必修2立体几何参考试题

必修2立体几何参考习题一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）A．B．C．D．12．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）A．2B．C．D．3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为（）A．B．C．D．5．从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于（）C．D．A．B．6．棱长为a的正四面体中，高为h，斜高为m，相对棱间的距离为d，则a、m、h、d的大小关系正确的是（）A．a＞m＞h＞dB．a＞d＞m＞hC．a＞h＞d＞mD．a＞d＞h＞m7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①A1C⊥平面B1EF；ABCD内总存在与平面BEF平行的②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面11111直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②x，若△PBD的面积为f（x），则f9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为（x）的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D1的面对角线A1B上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小值为（）A．2B．C．2+D．12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．13．（文科）若正四棱锥的各条棱长都相等，则到它的五个顶点距离相等的平面有（）A．0个B．1个C．2个D．5个214．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a等于（）A．2•B．2•C．2•D．2•15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．418．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：119．正方体的内切球与外接球的半径之比为（）A．B．C．D．二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是_________．21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比V：VBCEFGH=_________．ADEFGH22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为_________．三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．24．在三棱锥P﹣ABC中，△PAB、△PBC、△PCA都为直角三角形，试指出△ABC的形状，并证明你的结论．25．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA上的点，请回答下列问题：（1）满足什么条件时，四边形EFGH为平行四边形？（2）满足什么条件时，四边形EFGH为矩形？（3）满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？参考答案与试题解析一．选择题（共19小题）1．（2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（）A．B．C．D．1考点：棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：设正四面体的棱长为a，MH=x，则BH=，故有MC2=MB2=MH2+BH2=x+2a2，再由MB2+MC2=BC2，得2（x+2a2）=a2，解得x的值，根据AH的值求得的值．解答：解：设正四面体的棱长为a，MH=x，则BH=，故有MC2=MB2=MH2+BH2=x+2a2，在Rt△BMC中，由MB2+MC2=BC2，得2（x+2a2）=a2，解得x=a．再由AH===a，∴AM=MH=AH，即=1．故选D．点评：本题主要考查棱锥的结构特征，求出BH=，AH=a，是解题的关键，属于基础题．2．（2006•浙江）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（）A．2B．C．D．考点：棱柱的结构特征。专题：计算题。分析：要求EF的长度，可以利用正三棱柱的侧面与底面垂直的关系，连接AC的中点于G，连接EG，在△EFG中求解EF即可．：解：如图所示，取AC的中点G，连EG，FG，FG∥C1CG与F、E；也可以作FG⊥AC解答C1C⊥底面ABC，则C1C⊥EGFG⊥EG；则易得：EG=2，EG=1，故EF=，故选C．点评：本题考查学生对棱柱的结构认识，以及学生的综合能力，是基础题．3．在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；棱柱的结构特征。专题：计算题。4本题是一个等可能事件的概率，从长方体中任选四个顶点的选法是C，能够构成三棱锥的个数有70﹣12，8分析：四个面都是直角三角形的三棱锥有4×6个，三个面是直角的三棱锥有8个，得到概率．解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，4C=70，8从长方体中任选四个顶点的选法是∵能够构成三棱锥的个数有70﹣12=58，4×6=24个，8个，∵能够成三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的三棱锥的个数是24+8=32，四个面都是直角三角形的三棱锥有三个面是直角的三棱锥有∴所求的概率是故选C．点评：本题考查等可能事件的概率，考查正方体和三棱锥之间的关系，考查三棱锥的结构特征，本题是以概率为载体，实际上考查立体几何的知识．4．