题目，2011年量子力学题型作了变化，可以和以往题目作下对照。在备战2011年考试时，由于仅看到往年大题，使得看到题型变化，有点不适应，小题全靠平时的理解了。所以2012年准备科 2010年招收攻读入学统一考试试题ˆ,BˆPauliˆˆˆˆxyxyz试将 xyxyz

二、设一维谐振子的初态为 0cosxsin 即基态与第一激发2 2的叠加，其中 t 求t时刻粒子的势能算符V x t0;其中,TzetT t求很长时间后tT电子跃迁到激发态的概率，已知基态中a为玻尔半径；

r

2era100

4a3

r

r

3cos rer2a.22(a)200,(b)211,(c)211,(d)210四、两种质量为m的粒子处于一个边长为abc的，不可的长盒子中；求下列条自旋为12 试题名称：2010量子力学 第1页共1Ё⾥ᄺ䰶お⫳

ˊᴀ䆩ो ߚˈܹ䚼㗗䆩䯈ᘏ 2009年招收攻读入学统一考试试题

2

2

(k0)若势场突然变为V(xkx2,

x

24 p24 三、（共30分）若已知aˆ aˆ aˆ†0,aˆ aˆ†,其中i,j=1,2. j

j

,ˆ†, 1 2 1 2 2 1JxJyJzJ

J

J

J

试用aˆ,aˆ†,aˆ†,aˆ表示J22 2四、（30分）已知两种中微子的本征态为v1

和 ,能量本征值Epc

其中i12,

cosv1sinv2

sin,

cosv2,其中是混合角。某体系中在t00五、（30分）设在氘核中，质子和中子的作用表示成VrVera，试用0er2a 若V032.7 a2.16fm,试确定的值试题名称：2009量子力学 第1页共1Ё⾥ᄺ䰶お⫳

ˊᴀ䆩ो ߚˈܹ䚼㗗䆩䯈ᘏ - *BC&+,D- '0(1&)⎛ˆ

01⎝⎠ ⎝⎠l=

,Lz)',6ÆLx=

101⎟01 ˆ (ˆ2ˆ6 " , 3#V1(x)=1 1.

a=(mk)1/2

2√iˆ 564. / "V2(x)=kx2 R+∞e−x2dx=√πÆ*42=

jj[ai,aj]=[ai†,a†]=0Æ[ai,a†]=δijÆi,j=1,2jjJˆx,Jˆy,Jˆz- 12 " Æ|γ2×Jˆ2=Jˆ2+Jˆ 12 " Æ|γ2×

Ej

pc j=1,23μm1=m2Æ 6m1,m2 0 Æ36|γe×=cosθ|γ1×+sinθ|γμ×=−sinθ|γ1×+cosθ#Æt= 1..$ |γe(t)× .81 39 Æ*2%& L ÆΔm2=m2− θ'36Δm r &H I63 :#V(r)=−V0e−a V0>0Æa> ψ=e−2a Æ9k &a=2.18×10−15mÆ μ=0.83×10−27kg17H'%" E=−2.23MeVÆ~=1.05×10−34J·S−1Æ; 5#8*J+/+;<Æ< =+

,=iˆ)=

=αxˆÆPˆ=βpˆÆ*αβ=1Æα=(mk)1/2 Pˆ=−id Q,

="hQ|ˆ=QhQ|ÆhQ|Pˆ=−iddψ0(Q)+Qψ0(Q)=22− −

/ 11/4—

. ψ0(Q)= ψ0(Q)=(π x α21/4e−α22Æ "φ(x)x

)=(π ~n2~

0 6α=(mω)1/2Æα0

α2α 1/2 =hφ0|ψ×=

Z∞

—α2+αx x2 (22

π6λ=α2+α02ÆP=|C

·2

dx 3 9>3?@21.[Jˆα,Jˆβ]=iεαβγJˆγÆA?. ƈ ˆJˆ2=Nˆ(Nˆ+1)Æ4A %&Æ *jjÆ

Ej=pc

|t×=cosθ|γ1×−~E1t+sinθ|γ2×−~#8*J+/+;<Æ< =+ . Ce(t)=hγe|t×=cos4θ+sin4θ+2cosωtsin2θcos26=Δm2p4=6 ÆV(r)=−V0e−1.A=(k3

aa

Z0Æψ=(a3 Æψ=(a3 2

r2e−krdr=ˆ ~2[

+2d−Ve−r]=pˆr—V pˆr=−i~(

+1)

—

r

=

Zr [(r

+1)e−a 2μ ~2k3Z∞

[4a2r+1

r]e—adra

k3Z krr hV×=

e−a−ardr= kE=~2k2−V ∂E=0

0kk= −2008年招收攻读入学统一考试试题试题名称：量子力学A卷

00，

三、（共30分）在H

中粒子的本征值，设1 1 四、（共30分）两个自旋为1的粒子，两个粒子分别为1,2 2

0 sineit1n

（已知xHn

n12 试题名称：2008量子力学 第1页共12008年招收攻读入学统一考试试题参考答案：量子力学A卷解：氢的束缚态能级为En 222量子数为l,n,m，n=1,2,3…… fnn2（30分）一个粒子质量为，在一势能环中运动，势能为V

00<

V()(E 00<<因为势能为V

1、在0>,0内，(2、在0<<0令k 利用边界条 得： Asin(k) n2

0所以其本征值EEn202由归一化条件知0A2sin2n)d1A2 2sin(n)0< 三、（共30分）在H=

中粒子的本征值，设1 设a

1+1+ ,21+1+ 0 0利用微扰设H=H0+H',H0 0,H' 0

E(0)=1,E(0)=3,E(0) E(1) E(1)=0,E(1)=0,E(1) H2H又E(2) n E(0) n E(2) E(0) E(0) E(2) E(0) E(0) E(2) E(0) E1E1+E1+E11021 E2E2+E2+E230 3 E11

