福建师范大学2021年9月《近世代数》作业考核试题及答案参考612797

福建师范大学年月《近世代数》作业考核试题及答案参考1.求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．求曲线y=cosx在点的切线和法线方程．切线方程法线方程2.R2与样本相关系数有什么关系?R2与样本相关系数有什么关系?如记{x1，…，xn}与{y1，…，yn)的样本相关系数为，即则有关系R2=(rxy)2．事实上，因所以因此R2=1，对应着|rxy|=1，x与有最大线性相关；R2=0，x与无线性相关rxy说明回归直线的拟合程度需慎重，例如当时，只能推出R2=0.25，也就是说回归的变异只能解释响应变量变异的，而不是一半3.设f(x＋y，x－y)=x2－xy，试求，y)．设f(x+y，x-y)=x2-xy，试求，y)．4.平面上四点(1，01)，(0，11)，(11，1)，(0，ab)能构成一个二维射影坐标系时，参数，应满足的条件是_平面上四点(1，01)，(0，11)，(1，11)，(0，ab)能构成一个二维射影坐标系时，参数，b应满足的条件是______．正确答案：a≠b且b≠0．a≠b,且b≠0．5.若函数|f(x)|在点处可导，则f(x)在点处必可导；若函数|f(x)|在点x=x0可导，则f(x)在点处必可导；错误例如，见|f(x)|在点处可导，而f(x)在点处不可导．6.求由下列方程所确定的隐函数的导数：(1)(2)x^2(3)(4)(5)(6)求由下列方程所确定的隐函数的导数：x^2令，y)＝x2y+3x4y3-4，因为所以(2)令因为所以(3)令因为所以(4)在等式两边分别微分：所以解出化简有故(5)令因为所以(6)令因为所以7.对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：s.t．(i=1,2，…，m),xj≥0(j=1，2，…n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较：(1)maxs.t．(i=1,2，…，m),xj≥0(j=1，2，…，n)；(2)maxs．t．(i=1，2，…，m)，xj≥0(j=1,2，…n)，xsi≥0(j=1,2，…m)；(3)s．t．(i=1，2，…，m)，xj≥0(j=1,2，…，n)，xsi,xai≥0(i=1,2…，m)，其中表示充分大的正数．它们的对偶问题都是mins.t．(j=1,2，…，n),u1≥0(i=1，2，…，m)．注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的．由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的．8.设，y)关于在满足条件：对任意的∈R，∈R，有，(7.14)其中称为Lipschitz常数．对后退欧拉公设，y)关于在满足条件：对任意的∈R，∈R，有，其中称为Lipschitz常数．对后退欧拉公式yi+1=yi+hf(xi+1，yi+1)(7.15)进行迭代求解(7.16)证明当满足＜1时，此迭代过程是收敛的．首先证明是Cauchy序列．由两边取绝对值并利用条件(7.14)得，k=1，2，3，…递推得，k=1，2，3，…对任意的，m(l＞m)，有因为＜1，所以任给ε＞0，存在，当＞≥N时，因而是序列，从而存在，设其值为．在(7.16)的两边令k→∞，则得y*=yi+hf(xi+1，．因而9.求解下列有界变量线性规划问题：x0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4求解下列有界变量线性规划问题：(1)minx0=3x1+4x2-2x3-5x4+3x5+2x6-x7,s.t.x1+x4+2x5-x6+x7=13,x2-x4+x5+x6+2x7=9，x3+2x4+2x5+2x6-x7=5,0≤xj≤5(j=1，2，…，7)；(2)minf=x1+2x2+x3-x4+2x5+x6-x7,s.t.x1+2x4-2x5+x6-8x7=0,x2+x4+x5-x6+x7=11,x3+3x4-x5-2x6+2x7=6,0≤xj≤4(j=1，2，…，7)．x*=(1,0,0,3,2,0,5)T,x0*=-11.10.求微分方程满足初始条件的特解。求微分方程满足初始条件的特解。原方程是关于函数y=y(x)的一阶线性非齐次方程，其中，性非齐次方程的通解公式及，得原方程的通解为y=e-lnx(C+lnx)，即将条件代入通解，得，故所求的特解为。11.设f(x)在[a，＋)上连续，且当a时，f&39;(x)＞k＞0．其中为常数．若f(a)＜0，则方程在内有且仅有一个实根．设f(x)在[a，+∞)上连续，且当＞a时，f'(x)＞＞0．其中为常数．若f(a)＜0，则方程f(x)=0在有且仅有一个实根．利用微分中值定理可得，ξ∈(a，af(a)k)，使得f(a?f(a)k)-f（a）=f′（）(?f(a)k)．因当a时，f′（x0）＞k＞，故k)-f（a）=f（ξ）k)＞k（a），而，k)＞0．又为（）＜0，且x）在[a，+）上连续，利用续函的零存在理可，η∈(a，a(a)k)，使得（η）=0．下面证明η的唯一性．如果存在η1≠2，使得η1）=f（η2）=0，利用罗尔中值定理可得，?ξ∈(a，af(a)k)，使得′（ξ）=0这与′（x）＞k＞0（x＞a）方程（x）=0区间(a，a?f(a)k)内有且仅有一个根．12.求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解．求微分方程xy'-y=x3+3x2-2x的通解．13.在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析．(水温℃±1℃；底水：10在无芽实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都关系，根据表中所列数据进行回归析．水温±1℃；底水：100g大麦经浸一定时间后的重量；吸氨时间：min；吸氨量：在底水的基础上浸泡水后增加重量．编号吸量底水氨时间编吸氨量底水吸氨时间建立Y关于x1和x2经验回方程，并对其进行显著性检验(1)建立回归程，为简计算令，x'2=x2-215，并将有关数列表计算下，由表中数据可得：编号x'1x'2yy2x'1yx'2y1-2040012.402-2357.54-70262.53-2-354.84122523.047040355.1012250050-3501225006004.60021.1600072-352.8412257.84705.6-988204006.2092354.34122518.49708.6150.510004.90000011004.100000∑002473500164.5故解之得：故得回归方程(2)为检验回归方程显著性，下面作方差分析．Q=syy-u=17-15.073=1.927,r接近于，故回归效果是好的方差分析表如下：方差来源和度方计量