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：根据题意，作出正四面体A﹣BCD，由组合数公式可得从其6条棱中随机抽取2条的取法数目，结合正四面体的几何结构分析可得其相互垂直的棱的数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．26解答：解：根据题意，如右图，在正四面体A﹣BCD的6条棱中随机抽取2条，有C=15种情况，由又正四面体的几何结构，其中相互垂直的棱有AC、BD，AB、CD，AD、BC，共3组，则其概率P==；C．故选点评：本题考查等可能事件的概率以及正四面体的几何结构，关键是由正四面体的几何结构得到相互垂直的棱的数目．5．从一个五棱锥的顶点和底面各顶点（共6个点）中随机选取4个点，这4个点共面的概率等于（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率；棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：根据题意，首先由组合数公式计算从五棱锥的4个的情况数目，分析可得当取出的4个定6个顶点中任取4点共面的情况数目，由古典概型公式，点都在底面时，这4个点共面，即由组合数公式计算可得取出的计算可得答案．4解答：解：根据题意，一个五棱锥共6个顶点，从中任取4个，有C=15种情况，64个定点都在底面时，这4个点共面，则取出的44点共面的情况有C=5种，5当取出的则取出的4点共面的概率为=；故选B．点评：本题考查等可能事件的概率计算，关键是分析得到五棱锥的6个顶点中四点共面的可能情况．6．棱长为a的正四面体中，高为h，斜高为m，相对棱间的距离为d，则a、m、h、d的大小关系正确的是（）A．a＞m＞h＞dB．a＞d＞m＞hC．a＞h＞d＞mD．a＞d＞h＞m考点：棱柱的结构特征。专题：常规题型。分析：先判断棱长与斜高的关系，根据直角三角形斜边大于直角边得到h，在过相对棱之间的距离的面且垂直与一条棱的面上，条两边上的高比较大小，可以利用勾股定理来做．解答：解：先判断棱长与斜高的关系，根据直角三角形斜边大于直角边得到a＞m，斜高与高之间的关系同理可得m＞h，在过相对棱之间的距离的面且垂直与一条棱的面上，条两边上的高比较大小，可以利用勾股定理来做，a＞m，斜高与高之间的关系同理可得m＞出大小，h＞d综上可知a＞m＞h＞d故选A点评：本题考查正四面体的四条常见到线段之间的大小比较，本题解题的关键是根据直角三角形中的勾股定理来比较，本题是一个基础题．7．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．已知下列判断：①AC⊥平面B1EF；1②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形；③在平面ABCD内总存在与平面BEF平行的11111直线；④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，其中正确判断的个数有（）A．1个考点：棱柱的B．2个C．3个D．4个结构特征。分析：由正方体的结构特征，对所给的几个命题用线面，面面之间的位置关系直接判断正误即可解答：解：如图对于①AC⊥平面BEF，不一定成立，因为AC⊥平面AC1D，而两个平面面BEF与面AC1D不一定平行．1111对于②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形，此是一个正确的结论，因为其投影三边是棱BB1，而E点在面上的投影到此棱BB1的距离是定ABCD内总存在与平面BEF平行的直线，此两平面相交，一个面内平行于两个平面的角形的一值，故正确；对于③在平面交11111线一定平行于另一个对于④平面B1EF与平面ABCD所成的结论不对，与两者都有关系，可代入几个特殊点进行验证，如B重合，E与D重合时的情况就不一样．故此命题不正确综上，②③是正确的平面，此结论正确；二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关，此F与A重合，E与D重合时的二面角与F与故选B点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查对正方体的几何特征的了解，以及线面垂直，线面平行等位置关系的判定，二面角的求法等知识，涉及到的知识点较多，综合性强．8．（理）水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．①②考点：棱柱的结构特征。专题：证明题。①水的分部始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面判断即可；②水面四边形EFGH的对边始终保持平行，且EF⊥FG，判断正误；③于始终装有的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，推出结论；④水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半，是定值，进行判断即可．解答：解：①水的分部始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面ABFE平行平面DCGH即可判断①正确；如图．②在①中的运动过程中，水面四边形EFGH的对边始终保持平行，且EF⊥FG，故水面始终是矩形，②是正确的；③由于始终装有的水，而平分正方体体积的平面必定经过正方体的中心，即水面始终过长方体内一个定点；所以结论正确；④在③中水与容器的接触时，由于水的体积是定值，所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半，故始终保持不变，所以正确．故选A．点评：本题是基础题，考查棱柱的结构特征，直线与平面平行的判断，棱柱的体积等知识，考查计算能力，逻辑推理能力．9．如图，P是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP的长度为x，若△PBD的面积为f（x），则f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：棱柱的结构特征；函数的图象。专题：图表型。