2019版数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第8章 第1讲直线的倾斜角与斜率 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程板块一知识梳理·自主学习［必备知识］考点1直线的倾斜角与斜率1．直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。（2）倾斜角的范围为0°≤α〈180°。2．直线的斜率（1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示,即k＝tanα，倾斜角是90°的直线斜率不存在．（2）过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2）的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)。考点2直线方程的几种形式［必会结论]直线的斜率k与倾斜角θ之间的关系θ0°0°〈θ〈90°90°90°〈θ<180°k0k〉0不存在k〈0牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．［考点自测］1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”)（1)直线的倾斜角越大，其斜率越大．（）(2）斜率公式k＝eq\f(y2－y1，x2－x1），不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线．（）(3)当直线的斜率不存在时，其倾斜角存在．（）(4)过点P（x1，y1）的直线方程一定可设为y－y1＝k(x－x1)．()（5)直线方程的截距式eq\f(x,a)＋eq\f（y，b）＝1中，a，b均应大于0.（)答案(1）×(2)×（3）√（4)×(5）×2．［课本改编]过点M(－1，m），N（m＋1，4)的直线的斜率等于1，则m的值为（）A．1B.eq\f（1,2)C．2D。eq\f(1,3)答案A解析由eq\f（4－m，m＋2)＝1，得m＝1。故选A。3．［课本改编］倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（)A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋y＋1＝0答案D解析直线的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0。4．［课本改编］过两点（0，3),(2，1）的直线方程为()A．x－y－3＝0B．x＋y－3＝0C．x＋y＋3＝0D．x－y＋3＝0答案B解析所求直线的斜率k＝eq\f(3－1，0－2)＝－1,又过点（0，3），所以直线方程为y－3＝－x，即x＋y－3＝0.5．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（）A．1 B．－1C．－2或－1 D．－2或1答案D解析由题意可知a≠0。当x＝0时，y＝a＋2;当y＝0时，x＝eq\f(a＋2，a），∴eq\f（a＋2,a)＝a＋2，解得a＝－2或a＝1。6．[2018·长春模拟］直线l:(a－2)x＋(a＋1）y＋6＝0,则直线l恒过定点________．答案（2,－2）解析直线l的方程变形为a(x＋y)－2x＋y＋6＝0,由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，，－2x＋y＋6＝0，））解得x＝2，y＝－2，所以直线l恒过定点（2，－2)．板块二典例探究·考向突破考向直线的倾斜角与斜率例1直线l过点P(1，0），且与以A（2，1)，B(0，eq\r（3）)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________．答案（－∞，－eq\r（3）]∪［1，＋∞)解析如图，∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1,kBP＝eq\f（\r（3)－0,0－1）＝－eq\r(3），∴k∈（－∞，－eq\r（3）］∪[1，＋∞)．若将题中P（1,0)改为P（－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解∵P（－1,0），A（2,1),B（0，eq\r（3)），∴kAP＝eq\f（1－0,2－－1)＝eq\f（1，3),kBP＝eq\f（\r(3)－0,0－－1）＝eq\r(3).如图可知,直线l斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（\f(1，3),\r（3))).若将题中条件改为“经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B（2,1)的线段总有公共点",求直线l的倾斜角α的范围．解如图所示，kPA＝eq\f（－2－－1,1－0)＝－1,kPB＝eq\f（1－－1，2－0）＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0,\f(π，4)））∪eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4），π)).触类旁通直线的斜率与倾斜角的区别与联系【变式训练1】(1)[2018·重庆巴蜀中学诊断]直线x＋（a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(）A.eq\b\lc\[\rc\]（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4））） B.eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（0，\f（π，4））)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（π，2），π）) D.eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π，4)，\f(π，2））)∪eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π，4），π））答案B解析依题意，直线的斜率k＝－eq\f（1，a2＋1）∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π，4），π))。