知识讲解直线、平面垂直的性质

编稿：审稿：lmlmlmlm若lAAPlAPm,符号语言： ,lmm,这种线面垂直与面面垂直间的相互转化，是我们立体几何中求解（证）问题的方法。以某性质为基础，不能凭臆断，1．设a，b为异面直线，AB是它们的公垂线（与两异面直线都垂直且相交的直线若a，b都平行于平面，求证：AB⊥若a，b分别垂直于平面，，且 c，求证：AB∥c（1）AB⊥（2）由于此时垂直的关系较多，因此可以考虑利用线面垂直的性质证明AB∥c。（1）（1abP确定的平面与平面b，∴a∥ab∥b又∵AB⊥，AB⊥b，∴AB⊥aAB⊥b∴AB⊥AB⊥BB又∵AB⊥b，∴ABbBB∵b，∴b⊥c，∵BB＇⊥，∴BB＇⊥c∴cBBb确定的平面。c∥AB。BB【变式1】设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 A．若l⊥m，m，则l⊥ B．若l⊥，l∥m，则m⊥C．若l∥，m，则l D．若l∥，m∥，则l【答案】39899932PAABCDB⊥ADA⊥CDABC=60°，PA=AB=BC，EPC的中点．CD⊥AE；再由AB⊥PD可得PDABE。CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CDPAC，∵EPC由（1）知，AE⊥CDPC∩CD=C，所以AE∵PAABCD，PDABCDAD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE=A，∴PDABE1（2014）ABCDACBC

2AB，ABED12（1（2）（3）6GH（∵G、FECBD∵G、FECBD∴GM∥BE，且GM

1BE2NF∥DANF1DA2又∵ADEB为正方形∴GM∥NF∴MNFG∵ADEB∴AE∩BD=FFAEAC ABCCN ∴VCABED3SABEDCN312

AB 3991102【解析】已知：，， ，求证：l1：如图（左，在PPA垂直于与A，PB垂直于与BPA⊥，PB∵l

∵PA，PBl2：如图（右，在m垂直于与的交线，在n垂直于与mn，∴m∥n。n，∴m，∴mll。3：如图，在lA，过Am，使mAlm同理l

m l，即lm键。证法3利用两个平面垂直的推论，则较为简捷。由此可见，须熟练掌握这一推论。△ABC到△A1B1C1AA1ABC，AA1=3a。如图所示，ECC1CE=2aD—AE—C的正弦值。【解析】∵AA1ABC，CC1∥AA1，∴CC1ABC。CC1ACEACEABC。DH⊥ACH，DHAEC，作HF⊥AEFDF，DF⊥AE，∴∠DFHD—AE—C的平面角。Rt△ADCDHADDC22a 2在Rt△ADE（易证得）中，DFADDE a2在Rt△DHF中，sinDFHDH 65 ∴二面角D—AE—C的正弦值 4（20151ABCDADEFAFFEAB

AD2GAC2223

【证明（1）证明ABM，连FM，GM∵GAC1∴GM∥AD，且GM1

AD22

∴GM∥FEGM=FEGMFEEG∥FM。又∵EGABF，FMABF，ABCDAFEDABCDAFED=AD，ENABCDENE—ABG的高AEFAEF∴EF∥AD3∴ENAEsin603∴三棱锥BAEG的体积为

1

EN1122 2B E

3 3∴CD∴AFED为梯形，FE∥AD∴3又在△AED中，EA=2，AD=4，∠EAD=60°，ED23∴EA2ED2∴又∵AE又AEBAE例5．如图1，在RtABC中，C90，D,E分别为AC,AB的F为线段CD上的一点，将△ADEDE折起到A1DEA1FCD2．A1FBEA1B上是否存在点Q，使A1C平面DEQ？说明理D，EAC，AB的中点，DE∥BC，AC⊥BCDE∥BC，DE⊥AC．DE⊥A1D．DE⊥CD．DEA1DC．A1F平面DE⊥A1F．A1F⊥CD，A1FBCDE．A1F⊥BE．A1BQA1CDEQ．理由如下：A1C，A1BP,QPQ∥BC．DE∥BCDE∥PQ．DEQDEP．由(Ⅱ)知，DEA1DC，PDA1CA1C的中点，A1C⊥DP．A1CDEP．从而A1C⊥平面A1BQA1CDEQ．1P—ABCPABABCPACABC，AEPBC，E为垂足。E为△PBC的垂心时，求证：△ABC证明：（1）如下图（左在平面ABC内取一点D，作DF⊥AC于 因为平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，所以DF⊥平面PAC。DG、DF都在平面ABC内，且DG∩DF=D，PAABC。（2）BEPC于H，如上图（右。E是△PBCPC⊥BE。AEPBCPC⊥AE。PCABEPC⊥AB。ABPACAB⊥AC，即△ABC是直角三角形。【总结升华】证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直一线面垂直——面面垂直来实现的。因2P

ABCDADC450ADAC1OACPOABCDPO2MPDPB//ACMADPACAMABCD445【解析】(Ⅰ)BDMOABCD中，因为OAC的中点，所以OBD的中点．MPDPB//MO

MOACMPBACM(Ⅱ)因为

°AD

1所以 °，即ADACPOABCDADABCD所以POAD，而AC ，所以AD平面PAC(Ⅲ)DONMNANMPDMNPOMN1PO1POABCD2MNABCD所以 是直线AM与平面ABCD所成的角在RtDAO中， ，AO DO

5．从而AN1DO 5 在

中，tanMANMN AMABCD45【变式3SABCD中，ABCD,BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2,CDSD(Ⅰ)SDSAB(Ⅱ)ABSBC7BCDE∵侧面SAB3∴SEAB,SE3又∵SD=1ED2SE2SD2DSESE又∵ABDE,ABSE,SEAB∴ABSDSDAB、SESFDEF，FG⊥BCGAB∴平面ABCDSF∵BC平面FG∴SFBC，FG⊥FGBCBC平面SBCFH