圆的方程习题

圆的方程 对应学生用书第174圆的定义与方程对应学生用书第174当2+24F0时,此方程表示的图形是圆;当2+24F0时,此方程表示一个点(D;当2 22+24F0时,它不表示任何图形.点与圆的位置关系圆的标准方程为(x-)2y-)2=2(r0),圆心C的坐标为,),半径为,设M的坐标为(00).二元二次方程A2+Bxy+C2+Dx+Ey+F0A=C≠0,{B=0,D2+E2-4AF>0.(11),22)(x-1x-)(1)(2)0.【概念辨析】1(,”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半. ( )(2若点(0,0)在圆2++Dx+Ey+F0,ᵆe2ᵆf2+D00+F0. ( )0 0(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆.( )(4(x-)(y-2=2(∈)(,),t个.( )(5已知点(11),22),以B是(x-1)x-2(1(2)0.答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√( )【对接教材】2北师大版必修2P79练习改编)圆22xy0坐标是 ,.答案 (2,-3) √13解析 由得所以圆心坐标为(2,-3),半径√13.3人教A版必修0例3改编)过点(1,1),(,且线x+y20上是 .答案 解析 (法一)设心C坐标为(,,为,因心C线上所以因2=|CB2,所(a1)2(-a1)2a1)22-a12,解得1,b2-a,所.所(x1)2y1)2.(法)因(1,1),(1,1),所线段B中垂线由 ᵆe+ᵆf-2=0, ᵆe=1,{ᵆfᵆe, 得{ᵆf1,所坐标(1,1),r√(1121122.(x1)2y1)24.【易错自纠】若方程圆,实数a的取值范围是 .答案 (-2,3解析 方程22ay2+a10可化(ᵆe+ᵄ)2(y+)2=2-a,圆,2 42-a10,2a4,2<a.4 3若坐标原点在(x-)2(y+)24的内,则实数m是 .答案 (-√2,√2)解析 原(0,0)在(x-)2)24部,0)20+)24,解得22.【真题演练】6(2020年北京卷)已知半径为1经过点(3,4),其心到距离最小为( ).4 5 6 答案 A解析 设圆心(,),√(ᵆe-32+-421,简(x3)2y4)2心C轨迹以(3,4为圆心,1为半径的,对应学生用书第175【题组过关】min=|OM|132+4214对应学生用书第175【题组过关】1(2021北京市西城区模拟设(2,1),(4,1)则以线段AB直径( ).x3)222 (x3)228x3)222(x3)228案 A析 为B中为(3,0),圆的半径r|ᵃ4ᵃ5|√(42+122,2 2(x3)22.2(2021浙江省绍兴市模拟)已知圆C与x轴的正半轴相切于点,圆心在直线y2x上,若点A在直线x-y40的左上方且到该直线的距离等于√2,则圆C的标准方程( ).x2)2y424 (x2)(y4)2x2)2y4)24 (x2)2y4)2答案 D析 圆C线y2x上,可设(,2Cx,∴a0C的半径r2,).A402,∴d-|2,a6a√1+1(2,0)).AC(x2)2y)216.3(2021河南省郑州市模)圆x2)2y24线80为( x3)(y2)24 (x4)(y624x4)2y6)24 (x6)2y424案 C析 圆:(x2)(y)24为(2,12),为2,设(2,12)关于直线:x-y0的对称点为(x,y),ᵆe'-2-ᵆf'+12+8=

ᵆe'=4,则{2 2

ᵆf'=6.ᵆf'-12=-1,ᵆe'+2(4,6),C关于直线l(x4)2y6)4.点拨 求圆的方程的两种方法几何法 根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半,进而写出方程①根据题意,选择标准方程与一般方程;待定系数法

,,r或F;,,r或,与圆有关的轨迹问题【典例迁移】()t△与圆有关的轨迹问题【典例迁移】()t△C,(,(3,0)C的轨迹方程.析 (一)设(,,为,C线,以0.,,C,·又 ᵆf