(2）若经过两点A(4，2y＋1),B（2,－3）的直线的倾斜角为eq\f(3π,4),则y等于(）A．－1B．－3C．0D．2答案B解析由k＝eq\f（－3－2y－1,2－4)＝taneq\f（3π,4)＝－1，得－4－2y＝2，所以y＝－3。考向求直线的方程例2根据所给条件求直线的方程：（1）直线过点（－4，0)，倾斜角的正弦值为eq\f(\r(10），10）；(2）直线过点（－3，4）,且在两坐标轴上的截距之和为12;（3）与直线3x－4y－5＝0关于y轴对称．解(1）由题设知该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α,则sinα＝eq\f（\r(10)，10）(0<α〈π），从而cosα＝±eq\f(3\r(10）,10)，则k＝tanα＝±eq\f（1,3),故所求直线方程为y＝±eq\f（1，3）（x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0。(2）由题设知截距不为0，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f（y，12－a）＝1，又直线过点(－3，4），从而eq\f（－3,a）＋eq\f（4,12－a)＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.（3)直线3x－4y－5＝0与y轴的交点为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（5，4))），所求直线过Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,－\f(5，4)）)，且斜率k＝－eq\f(3,4），所求直线方程为y＝－eq\f（3，4)x－eq\f（5,4),即3x＋4y＋5＝0.触类旁通求直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．（2)待定系数法，即设定含有参数的直线方程，由条件列出方程(组），再求出参数，最后将其代入直线方程．【变式训练2】已知△ABC的三个顶点分别为A(－3,0）,B（2，1），C(－2，3），求：(1)BC边所在直线的方程；(2）BC边上中线AD所在直线的方程；（3）BC边的垂直平分线DE的方程．解(1）因为直线BC经过B(2,1)和C（－2,3）两点，由两点式得BC的方程为eq\f(y－1,3－1)＝eq\f（x－2，－2－2)，即x＋2y－4＝0。（2）设BC边的中点D的坐标为（x，y),则x＝eq\f（2－2,2)＝0,y＝eq\f(1＋3,2)＝2。BC边的中线AD过点A(－3，0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为eq\f(x,－3）＋eq\f（y,2）＝1，即2x－3y＋6＝0.(3）由（1）知直线BC的斜率k1＝－eq\f（1，2），则直线BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2。由（2）知点D的坐标为（0，2)．可求出直线的点斜式方程为y－2＝2（x－0）,即2x－y＋2＝0.考向直线方程的应用例3[2018·无锡检测]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）．(1）证明：直线l过定点;（2）若直线l不经过第四象限,求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．解(1）证明：直线l的方程可化为y＝k（x＋2)＋1，故无论k取何值，直线l总过定点（－2，1)．（2)直线l的方程为y＝kx＋2k＋1，则直线l在y轴上的截距为2k＋1，要使直线l不经过第四象限，则eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(k≥0，，1＋2k≥0，））解得k的取值范围是［0，＋∞)．(3)依题意，直线l在x轴上的截距为－eq\f（1＋2k,k），在y轴上的截距为1＋2k,∴Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1＋2k,k）,0))，B（0,1＋2k）．又－eq\f(1＋2k，k）〈0且1＋2k〉0，∴k〉0。故S＝eq\f(1，2)|OA｜|OB|＝eq\f（1,2）×eq\f（1＋2k，k)×（1＋2k）＝eq\f(1,2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(4k＋\f（1，k）＋4)）≥eq\f(1,2)（4＋4）＝4，当且仅当4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f（1,2）时，取等号．故S的最小值为4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0。触类旁通直线方程综合问题的两大类型及解法（1)与函数相结合的问题：解决这类问题,一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、基本不等式等)来解决．【变式训练3】已知直线l过点M（1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点,O为坐标原点．