,E23

,

1+1+ 1 2

1- ,23

,3=- 1 四、（共30分）两个自旋为1的粒子，两个粒子分别为1,2 2

0 sineit 1 0sineit 1122

00 (1)式化为1coseitcoseit1sineit 21 0sin 2 三态概率为P3cos2

2单态概率为

sin22五、（共30分）处在一维谐振子势基态的粒子受到微扰H'xt0作用，求跃迁到其它各激发态的总概率和仍处在 态的概率。（已1

xHn

2Hn+1 Ё⾥ᄺ䰶お⫳ 䇏 㗗⫳乏

⾥Ⳃৡ⿄˖䞣 1ˊᴀ䆩ो⒵ߚЎ150ߚˈܹ䚼㗗䆩䯈ᘏ180ߚ䩳

ⱘ䞣ᄤҹঞপ㣗ोˈ∖ܹߎㅔᑊ ˈ㛑00< ∖㉦ᄤ䖤 ᴀᕕߑDŽ

2 Ё㉦ᄤⱘᴀᕕˈ䆒 1ˈ⫼ᖂᡄ∖ܹᴀᕕˈᑊϢ㊒⹂∖㾷Ⳍ↨䕗DŽ

ߚ˅ϸϾ㞾Ў1hⱘ2ᄤˈϸϾ㉦ 20 1,

coseitsine

ᖂᡄ

xt0 䎗䖕 1

2Hn

2Hn+1 1义ܹ12008年招收攻读入学统一考试试

22量子数为l，n，m，其中 fn2l1

=2d 因为势能为V

10>,0内，(

d2 2 ()令

d其通解为：(Asin(kAsin(0) 利用边界条件Asin(k) 得：k

n2222由归一化条件知0A2sin2n)d1A2 2 sin(n 2

中粒子的本征值，设 2

1+11+1+

+H',H

0 已知：E(01,E(03E(0) ∵E(1) E(1)=0,E(1)=0,E(1) n又E(2)n

HHE(0)2H2H2E(2)

E(0) E(0) E(2)

'H H

' H H E(0) E(0) E(2)3

21H223H2E(0)21H223H2 E1E1+E1 1021 E2E2+E2+E230 3 E11

,E23

,

=1+1+ 1 2

1 ,23

,3= 1 1 0 XX cos 1 0 ∵

22

X00

XX1coseitcoseit

sineit X 1 0sin

2

2n221n22

n1

n1 W0n ein0H'n0 0其 n0En=H'n0nH'0t0nx11 n11

t01W0n ein0tH dt210其

2

89:;YZ[\H2008>?@A;BC+,*? H$ &#RS ψ(r,θ,ϕ)=√R20(r)Y00(θ,ϕ)−√R31(r)Y10(θ,ϕ)−√R31(r)Y1−1(θ, z # ()= 3g2"(V(ϕ) 0,0≤ϕ≤∞,ϕ0≤ϕ≤ /H ⎝⎠H=⎜ ⎝⎠ /- k?Mλ2 ;#k`IK7 l-^ cosθe−iϕ1 χ1 χ2

sinθe222 H∓∓)=λxδ(t∓ 0≤∓≤ t> A 1.E=−e2

n=n+l+1=1,2,··· 2a0 n{n,l,m} l=0,1,2,···,n−1 m=−l,−l+1,···,lg=1(2l+1)=n2nl* mljmT ? 2Ψ=2ψ200−√ψ310−22amn

2Ψ 5ψ200−√5ψ310S

5En=2μϕ2,n=1,2···q 2sinnπψn(ϕ) det(H−E)= 1− ⎝⎠ 3− ⎟=⎝⎠ λ−2−((λ−2−E)(E2−4E+3−λ2)= E3=λ−2,E1,2=2 4−3+λ2=2 1+ 1

0 H0=⎜0 0⎟,H=⎜ 0 0 E=E(0)+ H| − − ⎪E=1− E=1+ ⎩E3=−2+2l* mljmT 2(1+x)1/2=1+x+··· &Mλ2/-7[

=2−(1 =2+(1 −2+

2)=1−λ2)=3+ s= α(1),χ=cosθe−iϕα(2)+sinθ

e22χ(1,2)=

θe−iϕα(1)α(2)+

θe22 220α(1)α(2)=χ11,α(1)β(2)=√1[χ10+2 θχ(1,2)=cose—2χ112

√sin

2e2[χ10+k!@+- 1sin2 cos2θ+1sin2 2cosθe−2χ(1,2)=χ⊗χ 2 sinθe2⎛cosθ2

iϕ 2θ

θsin2e0 0 0

=

2

e22A : A a0,m

ZH

0r r x|ni=1 n|n−1i n+1|n+Φ :A: Δnn0= ω10

H=0H=λta10

δ(0 τi~α τ=i~√2P10

A P=1−Ё⾥ᄺ䰶お⫳ 䇏 ⾥Ⳃৡ⿄˖䞣 ˊᴀ䆩ो ߚˈܹ䚼㗗䆩䯈ᘏ ߚ䩳 ㄨ乬㒌 ܹ ϔ㓈䰤⏅䰅(0xa)Ё䖤ⱘ㉦ a/ 2a/ a/3x2a/⫼DŽ䆩∖ᗕ㛑䞣ⱘϔ㑻

