数列求和不等式的证明策略

2仅供个人参考2数列求不等式的证策略一．直接放缩型例1．求证：

111nn2

2)证明：

112nnk1

(k=211111+,2nnn21nn1Forpersonaluseinstudyandresearch;forcommercialuse即

111n1n22n1

例设

a

1

12a

na

求证：a

n

2.解析

a

1

11112a3aa32n

.又k

2

k1111k2k1k

，于是

a

1

1111111)()232n3n1n

2.二．

可放缩等差数列型例1．求证：

21322

(n

N)证明：

n

2

n

1212n

2

，又

nn112122

12

=

n

2

2n22

,

得证。三．

可放缩等比数列型例1．数列{}满足an

=a-na+1(nN)，且nn

n

n+2证：

11111a1a1a212n证明：a=a-n)+1a(n+2-n)+1=2a+1a+1+1)a+12(a+1)nnnnnnn-1即

111111a222n121nn1n21

(

a1

3)1111111111a1

1a

2

1a

n

2

2

232

n1

22n12x2例2．已知f(x)=x1

数列{x}满x=f(x)(n)，x=1设a=|x-2，nn+1n1nn不得用于商业用途

2nnnnn仅供个人参考2nnnnnS为{a}前n项，证明：S<nnn

22

。证明a=|x-2n+1

xnxn

21

2

x2x2|x|nn|=(2nx|x1|n又x>0a<(2n

221

2|(n

2|(nS=a+a<(2+(2n12n

2n=

1

n

]<

12

，得证。四．可放缩成裂项式型例1．求证：

1112232n2

2

(n

N)证明：

1111n2n1n

2)1+

1112232n2

11

1111223n

2

.例2．求证：

2

22

3

32

n

n2

3(nN)证明：

2

n

nnn

n1=

n1n)

2(nn1)112(n1

1+

2

2

2

1

3

五．

两项配放缩型例1．已知.x=2+n

1(n

13

，求证(-1)x+(-1)+(-1)<1(n)12n证明：x=(-1)n

2+

2

n

1(n

13

,不妨考n为奇数时，(-1)+(-1)xn

=

2

n

1

13

2

1n1

13

=不得用于商业用途

2n2nnn-1nnn1na求证n简析当n时n仅供个人参考2n2nnn-1nnn1na求证n简析当n时n2n21

2n2n1

11

n

11n133

)

2n2n122

n1于是n偶数时(-1)xx(-1)x<12nn奇数时，前项为偶数项，

11112222

<1,于是有-1)xx+x<1+(-1)=1-x=1-(2+12nnn

1(n

13

=-1+

2

n

1

13

1得证。2例2．已知=[2+(-1)](nN)，证明：对意的整>4，有3证明：通项公式得=24

1117aaa845m当n3且n为奇数，

11311[aa22n21211nn1

32n122222n321221<

32n12

22n3

n2

1=(n22

n1

,当m>4且m为偶数，

1111aaaa45m4

11(aa56

)(a

11am1m

)<

131111117()2223242m222m428

,当m>4且m为奇数，

11111117aaaaaaa845m45mm1

,综上对意整数m>4有

1117aaa845m

。评析：于通项中涉有-1)这一符号法则，此结合两项和将其去，行放缩能易于求和问题得证。六．利题设结论例1

已知不式

1112n

[logn],Nn]表示不超过222

n

的最大数。设数数列}满足：aan1nan12b[logn]2na1aa1n1naaannn111n1n1aanak1k2kk1k2不得用于商业用途

2.11ann1

，即

于是当n3时有2n11n1nnn1nnni12；n1k1211111仅供个人参考于是当n3时有2n11n1nnn1nnni12；n1k1211111例2

1n]a.a2n12已知a(1.用数学纳法证n2n2n

2))对x对0都成立，证明a2（无理数）n解析)结合第结论及给题设条件ln(1x（0）的构特征可得放缩思路：an1

11n2n2n

n

lnan1

n

n

111。于是n2n2n2

，n1i

a

i

i

n1i1

11(2i2

)

n

1

1

1n

11(12112

2

11n2n

2.

即

n1

2.

a1n

1

n1

a

n

11).11aa1n即1a1e.nn七．利单调性放缩

1

，例1.设数列a满a21n，当a3时明有n有n1n111111a1a1a212n解析用数学归纳法：n1时显成立，假设nk时成立即ak2则当knk1时aak)12k)2，成立。k1kkk利2a1来放111aa1212k1421.a121k11(nn1n111.1a2i412i1ii112例2已知各项为正数数列{a的前项和满Sn

n

，且

）求的通项公式n）设数列{满足nn

n

，并Tb}的前n项和，求：n

（Ⅰ）：由

a

S

16

，解得或，由假a＝S＞1，此a。不得用于商业用途

b336233322knn仅供个人参考b336233322knn又由a

＝S

-Sn

16

12)6

2)

，得a-a-3＝0或nn+1n因a＞0，故a＝-a不成立，去。nn+1n因此a-a-3＝0从而｛a｝公差为3首项2的等差数，｝的通为a＝3n-2。nnnn（Ⅱ）

a1n

可解得b

z

log1z

1an

logz

3n3n1

；从而T

n

b1

b

2

b

n

logz

363n··253n1

。因此

n

1z

n

logz

···。253n13n2令

363n2··251

则23n3·3n53n22

。因

2)

9n

，故

.特别的

2720

从而

n

1a

n

，即

n

＞log2

n

。例

数列x

n

由下列件确定：x1

0，

x1

1ax2x

,nN（I证明对

2总有

xn

a

明：对n2有

xn

xn1

北京卷（19题）解析构造函数x易知a,是增函。当nk1xk1

1ax2xk

在[a,递增故x1

f(a)a.对(II)有xn

n

1ax2xn

造函数

1ax它在a,上是函数，2x故有xxn八．数归纳法

1ax2xn

f(a)得证。武汉市育科学研究命制的武汉市学年高三年二月调测试”第不得用于商业用途

/nn12n12n仅供个人参考/nn12n12n题：已函数f(x)是在0,+上每一处可导函数若xf(x)>f(x)在x>0恒成立1略；2）求：当x>0,x>0时有；3）已知等式在x>-10时121212111恒成立求证：2232

ln(2

n2)

.其中第3问出的参考答为：由结论推广到般有f(x)+f(xf(x)<f(x+xx)(n2),设f(x)=xlnx则在12n12nx>0(i=1,n时，有x+x+x<(x+x+x+xx),i1122nn12n12n1令x=,2记s+x=n12n

1112232

s<

111111223n1

,又s>n

11112342)2n2

,(x+x+x+xx)12n12n1111n<(x+x+x)ln(1-xx()n1n1n12n22)111111nlnlnln222233222)

原不等成立。上述证的技巧性太，通过论2的推广及缩小与放大同时运，才使得n放缩的度恰如其分笔者经进一步研究得出了下简洁证法当k>

11111N时,k2=2222)k11111112ln(222322232211111n2332)2n22)2)原不等成立。评析：证不等式的构是数求和的形式于是考将左边数列通项放成易于求和的形，通过放缩项，使题自然地获解决。关于数求和不等式证明，来是各地模题和高题的命题热，而学对于此类题的处方法常用的数学归法和一般的等式放，往往做到途就不了之，而若抓住此等式的结构征是以和的形式出，因此数列的通项过合适放缩，使得便于求了，问题也之得证不得用于商业用途

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandre