2023年高三理科数学第一轮复习不等式(3)均值不等式

2023年高三理科数学第一轮复习不等式（3）均值不等式考纲要求1、利用均值不等式证明其他不等式2、利用均值不等式求最值命题规律常以选择题、填空题的形式出现，难度通常为中低档。由于应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，所以经常与其他内容综合出题。在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等，难度一般不会太高。考点解读考点1利用基本不等式、均值不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．考点2利用基本不等式、均值不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，近几年很少直接考了，但随着选学内容进入高考，这种题型有可能重新进入高考。证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．考点3解决恒成立问题当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．考点突破考点1利用基本不等式、均值不等式求最值典例1(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值为________；(2)当x＞0时，则f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)的最大值为________．解题思路第(1)问把eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)中的“1”代换为“2x＋y”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式解题过程(1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(2x＋y,x)＋eq\f(2x＋y,y)＝3＋eq\f(y,x)＋eq\f(2x,y)≥3＋2eq\r(2).当且仅当eq\f(y,x)＝eq\f(2x,y)时，取等号．(2)∵x＞0，∴f(x)＝eq\f(2x,x2＋1)＝eq\f(2,x＋\f(1,x))≤eq\f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq\f(1,x)，即x＝1时取等号．易错点拨解题过程中注意隐含条件的挖掘，特别是“1”和“0”的挖掘和使用变式1(1)已知x＞1，则f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)的最小值为________．(2)已知0＜x＜eq\f(2,5)，则y＝2x－5x2的最大值为________．(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．点拨(1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝eq\f(1,5)·5x·(2－5x)，∵0＜x＜eq\f(2,5)，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5x＋2－5x,2)))2＝1，∴y≤eq\f(1,5)，当且仅当5x＝2－5x，即x＝eq\f(1,5)时，ymax＝eq\f(1,5).(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴eq\f(2,y)＋eq\f(8,x)＝1，∴x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))＝10＋eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)＝10＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥10＋2×2×eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝18，当且仅当eq\f(4y,x)＝eq\f(x,y)，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案(1)3(2)eq\f(1,5)(3)18变式2已知，若实数满足，则的最小值是.点拨由，得，则，所以，（当且仅当“”时，取等号），故的最小值为7答案7考点2利用基本不等式、均值不等式证明不等式典例1已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.解题思路先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．解题过程∵a＞0，b＞0，c＞0，∴eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ca,b))＝2c；eq\f(bc,a)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(bc,a)·\f(ab,c))＝2b；eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥2eq\r(\f(ca,b)·\f(ab,c))＝2a.以上三式相加得：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(bc,a)＋\f(ca,b)＋\f(ab,c)))≥2(a＋b＋c)，即eq\f(bc,a)＋eq\f(ca,b)＋eq\f(ab,c)≥a＋b＋c.变式1已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.答案∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，取等号．考点3解决恒成立问题典例3若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解题思路先求eq\f(x,x2＋3x＋1)(x＞0)的最大值，要使得eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a(x＞0)恒成立，只要eq\f(x,x2＋3x＋1)(x＞0)的最大值小于等于a即可．解题过程若对任意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，只需求得y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值即可，因为x＞0，所以y＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x)))＝eq\f(1,5)，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，＋∞))变式1已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．点拨由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2eq\r(2xy)，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案10综合突破突破1添项拆项求最值典例1求下列函数的最值（1）；（2）（3）（4）已知0<x<eq\f(π,2)，f(x)＝eq\f(1,sinx)＋；（5）已知，，，求的最小值.解题思路运用均值不等式求最值时，“正”“定”“等"三个条件缺一不可.将各函数变形整理后能运用均值不等式求解.解题过程（1），当且仅当时取最小值（2），当且仅当时取最大值（3）因为，所以，当且仅当时取最大值（4）当且仅当，时取最小值（5），，，，，当且仅当时取最小值.易错点拨以上几类问题为利用均值不等式求最值的常见题型.(3)要注意这一条件，否则极易出错，（4）要观察到，运用乘“1”法求解；（5）不能直接用，因为取到等号的条件是，而突破2数列与不等式结合考查典例1已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足.（1）求；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；（3）是否存在最大的整数，使得对任意的均有总成立？若存在，求出，若不存在，说明理由.解题思路前两问主要是考察等差数列的性质和求和公式，（3）问恒成立问题，分离参数后利用基本不等式求最值.解题过程（1）是等差数列，，又所以，是方程的两个根，又所以，.，，，（2），，.(3)由（2），，对恒成立.对恒成立，，最大的整数为15.快乐训练1、如果，那么的最小值是（）A．4 B． C．9 D．182、设，则的最小值是（）A、2B、4C、D、53、设若的最小值为（）A.8B.4C.1D.4、已知，则的最小值是（）A．2 B． C．4 D．55、已知,则函数数的最小值为6、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是7、函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值为________．8、已知下列四个结论：①若则；②若,则；③若则；④若则。其中正确的是提高训练1、已知各项均为正数的等比数列的最小值为（） A．2 B．3 C．4 D．52、“”是“对任意的正数，”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3、已知不等式对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.84、已知正数a、b、c满足的最小值是_____________．5、对于实数，，若，，则的最大值为.6、已知函数，定义域都是，若恒成立，求的范围.7、已知集合＝，，是定义在上的函数，当时，恒有，且，求在上的最大值.8.已知函数f(x)＝kx＋b的图象与x、y轴分别相交于A、B，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2i＋2j(i、j分别是与x、y轴正半轴同方向的单位向量)，函数g(x)＝x2－x－6.(1)求k、b的值；(2)当x满足f(x)＞g(x)时，求函数eq\f(g(x)＋1,f(x))的最小值．超越训练1、若,则下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．2、下列不等式一定成立的是（）A． B．C．