ߚ˅㉦ എV(x)Ё䖤ᑊ໘Ѣᴳ㓮ᅮᗕn(x) 䆩㉦ ⱘᑇഛЎ䳊 ܹ D˅㗗㰥㞾Ў1ⱘ㋏㒳DŽ䆩sˆ2

㸼䈵Ё∖ㅫ

ⱘᴀᕕ As ⱘᴀᕕᗕDŽܹЁsˆysˆz㾦䞣ㅫヺˈABE˅ᅮℸ㋏㒳໘ѢҹϞㅫヺⱘϔϾᴀᕕᗕϞˈ∖⌟䞣

㒧ᵰЎ2ಯǃ

⫼ⱘ㉦ᄤ㕂Ѣϔ㓈䰤⏅䰅 ᇍϟᄤԧ㋏ Ԣᘏ㛑䞣ⳌᑨⱘㅔᑊᑺҹঞϞ䗄㛑㑻 ϸϾ㞾Ў1ⱘऎߚ㉦2ϸϾ㞾Ў1ⱘܹৠ㉦2 ܹ ߚϔϾ䋼䞣Ўmⱘ㉦ᄤ㹿 r ৠᖗ⧗䴶П䯈䖤

ˈ∖㉦ ᗕ㛑䞣ᔦϔ⾥ৡ⿄˖䞣ᄤ ᄺ 义ܹ 义2007年招收攻读入学统一考试试

一、H'x 0xa/3,2a/H'xV,a/3x2a/ 22

sinn 0xnE

(x)

x0,x

2a 3*H'dx dxV 1对于基态，一级修正为E(1)H' 1a 11 （30分）粒子在势场V(x中运动并处于束缚定态n(x中。试证明粒子所受势场作用力的平均值l lF ∵nPl,lnnPlnnlln inFn nPl,lni 三、（共30分 z

=得到的结果为的概率。2

= 0

2 0 2 2 B = iAx1 x1

Bxx 2 2 A2B2A2B A2B2A2B2

A2A2 1A2A2 A2 =A2B2, A2 1A2A2 sˆ的本征矢为111及21 ，将按此本征矢展2 2 y

2i2i

即1c11

2

c11

11 A2B2 A22 A22 A2A24iA2B2 4

A2 A2B2A2

A2A2A2A2AB2A2B2BA2A2A2

2 2

AB

的概率为 A2B2BA21

212

E1

sin 1 sin 1 x a2

4

2sinx1

aa 2sinx1a

aaE2

=

2sinx1

a

,

2sinx1aa

a

,

2sinx1 aa2sinx1

,

2sin2x1

,

2sin2x1sin 2sin2x1sinx2,a

2sin2x1sinx2a 11,10,11

sin 1 E2

2=2

4

5

sinx1sin2x2sin2x1sinx211 sinx1sin2x2sin2x1sinx210 a a a a a a a sinx1sin2x2sin2x1sinx211, sinx1sin2x2sin2x1sinx2 a a a a a a a解：V(r)

arbrb,r

令l0的s态波函数(r) r显然，在rb与rau(r0，arbu(r)满足方程d ku(r) 其 k 方程（2）满足u(a)0的解为u(r)Asink(ra),ar 由连续条件u(b)0k(ba)n

knb

En2

(r)24r2dr4bu(r)2dr 11

(r)

ax2(ba) ba rb,r2007年招收攻读入学统一考试试题试题名称：量子力学A卷H(x)

0xa/ 2a/3x a/3x2a/ 三、（30分 y得到结果为222五、（共30分）一个质量为m的粒子被限制在r＝a和r＝b的两个不可的同心球试题名称：2007量子力学 第1页共12007年招收攻读入学统一考试试题参考答案：量子力学A卷H(x)

0xa/ 2a/3x a/3x2a/ (0)n2 2ma2，n1,2,3。相应的能量本征函数

(0xa) (x0,xE(1)a(0)(x)*H(0)(x)dx

2V12a/3

dx

1

aa/3 a FˆdV(x)1[ˆ,V(x)]1[ˆ,Hˆ] 1

11

于是，三、（30分 z假定此系统处于以上算符的一个本征态上，求测量 z设

ˆ y得到结果为2

iBz zB 设本征值为，有2

a A2A2bab1则有本征方程

iBa a Bb 1

A2 A2 A2AA2 2 2

1

，故发现sˆ

2i 2 2

1BA

A2B2。22 对于自旋21

(x)(x) 1

(x)(x)(x)(x) (x)(x)

1 1的二个全同粒子，总波函数必须是对称的。故基态：总能量为2E2函数为1(x1)1(x200

1(x)(x)(x)(x)EE，其波函数为

，1(x1)2(x2)1(x2)2(x1)

2sinnx (0x a ，E(0)

(x0,x

1s(s0,1)五、（共30分）一个质量为m的粒子被限制在r＝a和r＝b的两个不可的同心球

R(r)Y(,R(ru(r)rd l(l1)则u(r)满足约化径向方 ra,r其中V(r ar

ar对于基态l0，则方程变为 u u u(r) ra,r其中k 。其通解为u(r)Asin(kr)，arbu 0得ka；由u 0得kn，n1,2

2n2

b

En2m2m(ba)2n12E12m(ba)22b 又由归一化条件R2(r)r2dru2(r)dr12b a。R(x)b ara。 0ra,r22

1sin

(r

ar

(r)

0ra,rЁ⾥ᄺ䰶お⫳ 䇏 ⾥Ⳃৡ⿄˖䞣 ˊᴀ䆩ो ߚˈܹ䚼㗗䆩䯈ᘏ ߚ䩳 ㄨ乬㒌 ܹ ϔ㓈䰤⏅䰅(0xa)Ё䖤ⱘ㉦ a/ 2a/ a/3x2a/⫼DŽ䆩∖ᗕ㛑䞣ⱘϔ㑻

