01-2.1平面向量的实际背景及基本概念(教师版)

【学习目标】1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.知识点一向量的概念1.向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法1.向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作AB→.2.向量的字母表示：向量可以用字母a,b,c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写时用→a，b，c).→→3.向量AB→的大小，也就是向量AB→的长度(或称模)，即有向线段AB→的长度，记作|AB→|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.知识点三相等向量与共线向量1.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a平行于b，记作a∥b.(2)规定：零向量与任一向量平行.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考(1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(5)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？(1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)零向量；(5)平行向量.第1页1.如果|AB→|>|CD→|，那么AB→>CD→.(×)提示向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.2.若a，b都是单位向量，则a＝b.(×)提示a与b都是单位向量，则|a|＝|b|＝1，但a与b方向可能不同.3.若a＝b，且a与b的起点相同，则终点也相同.(√)提示若a＝b，则a与b的大小和方向都相同，那么起点相同时，终点必相同.4.零向量的大小为0，没有方向.(×)提示任何向量都有方向，零向量的方向是任意的.题型一向量的概念例1下列说法正确的是()A.向量AB→与向量BA→的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量都是相等的D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等考点向量的概念题点向量的性质答案A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.反思感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.跟踪训练1下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小考点向量的概念题点向量的性质答案D解析不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.题型二相等向量与共线向量例2如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点.第2页(1)写出与EF→共线的向量；(2)写出模与EF→的模相等的向量；(3)写出与EF→相等的向量.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解(1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，EF＝12BC.又因为D是BC的中点，所以与EF→共线的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→，BC→，CB→.(2)模与EF→模相等的向量有FE→，BD→，DB→，DC→，CD→.(3)与EF→相等的向量有DB→，CD→.反思感悟相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线.(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量.跟踪训练2如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.(1)与OA→的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA→长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与OA→共线的向量有几个？考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量解(1)与OA→的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.(2)存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与OA→的长度相等、方向相反的向量有AO→，OD→，FE→，BC→，共4个.(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与OA→共线的向量有BC→，CB→，EF→，FE→，AO→，OD→，DO→，AD→，DA→，共9个.题型三向量的表示及应用例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.(1)作出向量AB→，BC→，CD→；第3页(2)求|AD→|.考点向量的表示方法题点向量的几何表示解(1)向量AB→，BC→，CD→如图所示.(2)由题意，可知AB→与CD→方向相反，故AB→与CD→共线，∵|AB→|＝|CD→|，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴AD→＝BC→，∴|AD→|＝|BC→|＝200km.反思感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为终点画一个向量b，使b＝a；(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝5，并说出向量c的终点的轨迹是什么？考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用解(1)根据相等向量的定义，所作向量b与向量a平行，且长度相等(作图略).(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为5的圆(作图略).特殊向量的作用典例给出下列命题：①若a∥b，则a与b的方向相同或相反；②若a∥b，b∥c，则a∥c；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c，其中正确的是________.(填序号)考点向量的概念题点向量的性质答案④解析由于零向量的方向是任意的，且规定与任意向量平行，故取a＝0，则对于任意的向量b，都有a∥b，知①错误；取b＝0，则对于任意的向量a，c都有a∥b，b∥c，知②错误；两个模相等的向量互相平行，第4页方向可能相反，知③错误；由两个向量相等的概念可知④正确.[素养评析](1)本题主要考查相等向量，共线向量与零向量的概念，需要准确理解概念进行推理，这正体现了数学中逻辑推理的核心素养.(2)特殊向量的性质往往与一般向量有所不同，在解题中应单独加以验证，不能混淆，否则在解决相关问题过程中容易出错.(3)零向量与任意向量平行，解题时要验证取零向量时是否成立.1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A.单位圆考点向量的表示方法题点向量B.一段弧C.