北师大七年级下册数学第四章全等三角形判定一提高

全等三角形判定一（SSS,ASA，AAS）（提高）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果A'B'＝AB，A'C'＝AC，B'C'＝BC，则△ABC≌△A'B'C'.要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果∠A＝∠A'，AB＝A'B'，∠B＝∠B'，则△ABC≌△要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”【答案与解析】证明：在△ABD和△ACE中，ABAC1、如图，在△ABC和△ADE1、如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求证：∠BAD＝∠CAE.BDCE∴△ABD≌△ACE（SSS）∴∠BAD＝∠CAE（全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质.要证∠BAD＝∠CAE，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA和△CAE，然后证这两个三角形全等.举一反三：【变式】（2014秋•双峰县校级期中）如图，已知AB=DC，若要用“SSS”判定△ABC≌△DCB，应添加条件是．【答案】AC=DB.类型二、全等三角形的判定2——“角边角” 2、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】 证明：∵AD∥BC，ADGCBF ADBC DACC∴△DAE≌△BCF（ASA）∴DE＝BF∴∠DAC＝∠C∵BF∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE与△BCF中【变式】已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.【答案】证明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ和△NHQ中，12MQNQ MQPNQH∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN类型三、全等三角形的判定3——“角角边”（2016•黄陂区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过C点作直线l，点D，E在直线l上，连接AD，BE，∠ADC=∠CEB=90°．求证：△ADC≌△CEB．【思路点拨】先证明∠DAC=∠ECB，根据AAS证△ADC≌△CEB．【答案与解析】证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB，，，∴△ADC≌△CEB（AAS）．【总结升华】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、ASA、AAS等．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．平面内有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直线MN．过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．当点E与点A重合时（如图1），易证：AF＋BF＝2CE．当三角板绕点A顺时针旋转至图2的位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AF、BF、CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．【思路点拨】过B作BH⊥CE与点H，易证△ACE≌△CBH，根据全等三角形的对应边相等，即可证得AF＋BF＝2CE．【答案与解析】解：图2，AF＋BF＝2CE仍成立，证明：过B作BH⊥CE于点H，∵∠CBH＋∠BCH＝∠ACE＋∠BCH＝90°∴∠CBH＝∠ACE在△ACE与△CBH中，ACHCBHAECCHB90ACBC∴△ACE≌△CBH．（AAS）∴CH＝AE，BF＝HE，CE＝EF，∴AF＋BF＝AE＋EF＋BF＝CH＋EF＋HE＝CE＋EF＝2EC．【总结升华】正确作出垂线，构造全等三角形是解决本题的关键.举一反三：【变式】已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图11），易证S S S ；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情△DEF △CEF2△ABC况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.【答案】解：图2成立；AD证明图2：过点D作DMAC，DNBCD则DMEDNFMDN90°M在△AMD和△DNB中，E C NF B图2AMD=DNB=90 AB ADBD∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF在△DME与△DNF中，EMDFDN90 DMDN MDENDF∴△DME≌△DNF（ASA） ∴S S △DME △DNF ∴S =S =S S . 四边形DMCN 四边形DECF △DEF △CEF1 可知S =S ， 四边形DMCN 2△ABC1 ∴S S S ，5、（2015春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？【思路点拨】根据题意可得△CPD≌△PAB（ASA），进而利用AB=DP=DB﹣PB求出即可．【答案与解析】解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=54°，在△CPD和△PAB中∵∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=36，PB=10，∴AB=36﹣10=26（m），答：楼高AB是26米．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．【巩固练习】一、选择题1．（2014秋•西秀区校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，EB=EC，则由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACEC．△BDE≌△CDED．以上答案都不对如图，AB∥EF，DE∥AC，BD＝CF，则图中不是全等三角形的是（）A.△BAC≌FEDB.△BDA≌FCEC.△DEC≌CADD.△BAC≌FCE如图，AB＝BD，∠1＝∠2，添加一个条件可使△ABC≌△DBE，则这个条件不可能是（）A.AE＝ECB.∠D＝∠AC.BE＝BCD.∠1＝∠DEA下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等△ABC和△A'B'C'中,条件①AB＝A'B',②BC＝B'C',③AC＝A'C',④∠A＝∠A',⑤∠B＝∠B',⑥∠C＝∠C',则下列各组条件中,不能保证△ABC≌△A'B'C'的是()A.①②③ B.①②⑤ C.①③⑤ D.②⑤⑥6．如图，点A在DE上，AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于（）A．DCB．BCC．ABD．AE＋AC二、填空题7.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，判定定理为AAS，需要添加条件______；或添加条件______，证明全等的理由是ASA.8.（2014秋•白云区期末）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，若直接推得△ABD≌△ACD，则其根据是__________.9.（2016•滨湖区一模）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，且AB=DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．10.如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长是___________．12.如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.三、解答题13．（2016春•会宁县期中）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．14.已知：如图，△ABC中，ABC45°，CDAB于D，BEAC于E，BE与CD相交于点F．求证：BFAC15.（2014秋•杭州期末）如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点.求证：AD＝AB＋DC.【答案与解析】一、选择题1.【答案】B．【答案】D；【答案】A；【解析】D选项可证得∠D＝∠A，从而用ASA证全等.【答案】B；【解析】C选项和D选项都可以由SSS定理证全等.【答案】C；【解析】C选项是两边及一边的对角对应相等，不能保证全等.【答案】C；【解析】可证∠BAC＝∠E，∠BCA＝∠DCE，所以△ABC≌△EDC，DE＝AB.二、填空题【答案】∠2＝∠1；∠E＝∠F.【答案】AAS；【答案】∠A=∠D或∠ACB=∠F；【解析】解：可添加条件为∠A=∠D或∠ACB=∠F．理由如下：∵AB∥DE，∴∠B=∠DEF．∵在△ABC和△DEF中，，，，，10.【答案】6；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.11．【答案】3；【解析】由AAS证△ABF≌△CBE，EF＝FB＋BE＝CE＋AF＝2＋1＝3.12.【答案】66°；82【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝41，所以∠DCB＝2∠ABC＝25°＋41°＝66°三、解答题13.【解析】