ߚ˅㉦ എV(x)Ё䖤ᑊ໘Ѣᴳ㓮ᅮᗕn(x) 䆩㉦ ⱘᑇഛЎ䳊 ܹ D˅㗗㰥㞾Ў1ⱘ㋏㒳DŽ䆩sˆ2

㸼䈵Ё∖ㅫ

ⱘᴀᕕ As ⱘᴀᕕᗕDŽܹЁsˆysˆz㾦䞣ㅫヺˈABE˅ᅮℸ㋏㒳໘ѢҹϞㅫヺⱘϔϾᴀᕕᗕϞˈ∖⌟䞣

㒧ᵰЎ2ಯǃ

⫼ⱘ㉦ᄤ㕂Ѣϔ㓈䰤⏅䰅 ᇍϟᄤԧ㋏ Ԣᘏ㛑䞣ⳌᑨⱘㅔᑊᑺҹঞϞ䗄㛑㑻 ϸϾ㞾Ў1ⱘऎߚ㉦2ϸϾ㞾Ў1ⱘܹৠ㉦2 ܹ ߚϔϾ䋼䞣Ўmⱘ㉦ᄤ㹿 r ৠᖗ⧗䴶П䯈䖤

ˈ∖㉦ ᗕ㛑䞣ᔦϔ⾥ৡ⿄˖䞣ᄤ ᄺ 义ܹ 义 /$%078<97200730 %& =(0<x<)* (0,0<x<a,2a≤x≤ '

H×

33a<x<33 V(x) s=

2 sy=24%#$-)%(!' εn,n=1,2···') ?)1)s12)2)s12$)5 r=r=b)"1 ()!"1)!" ˆψn(x)= *hψn|[ˆ,ˆ]|ψni=[ˆˆ +()!2 s=2

hˆi=1hψ|[ˆ,ˆ]|ψi= (sz,sy,1 1

,C=(A2+ θ=A,ϕ=π,n=(0,sinθ,cos 2 2, σn cos −isin isin −cos, ,-$ 2σn=±1,-F=2

2 22sinθe 2

cos2isin22

! θ!θχ−

2θ

sin

%

−cos C−B)1,cosθ=1=1 )2=( 2 1+cosθ C+Bcos(2

)2=( ) *sy= Θ±=

1.+(2.1),(2.2)!† cos†

2)=Θ+χ+=

isin =

(cos2+sin22P ~)=

2C+ sinθ =2(1+

)=

χ−=

sin

θθ

=√(sin

~ sinθ)=C−~

)=2

(1!+. F=

+& z1F=±~2C C=(A2+B2)21

2%F= χ+2

bFχ+=2 = Ba− iAb−, ,-$ (B−C)a= |a|2+|b|2= b=(C−B)21 δ=√ C−B C+B b=

)2,a=

)2=p2C(C− C+ ="

C− 1χ−=

!C−

C+ ?, χ±'Bsy=±~'*#.( ys= y

,s= 0 0!

1z2F= 2

F=±~

C+ 2)=√ √C− = =

C−χ−(sy

C+0!0 +00B=0,χ− 1 A: εn,n=1,2···, (r2s= ) * % (n1,n2)2(1,*

Eg=ψg=, ,-$ ( Æ(n1,n2)* 2

(1,(2,E1=ε1+== =2-%3"(6 =1,n2=

Eg=ε1+1ψg=√[φ1(q1)φ2(q2)−φ2(q1)φ1(q2)] Æ(n1=2,n2=E1=ε2+1ψ=√[φ2(q1)φ3(q2)−φ3(q1)φ2(q2)]B. / φn(r). Æ(n1=1,n2= Eg=ψg= ⎨ψ=φ(x)φ(x)⎪⎨ *

1 αα,χ10=21

[αβ+* .

=ββ,χ00=√[αβ−2, ,-$ (n1=1,n2=E1=ε1+ψψ1ψψ1

g1 )'4"42=2)D>2)5ÆEg=ψg=1E1=ε1+1ψ1

√[φ(x)φ(x)+φ(x)φ(x)]χ 1 221

2 1 ψ234

√[φ(x)φ(x)−φ(x)φ(x1g1=6

1 22r

2 1 g

sin (r−a)Y(θ, b− 2μ(b−

b−2007年招收攻读入学统一考试试题试题名称：量子力学B卷一、（30分）V(x)V0

x (V0x二、（30分）电子处于沿zB的均匀磁场中。设t0试求t0试分别求t0时电子自旋沿x、y、z

|x| |x|

中运动

ˆ 四、（共30分）设系统哈密顿算符为H V(r

1 n

n

n V(r n2 2 2

的作用。试求对第n（nxˆn

(n1n,n1 试题名称：2007量子力学 第1页共12007年招收攻读入学统一考试试题参考答案：量子力学B卷V(x)V0

x (V0x 设：入射波为Aeik1x，反射波为Beik1x，透射波为Ceik2 2m(EV02m(EV0 Aeik

Beik1x

Ceik2x

Akeik1x

Bkeik1x Ckeik2x

AB于是可以得到AB)kCk BAEEBAEE

EE VEE R2

k1

E4 EV0 E4

T21R2（30分）电子处于沿zB的均匀磁场中。设t0时刻电子自旋沿y方向。试求t02z试分别求t0时电子自旋沿x、y、z方向的概率。解：取sˆ2sˆ表象，则初态为11。薛定谔方程为2zid1

iiB 01dt B 12 2id1由它可以得到联立方程 i

1 eit满足初始化条件的解为

122 ieit1212其中BB122 21

px

2111

1sin2t，py 1i

2

2

101 2

|x| |x|

解：阱内xa能量本征值方程为2mEV(x) x0处的跃变条件为x0处,式(1)可以写成

002mV0 22其中k

ax 0x (3)式的两个特解 sin coskx a x1sinnxa奇宇称解为

En

2 0xa ax利用跃变条件(2)及边界条件x xa ˆ 四、（共30分）设系统哈密顿算符为H V(r

2ˆ 1 2ˆn

n

n V(r n ˆ i ˆ ˆ

ˆ

2 2

的作用。试求对第n（已知矩阵元nxˆn (n解：将Hˆ0p2 0

n,n1 Hˆ4m2x2m

4m2HˆV

其中V1m2x2，根据量子力 nE(1)n

nHˆ m24m2nV2

4m2 xx3ˆ12nVn Enn

可得nxˆ4n 2n22n 4

E(1)nHˆn32n22n 2006年招收攻读入学统一考试试题试题名称：量子力学（甲）A卷ˆˆˆ二、（共30分）粒子在势场V(x)A|x|n (x,A0)中运动，试用不确定度

En*()

( nr nr En22n2 0x 0y四、（共30分）粒子在二维无限深方势阱中运动，V

r五、（30分）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即VV(t，与坐标无关。试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解(rt的一般形式，并取V(t)V0cos(wt)，以一维情况为例说明V(t)的影响是什么。r试题名称：2006量子力学（甲 第1页共12006年招收攻读入学统一考试试题参考答案：量子力学（甲）A卷ˆˆˆ ˆ2ˆˆˆˆˆˆ 1设Bˆ，则得到20。所以1,0。因此有B 0 1 设A ˆ a 22ˆ BAA，所以 1。因此推得A 二、（共30分）粒子在势场V(x)A|x (x,A0)中运动，试用不确定解：利用测关系xp

EpAxn22对x

d

0，得

2

22

n2 E

2

4mn

4mnA

E

2

n2 ；证明费曼-海尔曼定理：En*Hˆ ； n(r) n(r En22n2ˆ(rE(rE*HˆH n E * * * En

ndr

* nnndrnE

所以 n H 。由上题定理，取，易证T En22n2，所以T3n2，即T22n2En 0x 0y四、（共30分）粒子在二维无限深方势阱中运动，V

nE122ma2n1n2n1,n21,2,n

2sinn1xsinn2y 基态非简并，能级为E(0)，本征函数为(0)

2

,(0)

2

E(1)

a a E(1)

a2

五、（共30分）设粒子所处的外场均匀但与时间有关。即VV ，与坐标r将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解(rt)的一般形式，并取 2d 2d2

ittV故xAei2mx ftBe itV0sint若取V(t)

cost，那么ftBe itV0sint于是得到x,tNei2mxe Neikt(t))t1tVtdt院院

ˆˆ及不确定度x、p，并求出xp值。ˆˆ 三、（共30分）一个质量为m的粒子被限制在0xa的一维无穷深势阱中。初始时刻其归一化波函数为(x,0) (1cosx)sinx，求 在t0与t0四、（30分）HV0(a|2xa|a用。求第n五、一个质量为m的粒子被限制在ra和rb的两个不可的同心球面之间运动，试题名称：2006量子力学（甲 第1页共1

ˆˆ及不确定度x、p，并求出xp值。解：谐振子的定态为宇称本征态，所以xˆ ˆ0Virial定理2Vˆ2TˆEnxˆ2n

1

ˆ2n1m 2 2 ˆ2 m

2 1p

ˆ2

ˆ212mn1 xpn

12

2 ˆˆ ˆˆ因此Aˆ2Bˆ21，Aˆ,Bˆ0

所以可在0,2内找到实数n使ncos nsinn。于是有

ˆ

三、（共30分）一个质量为m的粒子被限制在0xa的一维无穷深势阱中。初始时刻其归一化波函数为(x,0) (1cosx)sinx，求 在t0与t0时在势阱的左半部发现粒子的概率是多少？

2a (0x2a本征波函数：(x) a (x0,x55所以t0时(x,0) 4(x) 1(x)。t0时粒子的状态波函数55 (x,t) 4(x)eiEt 1(x)eiEt 5

5 2t

xexpi2ma2cosaexpima2sin W0a2(x,0)2dx1160a

。Wt0(x,

dx a求第n个能级的一级近似，并分析所得结果的适用条件。(0)22 波函数(0)(x

(0x2a。2a。 (x0,x 11n 11nEE(0)E(1) V

E0

1

0

0 1，即V

E0

222n

五、一个质量为m的粒子被限制在ra和rb的两个不可的同心球面之间运动，

R(r)Y(,R(ru(r)rd l(l1)则u(r)满足约化径向方 ra,r其中V(r ar

u(r)k2u(r) ar对于基态l0，则方程变为 u u u(r) ra,r其中k 。其通解为u(r)Asin(kr)，arbu 0得ka；由u 0得kn，n1,2

2n2

b

En2m2m(ba)2n1,2E12m(ba)22b 又由归一化条件R2(r)r2dru2(r)dr12b a。R(x)b ara。 0ra,r又由

21sin (ra)2

(r)

0ra,r2006年招收攻读入学统一考试试题一、（共30分）粒子以能量E入射一维方势垒。V(x)V0 0xa。设能 x0,xEV0，求透射系数T二、（共 0x分）2的粒子置于势场V(x中，V(x

x0,x9处状态为(x,s) 5(x)1 2(x)1，其中(x)为系统空间部分的第n9 18 i ˆ

m22 r。加上 )五、（30分）1，电荷为零的粒子置于磁场中。t0 0B000,B0，粒子处于ˆz的本征值为1的本征态1。设在t0 B1B10,0)，求t0试题名称：2006量子力学（乙 第1页共12006年招收攻读入学统一考试试题一、（共30分）粒子以能量E入射一维方势垒。V(x)V0 0xa。设能 x0,xEV0，求透射系数T 2d 解：定态薛定谔方程为2mdx2VxxEx 其解为x

x CexpikxCexpikx x其中k22mE k22mEV0。由波函数x及其一阶导数在x0,xa处

D kk2kk2mj mT D

D.4k. 二、（

0x分）2的粒子置于势场V(x中，V(x)

x0,x9处状态为(x,s) 5(x)1 2(x)1，其中(x)为系统空间部分的第n9 18 i WE

5WE4 解：谐振子基态为宇称本征态，xˆˆ0， ˆ2p2 1 ，得Hˆ

2ˆ取极值条件Hˆ0，得p2m由

代入Hˆ得到基态能量的估计值为Hˆ 1

2ˆ m22四 （共30分）各向同性的三维谐振子哈密顿算符为 )

