高等代数(北大版)第8章习题参考答案

第八章—矩阵1.化下列矩阵成标准形1）2）3）4）5）6）解1）对矩阵作初等变换,有A=B，B即为所求。2）对矩阵作初等变换,有A=B，B即为所求。3）因为的行列式因子为1=1,2=,3=，所以1=1,2==,3==，从而A=B，B即为所求。4）因为的行列式因子为1=1,2=,3=,4=，所以1=1,2==,3==,4==，从而A=B，B即为所求。5）对矩阵作初等变换,有A=B，B即为所求。6）对矩阵作初等变换,有A，在最后一个行列式中3=1,4=,5=，所以1=2=3=1,4==,5==。故所求标准形为B=。2.求下列矩阵的不变因子:1）2）3）4）5）解1）所给矩阵的右上角的二阶子式为1,所以其行列式因子为1=1,2=1,3=，故该矩阵的不变因子为1=2=1,3=。2）因为所给矩阵的右上角的三阶子式为-1,所以其行列式因子为3=2=1=1,4=，故矩阵的不变因子为1=2=3=1,4=。3）当时,有4==，且在矩阵中有一个三阶子式=，于是由,3=1，可得3=1，故该矩阵的不变因子为1=2=3=1,4=。当时,由1=1,2=1,3=,4=，从而1=2=1,3=,4==。4）因为所给矩阵的左上角三阶子式为1,所以其行列式因子为1=1,2=1,3=1,4=，从而所求不变因子为1=2=3=1,4=。5）因为所给矩阵的四个三阶行列式无公共非零因式,所以其行列式因子为3=1,4=，故所求不变因子为1=2=3=1,4=。3.证明:的不变因子是，其中=。证因为n=，按最后一列展开此行列式，得n==，=，因为矩阵左下角的阶子式=,所以=1,从而1=2=…==1，故所给矩阵的不变因子为1=2=…==1，==，即证。4.设A是数域P上一个阶矩阵,证明A与相似。证设A=，则=，因为A与相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子,所以只需证明与有相同的不变因子即可。注意到与对应的级子式互为转置,因而对应的级子式相等,故与有相同的各级行列式因子,从而有相同的不变因子,即证A与相似。5.设A=求。解因为=，所以=====。6.求下列复系数矩阵的若尔当标准形:1）2）3）4）5）6)7)8)9)10)11)12)13)14)解1）设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,，故A的若尔当标准形为=。2）设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,，故A的若尔当标准形为=。3)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,故A的若尔当标准形为=。4)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是，故A的若尔当标准形为=。5)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,,从而A的若尔当标准形为=。6)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,,从而A的若尔当标准形为=。7)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,故A的若尔当标准形为=。8)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,故A的若尔当标准形为=。9)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,,故A的若尔当标准形为=。10)设原矩阵为A,则=，设=,则由“卡当”公式可解得其中.于是A的初等因子是,,,故A的若尔当标准形为=。11)设原矩阵为A,则=，于是A的初等因子是,故A的若尔当标准形为=。12)设原矩阵为A,则=，因为三阶子式无公共非零因式,所以的行列式因子为3=1,4=，于是4=,3=2=1=1，因此A的初等因子是,故A的若尔当标准形为=。13)设原矩阵为A,则=，所以A的初等因子是,,,,故A的若尔当标准形为=。14)设原矩阵为A,则=，于是有一个阶子式=，所以的行列式因子为1=2=…==1，===，其中1,,,是个次单位根,所以A的初等因子为,,,，故A的若尔当标准形为=。注上述矩阵的若尔当标准形也可用波尔曼公式求得,留给读者作为练习。7.把习题6中各矩阵看成有理数域上矩阵,试写出它们的有理标准形。解1)已知A=,且=，所以A的有理标准形为=。2)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。3)已知A=,且=，所以A的不变因子为,,，故A的有理标准形为=。4)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。5)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。6)已知A=,且=，所以A的不变因子为,,，故A的有理标准形为=。7)已知A=,且=，所以A的不变因子为,,，故A的有理标准形为=。8)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。9)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。10)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。11)已知A=,且=，所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。12)已知A=，且=，因为4=,3=(三阶子式的公因式是零次多项式),所以A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。13)已知A=,且=，所以A的不变因子为，，，故A的有理标准形为=。14)已知A=,且==＝，又因为＝，所以。这意味着A的不变因子为,，故A的有理标准形为=。二.补充题参考解答1.A是维线性空间上V的线性变换。1