2019版数学（理）高分计划一轮高分讲义：第8章　平面解析几何 8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精8．4直线与圆、圆与圆的位置关系[知识梳理］1．直线与圆的位置关系设直线l:Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a）2＋(y－b)2＝r2（r〉0)，d为圆心(a,b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d〈rΔ>0相切d＝rΔ＝0相离d>rΔ〈02．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋（y－b1)2＝req\o\al(2，1)（r1>0），圆O2∶(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al（2，2)（r2〉0）．方法位置关系几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1＋r2无解外切d＝r1＋r2一组实数解相交|r1－r2|<d〈r1＋r2两组不同的实数解内切d＝｜r1－r2｜(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)无解3．必记结论当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离），弦长的一半及半径构成一个直角三角形．（1）两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2）y＋（F1－F2)＝0.(2）两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ（Ax＋By＋C）＝0(λ∈R)；②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程:x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1)（其中不含圆C2，因此注意检验C2是否满足题意,以防丢解)．(3）弦长公式｜AB|＝eq\r（1＋k2)｜xA－xB｜＝eq\r（1＋k2［xA＋xB2－4xAxB]）.［诊断自测]1．概念思辨（1)“k＝2”是“直线x＋y＋k＝0与圆x2＋y2＝2相切”的必要不充分条件．(（2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0）的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.（）(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．（）(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(）答案（1)×（2）√(3)×（4)√2．教材衍化(1）(必修A2P128T3）直线x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系为（）A．相切 B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心 D．相离答案B解析圆心(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝eq\f（1，\r（2)）＝eq\f(\r(2),2），而0<eq\f（\r(2),2）〈1，故选B.(2)（必修A2P133A组T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________答案2eq\r(2)解析由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，)）得x－y＋2＝0。又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为eq\f(2，\r（2)）＝eq\r（2）.由勾股定理得弦长的一半为eq\r(4－2）＝eq\r（2),所以，所求弦长为2eq\r（2）.3．小题热身（1)(2017·西安调研)若直线x－y＋1＝0与圆（x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(）A．[－3,－1］ B．［－1，3］C．[－3,1］ D．(－∞，－3]∪［1，＋∞）答案C解析由题意可得，圆的圆心为（a，0),半径为eq\r（2)，∴eq\f（｜a－0＋1｜,\r(12＋－12）)≤eq\r（2），即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.故选C。（2）（2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2（r>0）相交于A,B两点,且∠AOB＝120°(O为坐标原点），则r＝________。答案2解析如图,过O点作OD⊥AB于D点,在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，∴∠DBO＝30°,又｜OD｜＝eq\f(|3×0－4×0＋5｜,5)＝1，∴r＝2|OD|＝2.题型1直线与圆的位置关系eq\o（\s\up7（),\s\do5（典例）)(2017·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C:x2＋（y－1)2＝5的位置关系是（)A．相交B．相切C．相离D．不确定代数法，几何法．答案A解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(mx－y＋1－m＝0，，x2＋y－12＝5））消去y，整理得（1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0,则Δ＝4m4－4(1＋m2)（m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆方法技巧判断直线与圆的位置关系的常见方法1．几何法：利用d与r的关系．见典例1,典例2答案解法二．2．代数法：联立方程之后利用Δ判断．见典例2答案解法一．3．点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．冲关针对训练直线y＝－eq\f（\r（3），3）x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是（）A．(eq\r（3），2） B．(eq\r（3)，3)C。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r（3），3），\f(2\r（3)，3))） D。