r2解：已知Hˆ(0)的本征 3E(0)

nnn

2 2

nyn

z n,n,n,

5E(0

(0)x,y,zxyz 111 1 11 1

(a E(1)2a 五 0B00,0,B0，粒子处于ˆz的本征值为1的本征态1。设在t0 ；E 1；22 22 E,

0

其中B B 将t0时初始波函数按能量本征函数展开得到在t0时，波函数为

(0)011

112(t1eiteiti1sint1costi0sint0 0 1

)i1sint

2sint 0

0粒子处于本征态 ，相应的能量本征值EB

1H的作用下，粒子由

跃迁到 1 0

态（相应的能量本征值为

tHeitdtt0HHˆB1xB11 1EE i

sin2t1 He

1

W(sz sin0t

0

B1B02006年招收攻读入学统一考试试题一、（共30分）粒子以能量E入射方势垒。V(x)V0 0xa。设能量EV x0,x 求透射系数T二、（30分）粒子在一维对称无限深方势阱（axa）中运动。设t0 所处状态为(xt0)t0概率密度|(xt|2

) 1R(r)Y( 2 三、（共30分）设氢原子所处状态为(r,,,sz) R(r)Y(,) 21 求总磁矩ˆeˆeˆz 四、（30分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积xp五、（共30 HˆJˆˆ，其中ˆ和ˆ分两个自旋为2非全同粒子自旋间相互作用 12的自旋算符。设t0z试题名称：2006量子力学（乙 第1页共12006年招收攻读入学统一考试试题一、（共30分）粒子以能量E入射方势垒。V(x)V0 0xa。设能量EV求透射系数T 2d

x0,x 解：定态薛定谔方程为2mdx2VxxEx， xxCexpikxC 0x x其中k22mE k22mV0E。由波函数x及其一阶导数在x0,xa处 Dexpika 2ik 1kk2shka22ikkch mTj＝kDm 4k2

D.二、（30分）粒子在一维对称无限深方势阱（axa）中运动。设t012 12所处状态为(xt0)t0概率密度|(xt|2

)E1

2aa2a2aE4E 2a t0时波函数为(xt)1(x)ei1t(x)ei2t2 2概率密度为(xt212(x2(x2(x)(xcos()t 21 21

1222 1R(r)Y( 三、（共30分）设氢原子所处状态为(r,,,s) 2 R(r)Y( 21

S解：

RY

3RY 1 03221111 21101 1 0 1 1

的可取值为,013

。平均值为 4 z

ˆ ˆ z 四、（30分）对于一维谐振子的基态，求坐标和动量的不确定度的乘积xp ˆ解：谐振子定态为宇称本征态，xˆˆ0。谐振子动能T ，势2所以xp

m1m1 m2 2

ˆ

2

12的自旋算符。设t0zHJs1s2 s1s2解： J2

ˆ2，其中ˆ EJ2 EJ2

11,1,21,1,1EJ2

31,0

12,,2E3J22

40,0 12将t0时的波函数按|i展开得|(0) 12

1,,exp

iJt

,,

2

,t)2

,(t)2

2cos2Jt2 !C 200678 <=ˆ† (ˆ† ˆ ˆN V(x)=A|x|n (V(x) 0,0<x,y< ˆ0= , F- #F- Æ V=V(x,t)------------- >- P3007.14,1)ˆ2ˆ†ˆˆ†ˆa†(1ˆ†ˆ)a

$ n=0,!#

[AB,C]=A[B,C]+−[A,[ˆ,ˆ][a†a,ˆ]a†[a,ˆ]+[a†,ˆ]ˆ−ˆ,[ˆ,ˆ†][a†a,a†]ˆ†[a,ˆ†]+†,ˆ†ˆˆ†ˆ ˆ($ˆ|ni

ˆˆ†ˆ†(ˆˆˆ|ni1)a|nin− ˆ|ni=λ|n−⊗n|ˆ†=∗n−9(,)?-/*@Æ0*@ +*%⊗n|ˆ†ˆ|ni√ˆ|

n|n− ˆ| ˆ| {|0i, 01a 0!a†=(a)† 0 1√ ˆ† 1−n|n+ ˆ† ˆ†/[ai,j†]= [ai,aj]+=[ai†,j†]= [Ni,Nj]=2 AB= aiaj=N1, |n1i⊗|n2i=|n1n2i=(a†1)n1(a†2)n2√ia†|n1n2···ni···i=iai|n1n2···ni···i=m

1−ni|n1n2···ni+1···√ ni|n1n2···ni−1···

ˆ

! 1 |1i=|00i

= 0

⎟=⎜0⎟0⎜ ⎝0 0⎜

!1|2i=|01i

= ⎟0 0 0|3i= |4i=1;- - - 2[ai,aj†]+=δij,[ai,aj]+=[ai†,aj†]+= H0=~ω1a†1a1+~ω2a†a2(ω2>ω12(,)?-/*@Æ0*@ +*% =~ωn+~ω n,n=0, 1 2 E(0)= |00i= , E(0)= |10i= , E(0)= |01i= , E(0)=~(ω1+ |00i= ˆ= ˆ=a†a H0 %BQ14=0|12|1=1 H=ε(a†a†− H0 H=H0+H ω1=ω2=1i˙1=[a1,H]=~ωa1+εa†2,ia˙2=[a2,H]=~ωa2−εa†1" =a1cosθ+a†2sin1b2=a2cosθ−a†sin1b†b1b†b2 2 [b1,b†]+= [b2,b†]+= 2