求：（1）当｜OA|＋｜OB｜取得最小值时，直线l的方程；(2）当|MA|2＋｜MB|2取得最小值时，直线l的方程．解(1)设A（a,0），B(0，b）(a>0,b>0)．设直线l的方程为eq\f（x,a)＋eq\f（y,b)＝1，则eq\f(1，a)＋eq\f(1,b）＝1，所以｜OA｜＋|OB｜＝a＋b＝(a＋b）eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，a）＋\f（1，b))）＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b，a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当“a＝b＝2"时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(2)设直线l的斜率为k，则k<0，直线l的方程为y－1＝k（x－1），则Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1－\f（1,k),0）)，B(0,1－k)，所以｜MA｜2＋|MB|2＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(1－1＋\f(1，k))）2＋12＋12＋(1－1＋k）2＝2＋k2＋eq\f(1，k2）≥2＋2eq\r(k2·\f（1，k2)）＝4。当且仅当k2＝eq\f(1，k2)，即k＝－1时取等号，此时直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.核心规律1.明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x、y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2。求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法．满分策略1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率．2.根据斜率求倾斜角,一是要注意倾斜角的范围;二是要考虑正切函数的单调性．3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点.板块三启智培优·破译高考易错警示系列12—-都是漏掉“过原点”情况惹的祸［2018·济南检测]求经过点P(2，3)，并且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．错因分析利用截距式方程求解时，忘记过原点的情况,而漏掉直线方程3x－2y＝0.解解法一:（1）当截距为0时，直线l过点(0,0），（2,3），则直线l的斜率为k＝eq\f（3－0,2－0）＝eq\f（3,2），因此，直线l的方程为y＝eq\f(3，2）x，即3x－2y＝0.（2）当截距不为0时，可设直线l的方程为eq\f(x，a)＋eq\f(y，a）＝1.∵直线l过点P(2,3），∴eq\f（2,a）＋eq\f（3,a)＝1，∴a＝5，∴直线l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0。解法二：由题意可知所求直线斜率存在,则可设y－3＝k(x－2)，且k≠0。令x＝0,得y＝－2k＋3.令y＝0，得x＝－eq\f（3,k)＋2。于是－2k＋3＝－eq\f(3，k）＋2，解得k＝eq\f(3，2）或－1.则直线l的方程为y－3＝eq\f(3，2)(x－2)或y－3＝－（x－2)，即直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0。答题启示在选用直线方程时，常易忽视的情况有:1选用截距式方程时忽视与坐标轴垂直和过原点的直线；2选用点斜式与斜截式时忽视斜率不存在的情况；3选用两点式方程时忽视与x轴垂直的情况及与y轴垂直的情况.跟踪训练过点（5，2），且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线方程是()A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0答案D解析当直线经过坐标原点时，直线方程为y＝eq\f（2,5)x,即2x－5y＝0；当直线不经过坐标原点时，设直线方程为eq\f(x,2b）＋eq\f(y，b)＝1,则eq\f(5，2b）＋eq\f(2，b)＝1,解得b＝eq\f(9，2)，故所求的直线方程是eq\f(x,9）＋eq\f(2y,9)＝1，即x＋2y－9＝0。板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标］1．直线x＋eq\r（3)y＋1＝0的倾斜角是(）A.eq\f（π，6)B.eq\f（π,3)C。eq\f(2π,3）D。eq\f(5π,6）答案D解析由直线的方程得直线的斜率k＝－eq\f（\r(3）,3），设倾斜角为α,则tanα＝－eq\f(\r(3），3），所以α＝eq\f(5π,6).2．[2018·沈阳模拟］直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限,则a，b，c应满足(）A．ab〉0，bc<0 B．ab〉0，bc>0C．ab〈0，bc〉0 D．ab<0，bc<0答案A解析由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq\f（a,b）x－eq\f（c，b）.易知－eq\f（a，b)<0且－eq\f(c,b）>0，故ab〉0，bc<0.3．[2018·邯郸模拟]过点（2,1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小eq\f（π,4)的直线方程是()A．x＝2B．y＝1C．x＝1D．y＝2答案A解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为eq\f(3π，4）。