棱柱棱锥的概念和性质

关于棱柱棱锥的概念和性质第一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一底面侧面其余各面侧棱顶点高两个侧面的公共边互相平行的面侧面与底面的公共顶点各侧面的公共顶点两个底面所在平面的公垂线段顶点到底面所在平面的垂线段多边形第二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一2.棱柱、棱锥的性质棱柱棱锥侧面

侧棱平行且相等交于一点平行于底面的截面纵截面平行四边形三角形平行四边形三角形与底面全等的多边形与底面相似的多边形第三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一3.四棱柱的一些常用性质（1）平行六面体的四条对角线

且在

；（2）直棱柱的

与高相等，直棱柱的

及过

的截面都是矩形，直棱柱的侧面与

垂直；（3）正四棱柱与正方体的底面都是

，正方体的侧面和底面都是

；（4）长方体的

等于同一个顶点上三条棱长的

.交于一点该点互相平分侧棱长侧面不相邻两条侧棱底面正方形正方形一条对角线长的平方平方和第四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所成角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=

；若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为α、β、γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=

.12第五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究对象

(1)定义：底面是

，并且顶点在底面上的射影是底面的

，这样的棱锥叫做

.(2)性质：①侧面是

，与底面所成二面角均

；②侧棱均

，侧棱与底面所成的角均

；③平行于底面的截面也是

；纵截面是

；④正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面外接圆半径、底面内切圆半径.正多边形中心正棱锥全等的等腰三角形相等相等相等正多边形等腰三角形第六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一5.体积公式（1）柱体体积公式为V=

，其中

为底面面积，

为高;

（2）锥体体积公式为V=

，其中

为底面面积，

为高.6.侧面积与全面积（1）棱柱的侧面积是各侧面

，直棱柱的侧面积是底面周长与

；棱锥的侧面积是各侧面

，正棱锥的侧面积是底面周长与

.

（2）全面积等于

与

之和，即S全=+

.ShhSSh面积之和高之积面积之和斜高积的一半侧面积S侧S底底面积第七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一基础自测1.以下命题中正确的是 （）

A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面都是平行四边形的多面体是棱柱

B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面体是棱锥

C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

D.长方体一定是正四棱柱C第八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（）

A.棱柱有一条侧棱与底面垂直

B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直

C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直

D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直B3.已知长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为

24，则这个长方体的一条对角线长为（）C第九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一4.（2009·陕西文，11）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （）

解析由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1，每一个正四棱锥的高为，所以B第十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一5.若一个正三棱柱的高为1，体积为2，则一条侧棱到与它相对的面之间的距离为（）

解析由体积公式V=Sh可得底面积为若设底面三角形的边长为a，则有所以a=2，故侧棱到相对面的距离为D第十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一题型一棱柱、棱锥的概念和性质【例1】如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下5

个命题中：①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补；③底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；④底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；⑤等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上.

其中真命题为

（写出所有真命题的序号）.第十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一思维启迪结合“等腰四棱锥”的概念，逐一进行判断.解析①真.因为“等腰四棱锥”四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；②假.如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补.故是假命题；③假.如当底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不是“等腰四棱锥”；第十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一④假.理由同③；⑤真.因为由①知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上.答案

①⑤

本题要注意“等腰四棱锥”的定义，并会研究其简单的性质与判定方法.掌握“侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等”，“侧棱都相等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结论.探究提高第十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一知能迁移1设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥.

其中真命题的序号是

.

解析命题①符合平行六面体的定义,故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是错误的；因直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故命题③是错误的,若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故命题④是错误的.①第十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一题型二棱柱、棱锥中的平行与垂直【例2】如图所示，在直三棱柱ABC—

A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,

AA1=.

（1）证明：A1C⊥平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点

E，使DE∥平面AB1C1？证明你的结论.

（1）充分挖掘已知条件，利用线面垂直的判定定理；（2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质定理.思维启迪第十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一证明（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1C平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=.∵AA1=，∴四边形ACC1A1为正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1.（2）当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下：第十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一如图所示，取BB1的中点F，连结EF，FD，DE，∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点,∴EF∥AB1.∵AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.探究提高在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握.如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等.第十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一知能迁移2如图所示，四棱锥P—

ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，

E为侧棱PD的中点.

（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD.