=1=1

cosθ+a2sincosθ−a1sin1/451

=b1cosθ−b† =b2cosθ+

E∼(Δp)2+A(Δx)n + (Δx p= x= .= =

−4μ(Δx)3+

n−1=1(Δx)n+2

(,)?-/*@Æ0*@ +*%$ ~2n+2 (Δx)2[8μ+

]=8μn n+2~ (4μn)n+2 (n= 5 #Δx·Δp∼~ ΔE·Δt∼ #%;$ %;7 %;1" Δt=

Δp ΔE=E= p=

∂E=∂ω=ΔE=

v2ΔE·Δt= v2g5 1) 3E9 F#4=%G 5H45 ,+>2Δt ΔEI" "Æ25 Δx·Δp≥ 2iλΔˆ)|Ψ ⊗i≥ @ #E1∝ Δp∼~= E∼ r

εn 2μa2,Φn(x)

a

a

En1n2=2μa2(n1+n2),Ψn1n2=Φn1(x)Φn2(,)?-/*@Æ0*@ +*%(

n1= n1=5 A/7 6 V=1μω2x2+1μω2y2+1 n=n1+n2+n3= (E(0)=π2~2× Ψ(0)=Φ(x)Φ =Φ1x11yΦ1 , (2,1)(1, 8( E(0)=π2~2× Ψ=Φ(x)Φ H H22=λ⊗1|12y2 4 =H21=λ|⊗Φ1|x|Φ2i| 81π41)F- Glauber H=2μ−r e20En=−2~2n2=−2a0#∂En=⊗n|∂H ⊗Tin=2~2n2= ⊗Tin=−12⊗V⊗Tin+⊗Vin=⊗Tin−2⊗Tin=En=−⊗T

=⊗n|∂e2 1⊗V

=e2⊗−1r

=−−~2=

−~2n2=⊗−r=(,)?-/*@Æ0*@2006 +*%,!, /45P101 H=H0(x)+V(t)=2μ+V0(x)+VJΨ(x,t)=Φ(x)f C7S-ii Φ(x)f(t)=H(x)Φ(x)f(t)+V(t)f if0 V(t)f

H0(x)Φ(x)=f f ii f(t)=V(t)f(t)+Ef H0(x)Φn(x)= XΨ(x,t) n

X c(t)[H+V(t)]Φ B>/

Xc()[+Vni~ddt

(t)=

+V

icn(t)=cn(0)exp{−~[Ent

Z0iZ Ψ(x,t)=exp[−

V(τ)dτ] cn(0)Φn(x)e−~ t= Ψ(x,0)= Jcn(0)=iZ Ψ(x,t)=exp[−

V(τ)dτ]·Φm(x)e−~ ~ 9 V(t) exp[−~(K#

tV(τ)dτiZ f(t)=A iΨn(x,t)=[Φn(x)e−~Ent]·V(τ)dτ]e−~0iZ

~~02005年招收攻读入学考试试 0V(x)0

xx其中V0750eVx处能观察到多少个电子？

V(x)

xx二、（20分）质量为m、电荷为q的粒子在三维各向同性谐振子势Vˆ(r1m2r2 三、（40分）一个质量为m0V(x)0

x0,xaax0开始时（t0(xAsinxcos3xA为常数。请求出t 动量均方差根（不确定度四、（30分）两个具有相同质量m和频率H1p2p21m2xa2xa2 （a为两个谐振子的平衡位置受到微扰作用Hm2xx2 五、（20分） expr 13030

a0x x2x2 p ˆH V(r)LS ˆJLS 12 n2 rr2 f(r)rrf tedt 2004年招收攻读入学考试试一、粒子在一维无限深方势阱V(xV(x)

xax态4中的节点数（在节点处，找到粒子的几率密度为零 V(x)Vx V 2,4,6, 满足薛定谔方程itHˆ，定义密度算符（矩阵 为 四、质量为的粒子在三维各向同性谐振子势为Vˆ(rkr

k(x2y2z2)2在基态中的不确定量rp，这里r是位置矢量的均方差根x2y2z2rr

。p 02五、两个自旋都是12的粒子1和2组成的系统，处于由波函数a b 02

0表示自旋朝下（沿z方向1ab01

2

ˆ

证明轨道角动量L和SJLS若自旋－轨道相互作用

ˆˆ(r)L（H

为自旋波函数2003年招收攻读入学考试试试题名称：量子力学（330分）ˆuuˆu0ˆˆ aˆˆˆˆ ˆˆ ˆ

ˆˆA,H二、把传导电子限制在金属内势的一种平均势，对于下列一维模式（如图V(x)V0，x0，xE0V0E0 四、给定,nnnsincossinsincos 求

表象 HˆeB

eBˆ 设t0时电子的自旋“向上”，即Sx2，求t0时S试题名称：2003量子力 第1页共1 V(x)AA0为常数。求值a，使粒子处于范围axa25﹪ma，其中m1212a12的非耦合基如m,1n,2 (m,n12,12)，就是些非纠缠态；而一个耦合基20012,112,212,112,22Hp22V(xnn共同本征态jmF的平均值与量子数m无关。六、（20分）一个两能级系统，哈密顿量为H，能级间隔大小为A。现在此系统受到 实数。请算出系统受扰后的能级间隔（精确到二级微扰修正 x 二、（20分）一个质量为的粒子，处于势阱V(x) xa中，t0 化波函数为(xt0)

xsin

x2 2 a 在后来某一时刻tt0在t0和tt0(EnEk)n

ˆˆˆ2kF,H,F五、（20分）设质量为m，电荷为q的粒子被约束在谐振子势V(x1kx2x2E01的能级移动，准确到E2级。2001年招收攻读入学试 x0,x一、（20分）一个质量为的粒子在势阱V(x)A(xa), 0x2aA0为常数，求系统第三激发态的能量本征值。

二、（20分）粒子被一维势垒V(x)

