【成才之路】高中数学人教A版选修22练习：1.3.1函数单调性与导数(含答案解析)

选修2-2第一章1.3一、选择题1．在以下结论中，正确的有导学号10510175( )(1)单一增函数的导数也是单一增函数；(2)单一减函数的导数也是单一减函数；(3)单一函数的导数也是单一函数；(4)导函数是单一的，则原函数也是单一的．A．0个B．2个C．3个D．4个[答案]A[分析]分别举反例：(1)y＝lnx，(2)y＝1(x>0)，(3)y＝2x，(4)y＝x2，应选A.x2．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则导学号10510176()A．a≤0B．a<1C．a<21D．a≤3[答案]A[分析]f′＝(x)3ax2－1≤0恒建立，∴a≤0.3．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是导学号10510177( )A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案]D[分析]设F(x)＝f(x)g(x)，当x<0时，f′＝(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.F(x)当x<0时为增函数．F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)·＝－F(x)．故F(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上亦为增函数．已知g(－3)＝0，必有F(－3)＝F(3)＝0.结构如图的F(x)的图象，可知F(x)<0的解集为x∈(－∞，－3)∪(0,3)．应选D.4．(2016·宣城高二检测)函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是导学号10510178()A．0B．1C．2D．3[答案]B[分析]本小题考察函数的零点与用导数判断函数的单一性，考察剖析问题、解决问题的能力．∵f(x)＝2x＋x3－2,0<x<1，∴f′(x)＝2xln2＋3x2>0在(0,1)上恒建立，∴f(x)在(0,1)上单一递加．又f(0)＝20＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋1－2＝1>0，f(0)f(1)<0，则f(x)在(0,1)内起码有一个零点，又函数y＝f(x)在(0,1)上单一递加，则函数f(x)在(0,1)内有且仅有一个零点．5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象以下图，则y＝f(x)的图象最有可能的是导学号10510179( )[答案]

C[分析]

由f

′的(x)图象知，

x∈(－∞，0)时，f

′(x)>0，f(x)为增函数，

x∈(0,2)时，f

′(x)<0，f(x)为减函数，

x∈(2，＋∞)时，f

′(x)>0，f(x)为增函数．只有

C切合题意，应选

C.6．设函数

F(x)＝

ex

是定义在

R上的函数，此中

f(x)的导函数

f

′满(x)足

f

′(x)<f(x)对于x∈R恒建立，则

导学号

10510180(

)A．f(2)>e2f(0)，f(2017)>e2017f(0)B．f(2)<e2f(0)，f(2017)>e2017f(0)2，f(2017)<e2017C．f(2)<ef(0)f(0)D．f(2)>e2f(0)，f(2017)<e2017f(0)[答案]C[分析]∵函数F(x)＝x的导数ef′＝(x)x－x－<0，x2＝xe∴函数F(x)＝x是定义在R上的减函数，e∴F(2)<F(0)，即2<e0，故有f(2)<ef(0)．e2同理可得f(2017)<e2017f(0)．应选C.二、填空题7．(2016·烟台高二检测)函数y＝ln(x2－x－2)的单一递减区间为__________.导学号10510181[答案](－∞，－1)[分析]函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单一减区间为(－∞，－1)．8．已知函数f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.导学号10510182[答案](－∞，0][分析]∵f(x)＝x3－ax2－3x，∴f′(x)＝3x2－2ax－3，又由于f(x)＝x3－ax2－3x在区间[1，＋∞)上是增函数，′＝(x)3x2－2ax－3≥0在区间[1，＋∞)上恒建立，a∴3≤1，解得a≤0，3×12－2a－3≥0，故答案为(－∞，0]．9．(2016长·沙高二检测)若f(x)＝－1x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取2值范围是________.导学号10510183[答案]b≤－1[分析]f(x)在(－1，＋∞)上为减函数，∴f′(x)在≤0(－1，＋∞)上恒建立，∵f′＝(x)－x＋b，∴－x＋b≤0，∵b≤x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立，∴b≤－1.x＋2x＋2三、解答题10．(2016太·原高二检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.导学号10510184(1)求a、b的值；(2)求函数f(x)的单一区间．[分析](1)∵函数f(x)的图象过点P(1,2)，f(1)＝2.∴a＋b＝1.①又函数图象在点P处的切线斜率为8，f′＝(1)8，又f′＝(x)3x2＋2ax＋b，∴2a＋b＝5.②解由①②构成的方程组，可得a＝4，b＝－3.(2)由(1)得f′＝(x)3x2＋8x－3，令f′(x)>0，可得x<－3或x>1；3令f′(x)<0，可得－3<x<1.3∴函数f(x)的单一增区间为1，＋∞)，单一减区间为1(－∞，－3)，((－3，).33一、选择题1．(2015

·课标Ⅱ理，新

12)设函数

f′(x)是奇函数

f(x)(x

∈R)的导函数，

f(－1)＝0，当

x＞0时，xf

′－(x)f(x)