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f（2\r(3），3))）答案D解析当直线经过点（0,1)时,直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝eq\f（|m｜,\r(1＋\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,3）））2)）＝1,解得m＝eq\f(2\r(3),3)(切点在第一象限），所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1〈m〈eq\f(2\r(3),3）.故选D。题型2圆与圆的位置关系eq\o(\s\up7(）,\s\do5（典例)）（2017·合肥模拟）已知圆C1：(x－a)2＋（y＋2）2＝4与圆C2：（x＋b）2＋（y＋2）2＝1相外切，则ab的最大值为（）A.eq\f（\r(6)，2) B。eq\f（3，2)C.eq\f(9,4） D．2eq\r(3)利用两圆外切圆心距d＝r1＋r2得到a，b关系，再用基本不等式解决问题．答案C解析由圆C1与圆C2相外切，可得eq\r（a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b）2＝9，根据基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（a＋b,2)））2＝eq\f（9，4）,当且仅当a＝b时等号成立．故选C。［条件探究1]将典例中条件“外切”变为“内切”，求ab的最大值．解由圆C1与圆C2相内切，可得（a＋b)2＝1，根据基本不等式可知ab≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)）)2＝eq\f(1，4)，所以ab的最大值为eq\f(1，4)。［条件探究2]将典例中条件“外切"变为“若两圆有四条公切线”，试判断直线x＋y－1＝0与圆(x－a）2＋（y－b）2＝1的位置关系．解由两圆存在四条公切线,故两圆外离，eq\r（a＋b2＋－2＋22)〉3，所以(a＋b）2>9,即a＋b〉3或a＋b<－3.又圆心(a，b)到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f（｜a＋b－1|,\r（2））〉1，所以直线x＋y－1＝0与圆(x－a）2＋（y－b)2＝1相离．方法技巧判断圆与圆的位置关系的步骤1。确定两圆的圆心坐标和半径长;2.利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；3.比较d,r1＋r2,｜r1－r2|的大小，写出结论．冲关针对训练已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C2:x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圆C1与圆C2相外切，则实数m＝（）A．－5 B．－5或2C．－6 D．8答案B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2）2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m）2＝4，则圆C1的圆心C1（m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m），半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切,那么有｜C1C2|＝r1＋r2，即eq\r（m＋12＋m＋22）＝5,则m2＋3m－10＝0,解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．故选B.题型3直线与圆的综合问题角度1直线与圆的相切问题eq\o(\s\up7（),\s\do5(典例））(2014·江西高考)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为()A。eq\f(4π,5） B。eq\f（3π,4）C．(6－2eq\r（5))π D。eq\f(5π,4)设AB的中点为C，C为圆心,D为切点,|OC|＝|CD｜＝r，要使r最小，则需2r＝｜OC｜＋|CD|最小．答案A解析由题意得以AB为直径的圆C过原点O，圆心C为AB的中点，设D为切点，要使圆C的面积最小，只需圆的半径最短，也只需OC＋CD最小，其最小值为OE（过原点O作直线2x＋y－4＝0的垂线，垂足为E)的长度．由点到直线的距离公式，得OE＝eq\f(4，\r（5)）.∴圆C面积的最小值为πeq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2，\r(5)))）2＝eq\f(4π，5）.故选A.角度2与圆有关的弦长问题eq\o（\s\up7（),\s\do5(典例））(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－eq\r（3)＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB｜＝2eq\r（3），则|CD｜＝________.答案4解析由题意可知直线l过定点（－3,eq\r(3）)，该定点在圆x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3，eq\r（3）)，由于｜AB｜＝2eq\r（3）,r＝2eq\r（3），所以圆心到直线AB的距离为d＝eq\r(2\r（3）2－\r（3)2）＝3,又由点到直线的距离公式可得d＝eq\f(|3m－\r（3)|,\r(m2＋1）），所以eq\f(｜3m－\r（3)|，\r(m2＋1））＝3，解得m＝－eq\f(\r（3），3）,所以直线l的斜率k＝－m＝eq\f（\r（3），3),即直线l的倾斜角为30°。如图，过点C作CH⊥BD，垂足为H，所以｜CH|＝2eq\r(3），在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以｜CD|＝eq\f（2\r(3）,cos30°)＝4。角度3直线与圆位置关系的最值（或范围)问题eq\o（\s\up7(）,\s\do5(典例))（2017·河北石家庄一模)若a，b是正数，直线2ax＋by－2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2eq\r（3），则t＝aeq\r(1＋2b2）取得最大值时a的值为（)A。eq\f(1,2）B.eq\f(\r（3）,2）C。eq\f(\r（3），4)D。eq\f（3,4)答案D解析由已知可得圆心到直线2ax＋by－2＝0的距离d＝eq\f(2,\r（4a2＋b2))，则直线被圆截得的弦长为2eq\r(4－\f（4，4a2＋b2))＝2eq\r（3)，化简得4a2＋b2＝4。∴t＝aeq\r（1＋2b2)＝eq\f（1,2\r（2)）·（2eq\r(2)a）·eq\r(1＋2b2)≤eq\f(1，4\r（2））[（2eq\r(2）a)2＋(eq\r(1＋2b2））2］＝eq\f（1，4\r（2))(8a2＋2b2＋1）＝eq\f（9,4\r(2）)，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（8a2＝1＋2b2，，4a2＋b2＝4))时等号成立，即t取最大值，此时a＝eq\f（3，4）(舍负)．