0x

0满足性质：a00，其中aa xiˆ，试用此性质求出基态在动量表象中的波函数显示式p0

Lˆmzx在此态下计算平均值zx

2和ˆ和x五、（20分）一电子在势阱V(xkx22x沿方向一均匀电场的微扰作用。电场强度为E。确定该系统由于电场存在所引起的能级移动。 22

1ex2y22

2xex2y22

yex2y22设有一微扰V(x)xy(x2y2

2 (

□1)。试对上述态计算由V试题名称：2001量子力学（理论型 第1页共12001年招收攻读入学试 x0,x一、（10分设质量为m的粒子在一维无限深势阱V(x) 0xa中运动。试二、（10分）一个质量为mEx0V(x)

x03

x三、（20分ˆ四、（20分）一个微观粒子在球对称的中心势场V(x中运动，且处于一个能量和轨道V) 0均有r0V(rVR(r2r2dr0R(r0 n中 EnEmxnm2n 0 0

0 0

c 试题名称：2001量子力学（实验型 第1页共12000年招收攻读入学试 一、（20分）一个质量为m限制在x0xxa运动。时的波函数为 t0)A12

a 后来某一时刻t0体系在t0和tt0在t0时于势阱右半部（即a2xa）二、（20分）E0

2a，其中a

三、（20分）设粒子处于Ylm,xyL2, L2 四、（20分）记 2 3为Pauli矩阵，定义1i2(1)计算, 3, 3, 2 2 1 e3e312 1 2 ，若体，ˆˆ, 精确到量级。系式a,a†aa†a†a a†2 a20以Na†a表示该单粒子态上的粒子 试题名称：2000量子力学（理论型 第1页共12000年招收攻读入学试 一、（15分）在电子的双缝理想实验中，什么结果完全不能用粒子性而必须用波动性来解释？ (x0,xV(x) (x0,x 8设t0时，其归一化波函数为(x,0) (1 ) 8 t0时测得其能量所得的几率性的结果（10分t00时的含时波函数及t0时测其能量的结果（10分。(1991年(实验型)第二题 ˆˆˆ Lˆ对易（8分)论答：其价电子2p能级为几个能级（10分试题名称：2000量子力学（实验型 第1页共11999年招收攻读入学试 ˆˆ

ˆ 2二、设有哈密顿量H mx

2mx 估计基态处于区间 x (V0)中运动 x 求V0求存在且仅存在三个束缚态的条件。(1998年(理论型)第一题 2mc Hˆn1n nm 2 n2m2 设有一扰动W，满足mWn 试题名称：1999量子力学（理论型 第1页共11999年招收攻读入学试 一、质量为m的粒子在一维势阱V(x)中运动。V(x)

x，

x xn(x) x描述，其中Cx二、轨道角动量算符Lˆˆx

z

ˆ

ˆ

z Lˆx

yˆxzxzˆ,zxzxˆ,x

Lˆ

x,

z ˆˆˆ ix,y,zz c

H

(0)E2

给出在1的自旋本征态中给出在1的自旋本征态中

f0,为正常数。应用一级微扰论计算当t

n

（1试题名称：1999量子力学（实验型 第1页共11998年招收攻读入学试 V(x)

x (V V x (1999年(理论型)第三题 二、自旋为的带电粒子（电荷为q，质量为m）BBey的作用（ey2mc 三、一个质量为m

V(x)

x3aax3ax3axV00V00四、设有算符a和a满足如下对易关系（aai,j12 aa†a†a aaaa a†a†a†a†i j i j i j1 212试求哈密顿量(01 Hˆ0a†aa†ai1a†a2a1 212（提示：仅利用a和a 中与有关的部分当作微扰，请用定态微扰论求出第一激发态的试题名称：1998量子力学（理论型 第1页共11998年招收攻读入学试 Hn1(x)2xHn(x)2nHn1(x)

ˆ

2是 关系xp 4果，其中x2xx2 p2pp2（5分）求n(x)态上动能算符和势能的平均值T, V。它们之间的关系是什 ：(x)Ne2x22H(x), N （10分）ˆj2和ˆj的共同本征函数为j和m为相应的量子数。求证也是ˆj2和ˆ 三、（25分）BBBsincosz其中

ex ez为 z方向的单位矢量，B0 均为常数，体系的哈密顿量Hˆˆ MB，其中M2BS

四、（25分）一个质量为m的粒子在一维势V(x V(x)

x3aax3ax3ax将V0部分视为在6a长的平坦势（即：V

x3a；V

x3a）试题名称：1998量子力学（实验型 第1页共11997年招收攻读入学试 一、质量为m的粒子在一圆圈上（L）运动，如果还存在V(x)a(xL2

a0 二、自旋为1的带电粒子（电荷为q，质量为m）受到均匀磁场B 的作用（ ，如果 三、设有算符b和b bb†b†b bbbb b†b†b†b† (i,j1,i j i j i j (0)的能谱和相应的本征态11 22 11 ˆ 2 ˆ 2 mx。设有微扰H m 为正数，且1

若k为该系统的基态0，而Hˆ(x,t)F(x)et，求在t时体系处于某一态n的几率Pn0(t)（利用上题结果） （97实验型Ⅱ第四题）试题名称：1997量子力学（理论型 第1页共11997年招收攻读入学试 一、在杨氏双窄缝实验中，假设光源S发射一个个光子，且每次只有一个光子通过比双证明Fˆ表象的完备性关系式k k1 三、质量为mf(x)

Y iY

i2Y2

C(xy332式中 C为归一化常数。求zzzz

x

ˆ 2

(x) e2x22 求x和p一维谐振子的维里定理是TVxp2中x x2x2六、在t0时，氢原子的波函数

p

p2p21 1 式中波函数的下标分别是量子数

在t时刻体系处在l 试题名称：1997量子力学（实验型 第1页共11997年招收攻读入学试 一、设算符KLM LMML1，又设为K的本征矢，相应的本征值为，求uL和vMKV(x) 0x x0,x2求已知t0时，该粒子的态