＜0，则使得

f(x)＞0建立的

x的取值范围是

导学号

10510185(

)A．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(－1,0)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)D．(0,1)∪(1，＋∞)[答案]

A[分析]记函数g(x)＝，则g′(x)＝－，由于当x>0时，xf′(x)－xx2f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，因此g(x)在(0，＋∞)上单一递减；又由于函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，因此g(x)在(－∞，0)上单一递加，且g(－1)＝g(1)＝0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0建立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，应选A.2．(2016北·京高二检测)已知函数f(x)及其导数f′，(x)若存在x0，使得f(x0)＝f′0)(x，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，以下函数中，有“巧值点”的函数的个数是导学号10510186( )f(x)＝x2，②f(x)＝e－x，③f(x)＝lnx，④f(x)＝tanx，f(x)＝x＋1xA．2B．3C．4D．5[答案]B[分析]①中的函数f(x)＝x2，f′(x)＝2x，要使f(x)＝f′(x)，则x2＝2x，解得x＝0或2，可见函数有巧值点；关于②中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则e－x＝－e－x，由对随意的x，有e－x1，>0，可知方程无解，原函数没有巧值点；关于③中的函数，要使f(x)＝f′，(x)则lnx＝x由函数f(x)＝lnx与y＝1的图象有交点知方程有解，因此原函数有巧值点；关于④中的函数，x要使f(x)＝f′(x)，则tanx＝12，即sinxcosx＝1，明显无解，因此原函数没有巧值点；对cosx于⑤中的函数，要使f(x)＝f′(x)，则x＋1＝1－12，即x3－x2＋x＋1＝0，设函数g(x)＝x3－xxx2＋x＋1，g′(x)＝3x2－2x＋1>0且g(－1)<0，g(0)>0，明显函数g(x)在(－1,0)上有零点，原函数有巧值点，故①③⑤正确，选C.二、填空题3．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(2a－3)x－1.导学号10510187(1)若f(x)的单一减区间为(－1,1)，则a的取值会合为________．(2)若f(x)在区间(－1,1)内单一递减，则a的取值会合为________．[答案](1){0}(2){a|a<0}[分析]f′＝(x)3x2＋2ax＋2a－3＝(x＋1)(3x＋2a－3)．(1)∵f(x)的单一减区间为(－1,1)，∴－1和1是方程f′(x)＝0的两根，3－2a＝1，∴a＝0，∴a的取值会合为{0}．3(2)∵f(x)在区间(－1,1)内单一递减，∴f′(x)<0在(－1,1)内恒建立，又二次函数y＝f′(x)3－2a张口向上，一根为－1，∴必有>1，∴a<0，3a的取值会合为{a|a<0}．4．在区间[－a，a](a>0)内图象不中断的函数f(x)知足f(－x)－f(x)＝0，函数g(x)＝ex·f(x)，且g(0)·g(a)<0，又当0<x<a时，有f′(x)＋f(x)>0，则函数f(x)在区间[－a，a]内零点的个数是________.

导学号

10510188[答案]

2[分析]

∵f(－x)－f(x)＝0，∴f(x)为偶函数，∵g(x)＝ex·f(x)，∴g′(x)＝ex[f

′＋(x)f(x)]>0

，g(x)在[0，a]上为单一增函数，又∵g(0)·g(a)<0，∴函数g(x)＝ex·f(x)在[0，a]上只有一个零点，又∵ex≠0，∴f(x)在[0，a]上有且仅有一个零点，f(x)是偶函数，且f(0)≠0，∴f(x)在[－a，a]上有且仅有两个零点．三、解答题5．(2016广·德高二检测)已知函数f(x)＝x2＋2alnx.导学号10510189(1)求函数f(x)的单一区间；2＋f(x)在[1,2]上是减函数，务实数a的取值范围．(2)若函数g(x)＝x2a2x2＋2a[分析](1)f′＝(x)2x＋x＝x，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．①当a≥0时，f′)>0(x，f(x)的单一递加区间为(0，＋∞)；②当a<0时f′(x)＝＋－a－－a.x当x变化时，f′，(x)f(x)的变化状况以下：x(0，－a)－a(－a，＋∞)f′(x)－0＋f(x)递减递加由表格可知，函数f(x)的单一递减区间是(0，－a)；单一递加区间是(－a，＋∞)．(2)由g(x)＝2x＋x2＋2alnx，得g′(x)＝－x22＋2x＋2ax，由已知函数g(x)为[1,2]上的单一减函数，则g′(x)≤0在[1,2]上恒建立，22a即－x2＋2x＋x≤0在[1,2]上恒建立．12即a≤－x在[1,2]上恒建立．x令h(x)＝1－x2，x∈[1,2]，则h′(x)＝－12－2x＝－(12＋2x)<0，xxx∴h(x)在[1,2]上为减函数．h(x)min＝h(2)＝－7，2∴a≤－7，故a的取值范围为{a|a≤－7}．2226．(2016山·师附中高二检测)已知函数2a＋x(a>0)．若函数y＝f(x)在点