函数与方程 单元知识 小结 教学设计

第三章单元小结（一）（一）教学目标1．知识与技能整合函数与方程的基本知识和基本方法，进一步提升函数与方程思想.2．过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学知识，从而构建本节的知识体系3．情感、态度与价值观在学习过程中，学会整合知识，提升自我学习的品质，养成合作、交流、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元知识；难点：提升综合运用单元知识的能力.（三）教学方法动手练习与合作交流相结合，在整合知识中构建单元知识体系，在综合练习中提升综合运用单元知识的能力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾反思构建体系1．函数与方程单元知识网络函数与方程二分法求方程的近似函数与方程二分法求方程的近似解方程的根与函数零点的关系函数零点的存在性判定2．知识梳理①二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，当f(x)=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0，因此，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象——抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.②函数的零点的理解（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实根，有几个实根.③函数零点的判定判断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，并且是否存在f(a)·f(b)＜0，若满足，那么函数y=f(x)在区间（a，b）内必有零点.④用二分法求方程的近似解要注意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|a–b|＜，便可判断零点近似值为a或b.⑤用二分法求曲线的近似交点应注意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y=f(x)和y=g(x)的交点的横坐标，实际上就是求函数y=f(x)–g(x)的零点，即求方程f(x)–g(x)=0的实数解.1．师生合作，绘制单元知识网络图2．学生回顾口述知识要点，老师总结、归纳，师生共同进行知识疏理.整理知识，培养归纳能力；师生共同回顾、再现知识与方法.经典例题剖析例1利用计算器，求方程2x+2x–5=0的近似解.(精确到0.1)例2确定函数f(x)=+x–4的零点个数.例3（1）试说明方程2x3–6x2+3=0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）（2）探究方程2x3–6x2+5=0，方程2x3–6x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么结论？1．学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.例1【解析】设f(x)=2x+2x–5，由于函数在R上是增函数，所以函数f(x)在R上至多一个零点.∵f(1)=–1＜0，f(2)=3＞0，∴f(1)f(2)＜0，∴函数f(x)=2x+2x–5在(1,2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(1,2)1.0.83(正数)(1,1,5)1.25–0.12(负数)(1.25,1.5)1.3750.34(正数)(1.25,1.375)1.31250.11(正数)(1.25,1.3125)∵|1.3125–1.25|=0.0625＜0.1，∴函数f(x)的零点近似值为1.3125.∴方程2x+2x–5=0的近似解是1.3125.例2【解析】设，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x=4时，y1=–2，y2=0，当x=8时，y1=–3，y2=–4，∴在(4,8)内两曲线又有一个交点，又和y2=x–4均为单调函数.∴两曲线只有两个交点，即函数有两个零点.例3【解析】（1）设函数f(x)=2x3–6x2+3，∵f(–1)=–5＜0，f(0)=3＞0，f(1)=–1＜0，f(2)=–5＜0，f(3)=3＞0，函数y=f(x)的图象是连续的曲线，∴方程2x3–6x2+3=0有3个实数解．首先以区间[–1，0]为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标a0=–1，b0=0x0=(–1+0)/2=–0.5x1=(–1–0.5)/2=–0.75x2=(–0.75–0.5)/2=–0.625x3=(–0.75–0.625)/2=–0.6875x4=(–0.6875–0.625)/2=–0.65625x5=(–0.65625–0.625)/2=–0.640625x6=(–0.65625–0.640625)/2=–0.6484375x7=–0.64453125计算端点或中点的函数值定区间f(–1)=–5，f(0)=3[–1，0]f(x0)=f(–0.5)=1.25＞0[–1，–0.5]f(x1)=f(–0.75)＜0[–0.75，–0.5]f(x2)=f(–0.625)＞0[–0.75，–0.625]f(x3)=f(–0.6875)＜0[–0.6875，–0.625]f(x4)=f(–0.65625)＜0[–0.65625，–0.625]f(x5)=f(–0.640625)＞0[–0.65625，–0.640625]f(x6)=f(–0.64843725)＜0[–0.6484375，–0.640625]f(x7)＜0[–0.64453125，–0.640625]由上表计算可知，区间[–0.64453125，–0.640625]的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是–0.64，所以–0.64可以作为方程2x3–6x2+3=0在区间[–1，0]上的一个近似解．同理可求得方程2x3–6x2+3=0在区间[0，1]和[2，3]内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81．所以方程2x3–6x2+3=0全部解的和为–0.64+0.83+2.81=3．（2）利用同样方法可求得方程2x3–6x2+5=0和方程2x3–6x2+8=0全部解的和也为3．由于3只与未知数的系数比相等，即–(–6÷2)=3，所以猜想：一般地，对于一元三次方程ax3+bx3+cx+d=0有三个根xl，x2，x3，则和为x1+x2+x3=．动手尝试练习提升综合应用知识的能力.备选例题例1求函数y=x3–2x2–x+2的零点，并画出它的图象.【解析】因为x3–2x–x+2=x2(x–2)–(x–2)=(x–2)(x2–1)=(x–2)(x–1)(x+1)，所以已知函数的零点为–1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：，[–1，1]，[1，2]，.在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：x…–1.5–1–0.500.511.522.5…y…–4.3801.8821.130–0.6302.63…在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.例2求函数f(x)=x3+x2–2x–2的一个为正实数的零点（误差不超过0.1）.【解析】由于f(1)=–2＜0，f(2)=6＞0，可以取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间|an–bn|[1，2]1x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.625＞0[1，1.5]0.5x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=–0.984＜0[1.25，1.5]0.25x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=