显著性回归27.536531.284.46剩余80.2409

总计经检验可知回方程是著的．14.设∈Rn×n，则存在有个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q使得QAQT为上矩阵．设∈Rn×n，则存在有个Givens矩阵(或Householder矩阵)的乘积Q使得QAQT为上Hessenberg矩阵．仅讨论使用Givens矩阵的情形．第1步：设A=(aij)n×n，记β(0)=(a21，…，an1)T∈Rn-1，当(0)=0时转入第2步；β(0)≠0时构造有限个Givens矩阵的乘积T0，使得T0/β(0)=|(e1∈Rn-1)．记，则有=第2步：A(1)∈R(n-1)×(n-1)记∈Rn-2，当β(1)=0时转入3步；β(1)≠0时，构造有限个矩阵乘积T1，使得T1/β(1)=|(e1∈Rn-2)．记，则有第3步：A(2)∈R(n-2)×(n-2)…第n-2步：，记当β(n-3)=0时束；β(n-3)≠0时，构造Givens矩阵Tn-3，使得Tn-3β(n-3)=|β(n-3)|e1(e1∈R2)．记，则有最后，构正交矩可使QAQT为上Hessenberg矩．证毕．15.设随机变量服从正态分布μ，σ2)，令，可使U服从，1)的正态分布。设随机变量服从正态分布μ，σ2)，令，可使U服从，1)的正态分布。16.用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数。用来表明同类现象在不同空间、不同时间、实际与计划对比变动情况的相对数称______指数。广义17.求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y＝0的主轴．求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100的主轴．正确答案：主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－2＝0．主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．18.已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=________已知f(x+y，x-y)=xy+y2，则f(x，y)=________正确答案：(1/2)(x2-xy)．(1/2)(x2-xy)．19.某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均某药厂生产某种药品，年产量为a个单位，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元。设该药品均匀投入市场(即平均库存量为批量的一半，并设每年每单位的药品库存费为c元。显然，生产批量大则库存费高，生产批量小则生产准备费多。问如何选择批量，才能使生产准备费与库存费之和为最小不考虑生产能力)?设药厂分批进行生产该药品，则批量为，生产准备费与库存费之和为令y'=0，得当时，y达到小即当为时准费库费和最。一厂商营个厂生同种品同市销，个厂成函分别C1＝3Q12＋2Q1，一厂商经营两个工厂，生产同一种产品在同一市场销售，两个工厂的成本函数分别为＝3Q12＋2Q1＋，2Q22＋2Q2＋4而价格函数为74－6Q，Q＝Q1＋Q2厂商追求最大利润．试确定每个工厂的产出．正确答案：厂商的收益函数为74Q－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1Q2)2\r\n利润函数为－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q2－10\r\n由极值存在的必要条件和充分条件可求得每个工厂的产出分别为＝2Q23时厂商的利润最大．厂商的收益函数为＝PQ＝－6Q2＝74(Q1＋Q2)－6(Q1＋Q2)2利润函数为＝R－C1－C2＝72Q1＋72Q2－9Q12－8Q22－12Q1Q210由极值存在的必要条件和充分条件可求得,每个工厂的产出分别为＝2,Q2＝3时,厂商的利润最大．21.在Re(p)在Re(p)A0.01.02.03.0正确答案：22.求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11间的夹角．求两平面π1：2x-y+z=7；π2：x+y+2z=11之间的夹角．+1=2i-j+k；=i+j+2k；=2×1+(-1)×1+1×2=3；记23.某公司运输某种商品的固定成本为万元，每多运输1吨商品，运输总成本增加1万元，运输该商品某公司运输某种商品的固定成本为万元，每多运输1吨商品，运输总成本增加1万元，运输该商品吨收取客户的收入(单位万元)为4q一。试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少参考答案：运输q吨商品的成本函数为=q十2利润函数为=R(q)-C(q)=3q一令ML(q)=3-q=0得惟一驻点q=3吨。故当运输量为吨时，利润最大。最大利润为2.5万元。24.用分支定界法求解用分支定界法求解min(4x1+4x2)用线性规划不难求得最优解为：x1=x2-025.设F(T)=δ(t-t0)则傅氏变换)A．1B．2πt0D．e-iωt0设F(T)=δ(t-t0)，则傅氏变换F[f(t)]=()A．1B．2πD．e-it0D26.求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程：坐标原点；与x轴平行；面垂直求经过直线并且分别满足下列条件的平面方程：(1)经过坐标原点；与轴平行；与平面2x-y+5z+2=0垂直．经过给定直线的平面束方程为4x-y+3z-1+λ(x+5y-z+2)=0，即)y+(3-λ)z+(2λ-1)=0．(1)如果有平面经过原点，则λ，得到，故所求的平面方程为9x+3y+5z=0．(2)如果平面束中某平面与轴平行，则它的法线向量{4+λ，-1+5λ，3-λ)与向量l={1，0，0}直，从有{4+λ，-1+5λ，3-λ}·{1，0．λ=0，因此λ=-4，所求平面方为-21y+7x-9=0．(3)如果平束中某面与所的平面直，则有{4+λ，-1+5λ，3-λ}