16偏差函数及应用

1.构造偏差函数及应用2022甲卷导数题目又一次考察了极值点偏移，作为函数变化过程中的一种重要现象，该问题一直颇受命题人的喜爱.本节我们主要介绍构造偏移函数法来解决偏移，上述方法是我们解决问题的利器.最后，我们还将介绍利用构造偏差函数来解决拐点偏移问题，这是近年来偏移类问题中的新题型.一．基本原理与解题方法1.极值点偏移现象（1）.已知函数的图象的极值点为，若的两根的中点刚好满足即极值点在两根的正中间，此时极值点没有偏移，函数在两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．（2）．若，则极值点偏移，此时函数在两侧的函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．2.极值点偏移题目特征：①.函数的极值点为；②.函数，然后证明：或.3.构造偏差证明极值点偏移的基本方法：①.构造一元差函数或是；②.对差函数求导，判断单调性；③.结合或，判断的符号，从而确定与的大小关系；④.由的大小关系，得到，（横线上为不等号）；⑤.结合单调性得到，进而得到.二．典例分析类型1.构造偏差函数证明极值点偏移例1.（2021新高考1卷）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设为两个不相等的正实数，且，证明：.解析：（1）函数的定义域为，又，当时，，当时，，故的递增区间为，递减区间为.（2）因为，故，即，故，设，由（1）可知不妨设.因为时，，时，，故.先证：，若，必成立.若，要证：，即证，而，故即证，即证：，其中.设，则，因为，故，故，所以，故在为增函数，所以，故，即成立，所以成立，综上，成立.练习1.已知函数（a为常数）.（1）求函数的单调区间；（2）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.解析：（1）的定义域为，，（1）当时，恒有，故在上单调递增；（2）当时，由，得，故在上单调递增，在上单调递减，综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知时，在上单调递增，若，则不合题意；故，而在上单调递增，在上单调递减，若存在两个不相等的正数，满足，则，必有一个在上，另一个在，不妨设，则，又由（1）知时，，即，所以，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，即.从上述的例子可以看出，构造偏差函数的实质是利用函数单调性在解（证明）不等式，当双变量分别位于极值点两侧时，可将一侧的变量利用所证结论（极值点偏移）转化到同一侧利用函数单调性完成证明.于是，构造偏差函数还可以用于下面的乘积型偏移.类型2.乘积型偏移例2.（2022全国甲卷）已知函数．（1）若，求a的取值范围；（2）证明：若有两个零点，则．解析：（1）的取值范围为（2）由题知，一个零点小于1，一个零点大于1，不妨设，要证,即证，因为，即证，因为,即证即证，即证下面证明时，，设，则，设所以，所以，所以，所以在单调递增即,所以，令，所以在单调递减即,所以；综上，，所以.点评：因为，即证，实质就是偏差函数的核心思想！练习2．设函数，已知直线是曲线的一条切线.（1）求的值，并讨论函数的单调性；（2）若，其中，证明：.解析：（1）设直线与曲线相切于点，，；又，，即；设，则，在上单调递增，又，有唯一零点，，，解得：；，，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）知：；当时，；当时，，；要证，只需证；在上单调递减，只需证，又，则只需证对任意恒成立；设，；设，则，在上单调递减，，又当时，，，在上单调递增，，即在时恒成立，又，，原不等式得证.类型3.拐点偏移当理解到偏差函数的本质时，很多不是极值点偏移的双变量问题也可利用它来解决，例如下面的拐点偏移.无偏移偏移之后所以，拐点偏移类的题目的命制特点便是：已知函数满足，证明：或者，读者应该注意其与极值点偏移在命题表述上的区别.下面我们通过几个例题来展示拐点偏移类问题的解法，其依然是构造偏差函数来证明偏移.例3．已知函数.（1）求的极大值；（2）设，是两个不相等的正数，且，证明：.解：因为的定义域为，，当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，函数的极大值为.（2）证明：因为，则，即，由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因为、是两个不相等的正数，且满足，不妨设，构造函数，则，令，则.当时，，则，此时函数单调递减，当时，，则，此时函数单调递减，又因为函数在上连续，故函数在上单调递减，当时，，即，故函数在上为增函数，故，所以，，且，函数在上为减函数，故，则.练习3．已知函数，其定义域为.（其中常数，是自然对数的底数）（1）求函数的递增区间；（2）若函数为定义域上的增函数，且，证明:.解析：（2）∵函数为上的增函数，∴，即，注意到，故，∴不妨设，欲证，只需证，只需证，即证，即证，令，，只需证，∴，下证，即证，由熟知的不等式可知，当时，即，∴，易知当时，，∴，∴，∴，即单调递增，即，从而得证.总练习题（2016全国1卷）已知