解（1）连结BD与AC交于O，连结OE，∵O,E分别为BD，PD的中点，∴OE∥PB，且OE平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC.

（2）方法一∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，第十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一∴CD⊥平面PAD.又AE平面PAD，∴CD⊥AE.∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.方法二∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又CD平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD.∵正三角形PAD中，E为PD的中点，∴AE⊥PD.又平面PDC∩平面PAD=PD.∴AE⊥平面PCD.第二十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一题型三棱柱、棱锥中的角和距离【例3】如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且侧棱PB、

PD都和底面成45°角.

（1）求PC与BD所成的角；（2）求PC与底面ABCD所成角的正切值；（3）若M、N分别为BC、CD的中点，求底面中心

O到平面PMN的距离.

在（3）中，关键是确定O在平面PMN中的射影的位置，故最好能找到过O且垂直于平面

PMN的平面，而平面PAC正是我们需要的平面.思维启迪第二十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一解（1）∵侧面PAB和侧面PAD都垂直于底面AC，且两侧面交于PA，∴PA⊥底面AC.又BD⊥AC，∴BD⊥PC，即PC与BD所成的角为90°.（2）∵PA⊥底面AC，∴∠PCA是PC与底面AC所成的角，∠PBA为PB与底面AC所成的角.∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC=a，（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC.∴平面PAC⊥平面PMN.第二十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一设MN∩AC=Q，连结PQ，则平面PAC∩平面PMN=PQ.作OH⊥PQ，垂足为H，则OH⊥平面PMN，OH的长即为O到平面PMN的距离，作AG⊥PQ于G.在Rt△PAQ中，PA=a,第二十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一探究提高（1）解决空间角度问题，应特别注意垂直关系.如果空间角为90°，就不必转化为平面角来求；（2）注意借助辅助平面（如本题中的平面PAC），将空间距离转化为平面距离来求；（3）棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到平面的距离等.第二十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一知能迁移3如图，四棱锥P—ABCD中，

PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，

PA=AD=DC=2，AB=4.

（1）求证：BC⊥PC；（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；（3）求点A到平面PBC的距离.

（1）证明在直角梯形ABCD中，因为AB∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2，所以∠ADC=90°，且AC=2.

取AB的中点E，连结CE，由题意可知，四边形AECD为正方形，所以AE=CE=2.第二十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一则△ABC为等腰直角三角形，所以AC⊥BC.又因为PA⊥平面ABCD，且AC为PC在平面ABCD内的射影，BC平面ABCD，由三垂线定理得BC⊥PC.（2）解由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC.又因为PC是PB在平面PAC内的射影，所以∠CPB是PB与平面PAC所成的角.又CB=2，PB2=PA2+AB2=20，第二十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一∴PB=2，sin∠CPB=即PB与平面PAC所成角的正弦值为（3）解由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.过A点在平面PAC内作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC.则AF的长即为点A到平面PBC的距离.在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，所以，即点A到平面PBC的距离为第二十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一题型四棱柱、棱锥的体积和面积【例4】（12分）如图所示，四棱锥P-ABCD

的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD.

（1）求线段PD的长；（2）若PC=求三棱锥P-ABC的体积.

思维启迪

解答本题时求线段PD的长只需利用△ADP与△BAD相似即可求出，而求三棱锥P—

ABC的体积需先证明PD⊥平面ABC，即PD为三棱锥的高即可求解.第二十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一解题示范解(1)∵BD是圆的直径,∴∠BAD=90°.又∵△ADP∽△BAD，(2)在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2∴PD⊥CD,又∵∠PDA=90°=∠DAB∴PD⊥底面ABCD ［8分］［4分］第二十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一几何体的体积计算是一种常见的题型，除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常用的方法：［10分］［12分］探究提高第三十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一（1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积.（2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法.割补法是割法与补法的总称.补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体.割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面.第三十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一知能迁移4

（2009·海南、宁夏文，18）如图，在三棱锥P—ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°.(1)证明：AB⊥PC；

(2)若PC=4，且平面PAC⊥平面

PBC，求三棱锥P—ABC的体积.(1)证明因为△PAB是等边三角形，所以PB=PA.

因为∠PAC=∠PBC=90°,PC=PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC=BC.