分析：先设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，从而△PBD的面积为f（x）=BD×PO，再在在三角形PAO中，利用余弦定理得出PO，最后得出f（x）的解析式，画出其图象，对照选项即可解决问题．解答：解：设正方体的棱长为1，连接AC交BD于O，连PO，则PO是等腰△PBD的高，故△PBD的面积为f（x）=BD×PO，在三角形PAO中，PO==，∴f（x）=××=，画出其图象，如图所示，对照选项，A正确．故选A．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、函数的图象等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．10．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN与CC1垂直B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行考点：棱柱的结构特征。专题：证明题。分析：先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，故排除A、B、C选D解答：解：如图：连接CD，BD，在三角形CDB中，MN∥BD，故C正确；11∵CC1⊥平面ABCD，∴CC⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；B正确；∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，1∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，D错误故选D点评：本题主要考查了正方体中的线面关系，线线平行与垂直的证明，异面直线所成的角及其位置关系，熟记正方体的性质是解决本题的关键11．如图所示，在单位正方体ABCD﹣A1B1D1的面对角线AB上存在一点P使得AP+D1P取得最小值，则此最小1值为（）A．2B．C．2+D．考点：棱柱的结构特征。专题：计算题；作图题。分析：把对角面AC绕A1B旋转至ABC′D1′，使其与△AAB在同一平面上，连接AD1′并求出，就是最小111值．解答：解：如图所示，把对角面AC绕A1B旋转至ABC′D1′，11使其与△AAB在同一平面上，连接AD1′，1则AD1′==为所求的最小值．故选D．点评：本题考查棱柱的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12．正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2a，E、F、G、H分别是VA、VB、BC、AC的中点，则四边形EFGH面积的取值范围是（）A．（0，+∞）B．C．D．考点：棱锥的结构特征。专题：作图题；综合题。分析：画出图形，求出EF，HG，说明EFHG是矩形，结合图形，说明V点在ABC平面时，面积最小，求出即可得到范围．解答：解：由条件可知：EF=HG=a，EFGH是平行四边形因为正三棱锥V﹣ABC，所以EFGH是矩形而EH，FG，是变量，当V点在ABC平面时，VA=VB=VC=此时EH，FG有最小值，EH=FG=VA=EFGH的面积EF*•EH=a×故选B．=点评：本题考查棱锥的结构特征，考查学生作图能力，分析问题解决问题的能力，是基础题．13．（文科）若正四棱锥的各条棱长都相等，则到它的五个顶点距离相等的平面有（）A．0个B．1个C．2个D．5个考点：棱锥的结构特征。专题：作图题。分析：根据已知中正四棱锥的各条棱长都相等，若一个平面到它的五个顶点距离相等，则该平面可能是平行与底面的中截面，也可能是经过一个侧面中位线与相对侧面平行的平面，画出满足条件的图形，易帮助我们分析出答案．解答：解：如下图所示，正四棱锥的各条棱长都相等，E，F，G，H，P，Q，M，N分别是棱PA，PB，PC，PD，AB，BC，CD，DA的中点则得到它的五个顶点距离相等的平面有：平面EFGH，平面EFQN，平面HGQN，平面FGMP，平面EHMP共5个故选D点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正四棱锥的结构特征，判断出满足条件的平面可能是平行与底面的中截面，也可能是经过一个侧面中位线与相对侧面平行的平面，是解答本题的关，键其中易忽略第二种情况，而错选B14．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，则a2等于（）A．2•B．2•C．2•D．2•考点：棱锥的结构特征。专题：数形结合。分析：由题意得，＜，＞=，化简2•的结果．解答：解：空间四边形的每条边和对角线长都等于=，a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，∴＜，＞∴2•=2a2×cos=a2．故选：B．点评：本题考查棱锥的结构特征，两个向量的数量积的定义，体现了数形结合的数学思想．15．（2011•江西）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图。专题：作图题。分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角都右上角的线，故选D．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．16．（2011•浙江）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（）A．B．C．D．考点：空间几何体的直观图；简单空间图形的三视图。专题：作图题。分析：A、C选项中正视图不符合，D答案中侧视图不符合，由排除法即可选出答案．解答：解：A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故选B点评：本题考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力．17．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA/B/C/的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图。