故选D。方法技巧直线与圆综合问题的求法1．圆与直线l相切的情形：圆心到l的距离等于半径,圆心到切点的连线垂直于l。见角度1典例．2．圆与直线l相交的情形（1）圆心到l的距离小于半径,过圆心而垂直于l的直线平分l被圆截得的弦．见角度2典例．（2）连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦．见角度3典例．（3)过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径．冲关针对训练（2018·甘肃兰州双基测试）已知AC，BD为圆O:x2＋y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，eq\r（2）)，则四边形ABCD的面积的最大值为()A．5B．10C．15D．20答案A解析由题意知圆心为O（0,0）,半径为2。设圆心O到AC、BD的距离分别为d1，d2,作OE⊥AC，OF⊥BD，垂足分别为E，F，则四边形OEMF为矩形,连接OM，则有deq\o\al（2，1）＋deq\o\al(2,2)＝OM2＝3。由平面几何知识知|AC｜＝2eq\r(4－d\o\al（2，1)),|BD｜＝2eq\r(4－d\o\al（2,2））,∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)｜AC|·|BD｜＝2eq\r(4－d\o\al（2,1））·eq\r(4－d\o\al(2,2))≤(4－deq\o\al（2,1)）＋（4－deq\o\al（2，2））＝8－(deq\o\al（2，1)＋deq\o\al（2,2））＝5，即四边形ABCD的面积的最大值为5。故选A.1.（2017·全国卷Ⅱ）若双曲线C：eq\f（x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b〉0）的一条渐近线被圆(x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A．2 B。eq\r(3)C。eq\r（2） D.eq\f(2\r（3)，3）答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f（b，a）x，圆的圆心为（2,0)，半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为eq\r(22－12)＝eq\r（3)。根据点到直线的距离公式得eq\f（｜2b|,\r（a2＋b2)）＝eq\r(3）,解得b2＝3a2所以C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r（\f（c2，a2））＝eq\r（1＋\f(b2，a2))＝2.故选A。2．（2018·安徽芜湖六校联考）在平面直角坐标系xOy中,点A（0，3),直线l:y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M,使|MA｜＝2|MO｜,则圆心C的横坐标a的取值范围是（)A.eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(0,\f(12,5）)) B．［0,1]C。eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(1,\f（12，5))） D。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0,\f(12,5）))答案A解析因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为（x－a)2＋［y－2(a－2)]2＝1.设点M（x，y），因为|MA|＝2|MO｜，所以eq\r（x2＋y－32）＝2eq\r(x2＋y2),化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋（y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M（x，y）在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r（a2＋2a－32)≤3.由eq\r(a2＋2a－32）≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由eq\r(a2＋2a－32）≤3得5a2－12a≤0,解得0≤a≤eq\f（12,5)。所以点C的横坐标a的取值范围为eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(0，\f（12,5))).故选A.3．（2015·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________答案（x－1）2＋y2＝2解析由mx－y－2m－1＝0可得m(x－2)＝y＋1，易知该直线过定点(2，－1),从而点（1,0）与直线mx－y－2m－1＝0的距离的最大值为eq\r(2－12＋－1－02）＝eq\r（2），故所求圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.4．(2017·广东五校协作体一模）两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线,若a∈R，b∈R且ab≠0,则eq\f(1，a2）＋eq\f（1，b2）的最小值为________．答案1解析将x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0化为标准方程得(x＋a）2＋y2＝4,x2＋(y－2b)2＝1，依题意得两圆相外切，故eq\r（a2＋4b2)＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以eq\f（1，a2)＋eq\f（1，b2）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a2,9）＋\f（4b2，9）)）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a2）＋\f(1，b2)）)＝eq\f(1,9）＋eq\f（a2，9b2)＋eq\f（4b2，9a2）＋eq\f（4,9）≥eq\f(5,9）＋2eq\r(\f（a2，9b2)×\f（4b2，9a2)）＝1，当且仅当eq\f(a2,9b2)＝eq\f(4b2，9a2)，即a2＝2b2时等号成立,故eq\f（1，a2)＋eq\f（1，b2）的最小值为1.[重点保分两级优选练]一、选择题1．（2018·福建漳州八校联考)已知点P(a，b）(ab≠0）是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线,直线l的方程为ax＋by＝r2，那么()A．