依题意,所求直线的倾斜角为eq\f(3π,4)－eq\f（π,4)＝eq\f（π，2）,斜率不存在，∴过点(2，1)的直线方程为x＝2。4．已知三点A（2,－3)，B（4,3)，Ceq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(5，\f（k，2)））在同一条直线上，则k的值为（)A．12B．9C．－12D．9或12答案A解析由kAB＝kAC，得eq\f(3－－3,4－2）＝eq\f(\f(k，2)－－3,5－2），解得k＝12.故选A.5．［2018·荆州模拟]两直线eq\f（x,m)－eq\f（y，n）＝a与eq\f（x,n)－eq\f(y,m)＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是（)答案B解析直线方程eq\f（x，m）－eq\f（y，n)＝a可化为y＝eq\f(n,m）x－na,直线eq\f（x，n）－eq\f(y，m）＝a可化为y＝eq\f(m,n)x－ma,由此可知两条直线的斜率同号．故选B.6．[2018·安徽模拟]直线l：xsin30°＋ycos150°＋1＝0的斜率是(）A。eq\f（\r(3),3)B。eq\r(3)C．－eq\r（3）D．－eq\f(\r(3）,3）答案A解析设直线l的斜率为k，则k＝－eq\f(sin30°,cos150°)＝eq\f（\r(3),3）。7．直线xcosα＋eq\r(3）y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f（π，6）))∪eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6），π)）解析设直线的倾斜角为θ，依题意知，θ≠eq\f（π,2)，k＝－eq\f（\r(3）,3）cosα,∵cosα∈［－1,1］,∴k∈eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f（\r(3),3),\f（\r（3），3）))，即tanθ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3),\f（\r(3）,3）)）.又θ∈［0，π）,∴θ∈eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1（0,\f(π,6)））∪eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(5π，6)，π))8．已知实数x，y满足方程x＋2y＝6,当1≤x≤3时，eq\f（y－1,x－2)的取值范围为________．答案eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3，2））)∪eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，＋∞)）解析eq\f（y－1,x－2)的几何意义是过M(x，y）,N（2，1)两点的直线的斜率，因为点M在x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，所以可设该线段为AB，且Aeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,2)）)，Beq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(3，\f(3，2）))，由于kNA＝－eq\f（3，2)，kNB＝eq\f（1，2），所以eq\f（y－1，x－2)的取值范围是eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞,－\f（3,2））)∪eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2)，＋∞))。9．过点M(－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．答案y＝－eq\f(5，3）x或x－y＋8＝0解析(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq\f(5，3)x；（2）当直线不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点（－3，5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0。10．［2018·衡阳模拟]一条直线经过点A(2,－eq\r(3))，并且它的倾斜角等于直线y＝eq\f(1,\r(3))x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．答案eq\r（3）x－y－3eq\r(3）＝0解析解法一：∵直线y＝eq\f(1,\r（3））x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k＝tan60°＝eq\r(3).又该直线过点A(2，－eq\r(3)），故所求直线为y－（－eq\r（3）)＝eq\r（3）(x－2），即eq\r（3)x－y－3eq\r(3)＝0.解法二：设直线y＝eq\f(1，\r（3)）x的倾斜角为α,则所求直线的倾斜角θ＝2α.tanθ＝tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(\f(2,\r（3）),1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3)）))2)＝eq\r（3）.所求直线为eq\r（3）x－y－3eq\r（3)＝0.[B级知能提升］1．［2018·海南模拟］直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（）A。eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(π，4)，\f(π,2))) B.eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,4）))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,2))）∪eq\b\lc\[\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3π，4）,π）) D。eq\b\lc\[\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（π，4)))∪eq\b\lc\（\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(π,2），\f（3π,4）))答案C解析直线的斜率k＝－（1－a2）＝a2－1,∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1。由倾斜角和斜率的关系(如图所示）,该直线倾斜角的取值范围为eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，2）))∪eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，4），π）)。2．已知点A（－1,0）,B(cosα，sinα)，且｜AB|＝eq\r（3)，则直线AB的方程为（)A．y＝eq\r（3)x＋eq\r（3）或y＝－eq\r(3）x－eq\r(3）B．y＝eq\f（\r(3),3)x＋eq\f(\r(3）,3）或y＝－eq\f（\r(3)，3）x－eq\f（\r（3)，3）C．y＝x＋1或y＝－x－1D．y＝eq\r(2)x＋eq\r(2）或y＝－eq\r（2)x－eq\r（2）答案B解析由｜AB|＝eq\r（cosα＋12＋sin2α)＝eq\r（2＋2cosα)＝eq\r（3),得cosα＝eq\f(1，2），所以sinα＝±eq\f（\r（3)，2),所以直线AB的斜率kAB＝eq\f(sinα－0,cosα＋1）＝eq\f(\f（\r(3)，2），\f(1,2）＋1）＝eq\f（\r（3)，3）或kAB＝eq\f(sinα－0,cosα＋1）＝eq\f（－\f（\r(3），2),\f(1，2）＋1)＝－eq\f（\r（3），3），所以直线AB的方程为y＝±eq\f(\r（3），3)(x＋1)，即直线AB的方程为y＝eq\f（\r（3）,3）x＋eq\f（\r（3），3）或y＝－eq\f(\r（3），3）x－eq\f(\r(3），3）.选B。3．［2018·宁夏调研]若ab>0，且A（a，0）,B（0，b)，C（－2，－2)三点共线,则ab的最小值为________．答案16解析根据A（a,0）,B（0，b）确定直线的方程为eq\f(x,a)＋eq\f（y,b)＝1,又C(－2，－2）在该直线上，故eq\f（－2，a）＋eq\f（－2,b）＝1，所以－2（a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0。根据基本不等式ab＝－2（a＋b）≥4eq\r(ab)，从而eq\r（ab)≤0（舍去）或eq\r(ab）≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.4．在△ABC中，已知A（1,1)，AC边上的高线所在直线方程为x－2y＝0,AB边上的高线所在直线方程为3x＋2y－3＝0。求BC边所在直线方程．解kAC＝－2，kAB＝eq\f(2，3)。∴AC：y－1＝－2(x－1）,即2x＋y－3＝0，AB：y－1＝eq\f（2，3）（x－1）,即2x－3y＋1＝0。由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，，3x＋2y－3＝0,))得C（3，－3）．由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－3y＋1＝0，,x－2y＝0，）)得B（－2，－1)．∴BC:2x＋5y＋9＝0。5．过点P（2，1）作直线l,与x轴和y轴的正半轴分别交于A,B两点，求：（1）△AOB面积的最小值及此时直线l的方程；(2）求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程;（3)求|PA｜·｜PB|的最小值及此直线l的方程．解（1）解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得Aeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2k－1，k），0）)，B(0，1－2k）．∵与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（2k－1,k)>0，,1－2k〉0))⇒k<0.于是S△AOB＝eq\f（1，2）·｜OA｜·｜OB｜＝eq\f(1,2)·eq\f（2k－1，k)·(1－2k）＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（4－\f(1,k)－4k))≥eq\f（1，2)eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（4＋2\r(\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1，k)）)·－4k）)）＝4。当且仅当－eq\f（1,k)＝－4k，即k＝－eq\f(1,2）时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－eq\f(1，2)(x－2），即x＋2y－4＝0.解法二：设所求直线l的方程为eq\f(x,a）＋eq\f（y，b)＝1(a〉0，b〉0)，则eq\f（2，a）＋eq\f（1,b)＝1。又∵eq\f(2,a）＋eq\f