专题：计算题；作图题。分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系查这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图2×=2倍，故其面积是梯中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的形OA/B/C/的面积2倍，梯形OA/B/C/的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．18．若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球表面积之比为（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1考点：球的体积和表面积。专题：计算题。分析：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，求出正三棱柱的高为2R1，当球外接正三棱柱时，球心是正三棱柱上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，求出外接球的半径，即可求出内切球与外接球表面积之比．解答：解：设正三棱柱底面正三角形的边长为a，当球内切于正三棱柱时，球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距，故正三棱柱的高为2×=，当球外接正三棱柱时，球心是上下底面中心连线段的中点，且球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥，，∴R2=a∴外接球与内切球半径之比为R：R2=a：=：1．1∴外接球与内切球表面积之比为5：1故选D．点评：本题是基础题，考查空间想象能力，分析问题解决问题的能力，是常考题型，求内切球与外接球的半径是解决本题的关键所在．19．正方体的内切球与外接球的半径之比为（）A．B．C．D．考点：球内接多面体。专题：计算题。分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．解答：解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a，所以内切球的半径为：a；外接球的直径为2a，半径为：a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，是解决本题的关键．二．填空题（共3小题）20．如图，在正方体的一角上截取三棱锥P﹣ABC，PO为棱锥的高，记，，那么M，N的大小关系是M=N．考点：棱锥的结构特征。专题：计算题；动点型。△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2，利用等体积法进行比较，即分析：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，S可求出所求．△ABC2=S△PAB2+S△PBC2+S△PAC2①，解答：解：根据平面中直角三角形的勾股定理类比得，S由等体积法得，∴②，①÷②整理得M=N．故答案为：M=N．点评：本题考查了直角三角形的性质及等面积法和等体积法的应用，同时考查了转化与划归的思想和类比的思想，是一道基础题．21．如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面四把面体分成两部分的体积之比V：VBCEFGH=1：1．ADEFGH考点：组合几何体的面积专题：计算题；作图题。分析：在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面四把面体分成两部分，每一部分都可以可作是一个三棱锥和一个四棱锥两部分的体积和，适当划分，使得四棱锥和三棱锥体积分别相等，即可解得结果．解答：解：图1中连接DE、DF，、体积问题；棱锥的结构特征。VADEFGH=VD﹣EFGH+V：DEFA﹣图2中，连接BF、BG，VBCEFGH=V+VG﹣CBFE，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，B﹣EFGH所以V=VDEFGHBEFGHDEFA﹣﹣﹣V的底面面积是V的一半，高是它的2倍，GCBF﹣所以二者体积相等．所以VADEFGH：VBCEFGH=1：1故答案为：1：1点评：本题考查棱锥的结构特征，几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．22．棱长为2的正四面体S﹣ABC中，M为SB上的动点，则AM+MC的最小值为．考点：棱锥的结构特征。专题：计算题。分析：由题意可以知道AM+MC的最小值就是正四面体侧面展开图中AC的长度，利用正三角形的性质就可以求出其值．解答：解：展开棱长为2的正四面体S﹣ABC的侧面，如图．由正三角形的性质，得AC=2×=，故答案为．点评：本题考查了最短路径问题，勾股定理的运用，正方形的性质的运用．三．解答题（共3小题）23．如图是表示以AB=4，BC=3的矩形ABCD为底面的长方体被一平面斜截所得的几何体，其中四边形EFGH为截面．已知AE=5，BF=8，CG=12．（1）作出截面EFGH与底面ABCD的交线l；（2）截面四边形EFGH是否为菱形？并证明你的结论；（3）求DH的长．考点：简单组合体的结构特征。专题：计算题。分析：（1）根据公里3分别作出两个平面的共公点，连接这两个点所成的直线，即是所求的直线；（2）ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形，由题意求出EF=FG，即证出结论；（3）根据几何体的结构特征得AE+CG=BF+DH，代入数据求出DH的长．解答：解：（1）根据公里3，作HE与DA的交点P，作GF与CB的交点Q，则点Q是截面EFGH与底面ABCD，故连PQ得直线l，它便是所求作，如下图：（2）截面EFGH为菱形．∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，∴EF∥GH．同理，FG∥EH，∴四边形EFGH为平行四边形．2又∵EF=AB2+（BF﹣AE）