如图，取AB中点D，连结PD、CD，则PD⊥AB,CD⊥AB,又PD∩CD=D第三十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一所以AB⊥平面PDC,所以AB⊥PC.(2)解作BE⊥PC,垂足为E，连结AE.因为Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC,AE=BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB=90°.因为∠AEB=90°，∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB,所以Rt△AEB≌Rt△BEP,所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形.由已知PC=4，得AE=BE=2，△AEB的面积S=2.因为PC⊥平面AEB.所以三棱锥P—ABC的体积第三十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一思想方法感悟提高方法与技巧1.要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加以研究.2.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的位置，以此沟通各种关系.3.求棱柱的侧面积，如果有直截面存在，可利用公式S侧=C直截面·侧棱；如果无直截面存在，则需分别求各侧面的面积，然后相加.第三十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一失误与防范1.在解正棱锥的问题时，要注意利用四个直角三角形，如图所示，O

为底面正多边形的中心，E为AB的中点，四个直角三角形为Rt△VOA、

Rt△AEO、Rt△VEA和Rt△VOE，它们包含了棱锥高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形半径.2.在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思想，将其转化为其他几何体的体积来求.第三十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一定时检测一、选择题1.下列命题中，成立的是（）

A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥

B.四面体一定是三棱锥

C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定是正棱锥

D.底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相等的棱锥一定是正棱锥第三十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一解析A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；B是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；C是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥；D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥.答案B第三十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一2.正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的（）

解析设原棱锥高为h，底面面积为S，B第三十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一3.如图，已知高为3的直三棱柱ABC—

A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1—ABC的体积为（）

解析因为△ABC是边长为1的正三角形，故面积为故三棱锥的体积为A第三十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一4.若长方体的三条棱长之比为1∶2∶3，全面积为

88，则它的对角线长为（）

A.12B.24C.D.

解析设长方体的三条棱长分别为k，2k，3k，则由题意可知2（k·2k+2k·3k+3k·k）=88，故k2=4.

于是，对角线长为C第四十页，共五十五页，编辑于2023年，星期一5.（2008·四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为

60°的菱形,则该棱柱的体积等于（）

A.B.C.D.

解析如图所示,由题意可得∠AA1C1=∠AA1B1=60°,

AA1=A1B1=B1C1=A1C1=2.

所以过点A作AO⊥平面A1B1C1,

则O在∠B1A1C1的平分线上.

过O作OE⊥A1B1,连结A1O,AE,第四十一页，共五十五页，编辑于2023年，星期一易证cos∠AA1E=cos∠AA1O·cos∠OA1E，答案

B第四十二页，共五十五页，编辑于2023年，星期一6.（2009·辽宁理，11）正六棱锥P—ABCDEF中，

G为PB的中点,则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC

体积之比为 （）

A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2

解析如图，设棱锥的高为h，

C第四十三页，共五十五页，编辑于2023年，星期一二、填空题7.已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为2,

则侧面与底面所成的二面角等于

.

解析如图所示,设底面边长为a,则2a2=(2)2，∴a=2，∴OM=.

第四十四页，共五十五页，编辑于2023年，星期一8.设正三棱锥V—ABC底面边长为2,高为2,则侧棱与底面所成角的大小为

.

解析如图所示,由已知在正△ABC

中,AB=2,O为△ABC重心,∴AO=2,∵VO=2,且VO⊥AO，∴∠VAO=45°.45°第四十五页，共五十五页，编辑于2023年，星期一9.（2008·江西理，16）如图（1）所示，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P.如果将容器倒置，水面也恰好过点P（如图（2）所示）.有下列四个命题：第四十六页，共五十五页，编辑于2023年，星期一A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；D.若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满.

其中真命题的代号是

.（写出所有真命题的代号）解析设正四棱柱底面边长为b，高为h1,正四棱锥高为h2,则原题图（1）中水的体积为：图（2）中水的体积为：b2h1-b2h2=b2（h1-h2），第四十七页，共五十五页，编辑于2023年，星期一对于B，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确.对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为矛盾，故C不正确.答案

B.D第四十八页，共五十五页，编辑于2023年，星期一三、解答题10.（2009·福建文，20）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB

=60°,AB=2,AD=4.将△CBD

沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE.(2)求三棱锥E—ABD的侧面积.(1)证明在△ABD中，∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,第四十九页，共五十五页，编辑于2023年，星期一∴AB2+