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每日练16解三角形及其应用一、选择题1.在△ABC中,假如sinA:sinB:sinC=::4,那么cosC等于()2B2A.3.-311C.-3D.-4答案:Dabc分析:由正弦定理sinA=sinB=sinC可知a:b:c=sinA:sinB:sinC=::4,设a=2k,b=3k,c=4k,cosC=a2+b2-c22ab4k2+9k2-16k21=2×2k×3k=-4,答案选D.2.(2018·东广雅中学、江西南昌二中联合测试广)已知a,b,c为△ABC的三个角A,B,C所对的边,若3bcosC=c(1-3cosB),则sinC∶sinA=(
)A.:3C.:1
B.:3D.:2答案:C分析:由正弦定理得
3sinBcosC=sinC-3sinCcosB,3sin(B+C)=sinC,3sinA=sinC,所以sinC:sinA=:1.应选
C.3.(2018·成都摸底测试)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcosC-2ccosB=a,则角A的大小为( )A.πB.π23ππC.4D.6答案:A分析:由正弦定理得2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinBcosC=3sinCcosB,∴sin2CcosC=3sinCcos2C,∴2cos2C=3(cos2C-sin2C),求得tan2C=13.∵B=2C,∴C为锐角,∴tanC=3πππ3,∴C=6,B=3,A=2.应选A..·天津河东区模拟在△中,π4(2018)ABC=,=,tanA=2,b5B4则a的值是()A.102B.210C.10D.2答案:B分析:∵在△ABC中,tanA=cosAsinA=2,sin2A+cos2A=1,∴sinA=25πa55.由b=5,B=4及正弦定理可得25=2,解得a=52210.应选B.5.非直角△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已π知c=1,C=3.若sinC+sin(A-B)=3sin2B,则△ABC的面积为( )15315A.4B.4213333C.4或6D.28答案:D分析:由于sinC+sin(A-B)=sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB6sinBcosB,由于△ABC非直角三角形,所以cosB≠0,所以sinA=3sinB,即a=3b.π又c=1,C=3,由余弦定理得
22a+b-ab=1,联合
a=3b,可21得b=7,所以
132π33S=absinC=bsin=.应选22328
D.6.(2018
·长春调研)在△ABC
中,角
A,B,C的对边分别为
a,b,c,若2bcosC-2ccosB=a,且B=2C,则△ABC的形状是( ).等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案:B分析:∵2bcosC-2ccosB=a,∴2sinBcosC-2sinCcosB=sinA=sin(B+C),即sinBcosC=3cosBsinC,∴tanB=3tanC,又B=2C,∴2tanC=3tanC,得tanC=3πππ3,C=,B=2C=,A=,故△ABC1-tan2C632为直角三角形.7.(2018·东莞二模)已知△ABC的内角分别为A,B,C,AC=7,BC=2,B=60°,则BC边上的高为()333A.2B.23+63+39C.2D.4答案:B分析:由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,得7=AB2+44ABcos60°,即AB2-2AB-3=0,得AB=3,得BC边上的高为33ABsin60=°2,应选B.8.(2018·贵阳一模)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,若cosA+sinA-2=0,则a+b的值是( )cosB+sinBcA.1B.23D.2答案:B分析:由cosA+sinA-2=0得,+π·2cosB+sinB2sinA4πππππsinB+4=2,即sinA+4sinB+4=1,又sinA+4≤1,sinB+4≤1,∴sinA+πsinB+πππ=2a+b4=4=,==,=,∴=,c1AB4C2ab2c2,应选B.二、填空题9.(湖南长沙一模)△ABC的周长等于2(sinA+sinB+sinC),则其外接圆半径等于________.答案:1分析:设外接圆半径为R,已知2(sinA+sinB+sinC)=a+b+c,a+b+c得=2①.依据正弦定理知a+b+c=2RsinA+2RsinbsinA+sinB+sinC2Rsinc,代入①式得2R=2,即R=1.10.(2018·上海杨浦区一模)若△ABC中,a+b=4,C=30°,则ABC面积的最大值是________.答案:11分析:在△ABC中,∵C=30°,a+b=4,∴△ABC的面积S=2ab·sinC=1ab·sin30=°1ab≤1×a+b2=1×4=1,当且仅当a=b=224424时取等号.所以△ABC面积的最大值是1.11.(2018·郑州二模)如图,一栋建筑物AB的高为(30-103)米,在该建筑物的正东方向有一个通讯塔CD,在它们之间的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得塔顶C的仰角是30°,则通讯塔CD的高为________米.答案:60分析:在Rt△ABM中,AM=AB30-10330-103===sin15°sin15°6-246,过点A作AN⊥CD于点N,在Rt△ACN中,由于∠CAN=30°,所以∠ACN=60°,又在Rt△CMD中,∠CMD=60°,所以∠MCD=30°,所以∠ACM=30°,在△AMC中,∠AMC=105°,所以AC=sin105°AM=206,所以AC=60+203,所以CN=30+103,所sin∠ACMsin30°以CD=DN+CN=AB+CN=30-103+30+103=60.三、解答题12.(2017·课标全国卷新Ⅱ,17)△ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.分析:此题考察了三角公式的运用和余弦定理的应用.2B(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=151(舍去),cosB=17.158(2)由cosB=17得sinB=17,14故S△ABC=2acsinB=17ac.17又S△ABC=2,则ac=2.由余弦定理及a+c=6得
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