,=ᵆf,

ᵆfᵆe+1

ᵆe+1ᵆe-322x3.因此直角顶点C的轨迹方程为2+22x30≠0).()设AB的中点为,由中点坐标公式得(1,0),2由圆的定义知,2C的轨迹是以(1,0),2(,,C,x).C(x1)224≠0.【变式设问】已知条件不变,BCM的轨迹方程.解析 设(,),(0,),因为(3,0),M是线段BC的中,得xᵆe03,yᵆ0+,所以2 2x0=2x-3,y0=2y.1,C1)2+4(≠0x302y代入得2x42(2)4,即x2)22.点M为(x22+21(0).点拨 求与圆有关的轨迹问题的三种方法直接法:,,,直接求解轨迹方程.定义法:,,写出圆的方程.代入法:,,常找出要求的点与已知点的关系,.1:(x3)2(y4)24外一点(,),,QP到原点O的距离,则点P的轨迹方程为( ).8xy20 8xy26xy20 6xy210案 D与圆有关的最值问题【考向变换】析 得,心C为(3,4),半径r2,如因,且C,所|PO2+22,以224(x32(y4)2,即6xy210,所以点P为6xy20与圆有关的最值问题【考向变换】已知实数已知实数ᵆf的最大值和最小值分别为ᵆe和.解析 原方程可化为解析 原方程可化为表示以(2,0)为圆心,√3为半径的圆.ᵆf的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设ᵆf=k,即y=kx.当ᵆe ᵆe直线y=kx(如图),斜率k,-|3,解得k=3ᵆf3,最小√ᵅX2+1 ᵆe值为-√3.点拨 形如的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.ᵆe-ᵄN【追踪训练2】已知实数满足(,则的最大值和最小值分别为ᵆe和 .答案 4+√73

4-√73析 由题意,得ᵆf+1表示过点(01)和(x2)(y121动点(,)率且仅ᵆe圆相切时,直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y=kx-1,即kx-y-1=0,则|2ᵅX-2|=1,解得k=4±√7,max7,n-7.

√ᵅX2+1 33 3已知实数满足方程已知实数满足方程,则y-x的最大值和最小值分别为和.答案 解析 原方程可化为表示(2,0)为圆心,√3圆.y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距如图所,当直线b时,纵截距b值,时0+ᵄO|3,解得b=6,√2x26,26.点拨 形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题.【追踪训练3】已知(,):22x1y40任,且(2,3).求的最大值和;求ᵆf-3.ᵆe+2析 (1)由圆:22x445可得C的坐标为(2,7),又√(2+227-3242,max42262,min42222.(2)由几何意义可知ᵆf-3MQk.ᵆe+2MQkx-yk30.MQC有交点,ᵅX7+2ᵅX+3|≤22,√1+ᵅX2得23≤≤23,∴ᵆ3的最大值23,最小值23.ᵆe+2已知实数满足方程已知实数满足方程的最大值和最小值分别为和.答案 7-4√3解析 原方程可化为表示以(2,0)为圆心,√3圆表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离2,所以2+2的最大值是(23)273,22最小值是23)2743.拨 形如的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.【追踪训练4】若实数y满足(x5)2y242,则2+2最小值( ).2 1 32答案 B解析 2+2表示圆上的,与(0,0)间距离的平,最小值为1452+1221.对应学生用书第176建立函数关系求最值在解决与圆有的对应学生用书第176建立函数关系求最值为.答案12,知2x,(2,),=2+24由于点(),故其坐标满(2021)()2y3)21,定点(2,0),(,·足方程2(y3)1,故(y321,·(y3)21+24y22(y3)(2021)()2y3)21,定点(2,0),(,·根据题中条件列出相关的函数关系式,再根据函数知识或基本不等式求.【突破训练】(2021银川)(,):(x32+4,(0,2)(0,,则的.答案 10对应《精练案》第81页,知(x,2(x2y(2,2)(,),(x3)22,2x324,√4ᵆe2+4ᵆf26ᵆe-(x)2+24,1≤5,所以当x5,,6×5-10.对应《精练案》第81页1(2021江西省上饶市模)已为222y100,则圆心的坐标( ).(-1,1) (-1-1)2 2(1,1) (1-1)2 2答案 B解析 根据题,圆的方程为其中则有则其圆心的坐标为2 22(-1,-1).22(2021天津市南开区模)程22220是( .(,2)(2,+).(2,+).(.(0,1]答案 D析 由22y+22得(ᵆe-ᵅX)2(y1)32.2 4若方程22y+220,320,得<k2.4,C,而(0,1]⊂(-2,2),D为充分不必要条件.3(2021北京市丰台区模)圆x1)222线10为( ).2 21 22答案 B解析 圆的圆心坐标为(1,0),(1,0)x+y10d|1+0+1|2.√12+124(2021拟)圆222240线x称则k为( )..11 .10答案 A解析 化圆222240为(2)(y1)2=441则圆心的坐标(-2,1).y=x对称,x,1,k=.k1,44k10,∴k1.5(2021拟)知,Q线3x470线22x0上的动,则的最小值为( ).3 2 1 25答案 C解析 由整理其表示圆心为(1,0),半径为1圆,所以圆心(1,0)到直线3x+4y+7=0的距离d=|3+7|√32+42