线段D.直线答案A2.下列结论正确的个数是()①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④若|a|>|b|，则a>b.A.0B.1C.2D.3考点向量的概念题点向量的性质答案B解析①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.→→→→3.若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的应用答案C解析因为BA→→＝CD，所以四边形ABCD为平行四边形，又|AB→→|＝|AD|，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形，故选C.4.如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的有________.(填序号)→→→→→→→→①AO＝OC；②AO∥AC；③AB与CD共线；④AO＝BO.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案①②③第5页解析AO→与OC→方向相同，长度相等，∴①正确；∵A，O，C三点在一条直线上，∴AO→∥AC→，②正确；∵AB∥DC，∴AB→与CD→共线，③正确；AO→与BO→方向不同，∴二者不相等，④错误.5.已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量AB→是平行向量，与BC→是共线向量，则m＝________.考点单位向量与零向量题点零向量的性质答案0解析AB→与BC→不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形一成个单位圆.一、选择题1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有()A.4个B.5个C.6个D.7个考点向量的概念题点向量的判定答案A解析速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向.2.下列说法正确的是()A.向量AB→与BA→是相等向量C.零向量与任一向量共线考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质和判定答案CB.共线的单位向量是相等向量D.两平行向量所在直线平行解析向量AB→与BA→方向相反，不是相等向量，故A错；共线的单位向量可能是相等向量，也可能不是，故B错；零向量与任一向量共线，故C正确；两平行向量所在直线可能平行，也可能重合，故D错.第6页3.设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是()A.相等向量考点向量的表示方法题点向量的模答案BB.模相等的向量C.平行向量D.起点相同的向量解析因为O是△ABC的外心，所以|AO→|＝|BO→|＝|CO→|，故选B.4.在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则()A.AB→与AC→共线B.DE→与CB→共线C.AD→与AE→相等D.AD→与BD→相等考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案B解析如图所示，因为D，E分别是AB，AC的中点，由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以DE→与CB→共线.5.(2018·安徽安庆质检)下列说法正确的是()A.若|a|＝|b|且a∥b，则a＝bC.若a＝b，则a与b共线考点相等向量与共线向量题点相等向量与共线向量的性质和判定答案CB.若|a|＝|b|，则a＝bD.若a≠b，则a一定不与b共线解析A中，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，A不正确；B中，向量的模相等，但a与b的方向不确定，B不正确；D中，a≠b，a可与b共线.6.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是()A.与AB→相等的向量只有1个(不含AB→)B.与AB→的模相等的向量有9个(不含AB→)D.CB→与DA→不共线C.BD→的模恰为DA→的模的3倍考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案D解析由于AB→＝DC→，因此与AB→相等的向量只有DC→，而与AB→的模相等的向量有DA→，DC→，AC→，CB→，AD→，第7页CD→，CA→，BC→，BA→，因此选项A，B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴|DO→|＝23|DA→|，故|DB→|＝3|DA→|，因此选项C正确.由于CB→＝DA→，因此CB→与DA→是共线的，故选D.7.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是()A.|AB→|＝|EF→|B.AB→与FH→共线C.BD→与EH→共线→→D.CD＝FG考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量答案C二、填空题8.若A地位于B地正西方向5km处，C地位于A地正北方向5km处，则C地相对于B地的位移是________.考点向量的表示方法题点向量的几何意义及其应用答案西北方向52km9.已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|BD→|＝________.考点向量的表示方法题点向量的模答案23解析由题意知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD的交点为O，∴在Rt△ABO中，|BO→|＝|AB→|·cos30°＝2×23＝3，∴|BD→|＝2|BO→|＝23.10.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，|AB→|＝2，则|AC→|＝________.考点向量的表示方法题点向量的模答案111→→解析连接AC，由|OC→|＝|OB→|得∠ABC＝∠OCB＝30°，又∠ACB＝90°，则|AC|＝|AB|＝×2＝1.2211.已知在四边形ABCD中，BC→＝AD→且|AB→|＝|BD→|＝|BC→|＝2，则该四边形内切圆的面积是________.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量第8页3π4答案解析由BC→＝AD→知四边形ABCD为平行四边形，由|AB→|＝|BD→|＝|BC→|知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC＝120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r，则r＝12|BD→|sin60°＝23，所以S＝πr2＝π×＝.33π224圆12.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：(1)图中与AB→共线的向量有________；(2)图中与AB→相等的向量有________；(3)图中与AB→的模相等的向量有________；(4)图中与EC→相等的向量有________.考点相等向量与共线向量题点几何图形中的相等向量与共线向量→→答案(1)DC→，BE→，BA→，CD→，EB→，AE→，EA→；(2)DC，BE(3)BA→，BE→，EB→，DC→，CD→，AD→，DA→，BC→，CB→；(4)BD→三、解答题13.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