=2,,d-r1.已知圆C关于y轴对称,(1,0)且被x轴分成两,为12,圆C为( ).A.x±√3)2=4 B.x±√3)2=1223 3 3 322x3)2+243

(x3)2+13答案 A解析 由已知圆心在y轴上,被x轴所分劣弧的所对圆心角为2π,设圆心的坐标为(0,a),半径为则3siπ1,π,=2,r,3,a=3,C的方程为x(ᵆf±3)2.2 23 3 √3 3 3 3 3 3已知点(1,0),(0,2)P是(x1)221点,则△B为( ).2,25 25,252 2 25,4551512 2答案 B解析 由题意√(-12+-225,:2x-y2由题意知圆心的坐标为(1,0),半径为1.Bd0+2|=45.√4+1 √5 5所以B5(5+1(5)25,2 5 2 2B的最小值为5(45-1(5)25.2 5 2 28(2021)5:,C(4,0),(0,4),其欧拉线方程为C的坐标可以是().))(0,答案 D析 设(,,得B为y=-x.∵欧拉线方程为x-y+2=0,x(1,(x12(y1)2, ①(4,0),(0,4)得△ABC(4ᵆf+4,3 3代入欧拉线方程得②由①②可得或 C的坐标可以是(2,0)(0,-2).9(2021四川宜宾校拟)经过点(1,0),(0,2),线yx是 .答案 1)22 4解析 设圆的标准方程因心(,)线x上得b2,所以可得圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2,因为圆经过点(1,0),(0,2),1-ᵄN)2+0-2a2=_2

ᵄN=1,所以{ 解得{ 20-ᵄN)2+-2a2=_2

ᵅ_=√5,2,(ᵆe)2(y1).2 410设A为(x1)221,A线,且1,则点P的轨迹方程( x1)224 (x1)222.2x .2=x答案 解析(1,0)P的距离为P在以(1,0)√2,其轨迹方程为(x1)22.11(2021河北石家庄一)圆C等,圆C点(1,0)和(2,3)则圆C的半径为( ).8 22 5 5答案 D析 (一)圆C为(x-)2y-)2=2(r0).C-1,0)和(2,3),∴N+12+ᵄO2=ᵅ_2,{ 2 2 2(ᵄN-2)+(b-3)=ᵅ_,①圆C等②由a=b,C5,.()C(1,0)和(2,3),CNy=-x2,C,圆心C圆心C在直线y=±x直线y=-x和直线圆心C为直xy=-x2(1,1)C5,.12(2021)在△C中,4,AC2,Aπ,P在以点A,1,则·的3最小值为 .答案 5-2√7解析如图,A为原点,ABx.(0,0),(4,0)(13),(则4x,1x3y解析·4x1)3)=xx+y3y4(ᵆe)2(ᵆf3)23,(ᵆe)2(ᵆf3)2A上的点2 22 2 2 2P与点(5,3)的距|PM的平,由几何图形可|PM| 1√(5)2+(3)2172 2 min 2 2(·)min71)2357.131