m∥l,且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切C．m∥l,且l与圆相离 D．m⊥l,且l与圆相离答案C解析∵点P（a，b)（ab≠0）在圆内,∴a2＋b2<r2.因圆x2＋y2＝r2的圆心为O(0,0)，故由题意得OP⊥m，又kOP＝eq\f(b,a)，∴km＝－eq\f（a，b)，∵直线l的斜率为kl＝－eq\f（a，b）＝km，圆心O到直线l的距离d＝eq\f（r2,\r（a2＋b2）)〉eq\f(r2，r)＝r，∴m∥l，l与圆相离．故选C.2．（2017·河北衡水中学调研)已知向量a＝(2cosα,2sinα），b＝（3cosβ，3sinβ)，若a与b的夹角为120°,则直线6xcosα－6ysinα＋1＝0与圆（x－cosβ)2＋（y＋sinβ）2＝1的位置关系是（)A．相交且不过圆心 B．相交且过圆心C．相切 D．相离答案A解析由题意可得a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝|a｜·｜b|cos120°＝2×3×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2））)＝－3,所以圆心(cosβ，－sinβ)到直线6xcosα－6ysinα＋1＝0的距离d＝eq\f（｜6cosαcosβ＋6sinαsinβ＋1|,6）＝eq\f（|－3＋1|，6)＝eq\f（1，3）<1,故直线与圆的位置关系是相交且不过圆心,故选A。3．（2015·重庆高考）已知直线l：x＋ay－1＝0（a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4,a)作圆C的一条切线，切点为B，则｜AB｜＝(）A．2 B．4eq\r（2)C．6 D．2eq\r（10)答案C解析圆C的标准方程为(x－2)2＋（y－1)2＝22，圆心为C(2,1)，半径r＝2,由直线l是圆C的对称轴，知直线l过圆心C，所以2＋a×1－1＝0，a＝－1，所以A(－4,－1),于是|AC｜2＝40,所以|AB|＝eq\r（|AC|2－22)＝eq\r（40－4）＝6.故选C.4．(2017·湖南三模)直线l:x＋4y＝2与圆C：x2＋y2＝1交于A,B两点，O为坐标原点，若直线OA，OB的倾斜角分别为α、β，则cosα＋cosβ＝(）A.eq\f(18,17) B．－eq\f(12，17)C．－eq\f(4,17) D.eq\f（4,17）答案D解析设A(x1,y1）,B(x2，y2)，由三角函数的定义得cosα＋cosβ＝x1＋x2，由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4y＝2，，x2＋y2＝1，))消去y，得17x2－4x－12＝0，则x1＋x2＝eq\f(4，17),即cosα＋cosβ＝eq\f(4,17)。故选D。5．(2017·湖北模拟）已知圆O：x2＋y2＝4，点P为直线x＋2y－9＝0上一动点，过点P向圆O引两条切线PA，PB,A，B为切点，则直线AB经过定点（)A.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（4，9），\f(8,9))) B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2，9），\f（4,9)））C．(2，0） D．(9,0)答案A解析因为P是直线x＋2y－9＝0上的动点，所以设P(9－2m，m)因为圆x2＋y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，则点A,B在以OP为直径的圆上，设其圆心为C，即AB是圆O和圆C的公共弦，则圆心C的坐标是eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（9－2m，2），\f（m，2)）），且半径的平方是r2＝eq\f(9－2m2＋m2,4），所以圆C的方程是eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(x－\f(9－2m,2)))2＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（y－\f（m，2）））2＝eq\f（9－2m2＋m2，4），①又x2＋y2＝4，②②－①得，（2m－9）x－my＋4＝0，即公共弦AB所在的直线方程是（2m－9）x－my＋4＝0，即m（2x－y）＋（－9x＋4)＝由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－y＝0，，－9x＋4＝0，))得x＝eq\f(4，9)，y＝eq\f（8,9)，所以直线AB恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（4，9），\f(8,9）))，故选A。6．过点（－4，0）作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，若｜AB｜＝8，则直线l的方程为（）A．5x＋12y＋20＝0B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0C．5x－12y＋20＝0D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0答案B解析圆的标准方程为(x＋1）2＋（y－2)2＝25,由｜AB|＝8知，圆心(－1,2)到直线l的距离d＝3。当直线l的斜率不存在，即直线l的方程为x＝－4时,符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋4),即kx－y＋4k＝0。则有eq\f（|3k－2|,\r(k2＋1））＝3，∴k＝－eq\f（5，12)。此时直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.故选B。7．(2018·湖南四地联考）若圆C:x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，过点（a，b）作圆的切线，则切线长的最小值是（）A．2 B．3C．4 D．6答案C解析圆C的标准方程为(x＋1）2＋(y－2)2＝2，所以圆心为(－1，2),半径为eq\r（2)。因为圆C关于直线2ax＋by＋6＝0对称，所以圆心C在直线2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0,即b＝a－3,所以点(a，b)到圆心的距离d＝eq\r（a＋12＋b－22）＝eq\r(a＋12＋a－3－22)＝eq\r（2a2－8a＋26）＝eq\r(2a－22＋18）.所以当a＝2时，d取最小值eq\r(18)＝3eq\r（2），此时切线长最小，为eq\r（3\r（2）2－\r(2）2)＝eq\r（16)＝4，故选C。8．（2017·安宁模拟）已知a,b是实数，若圆（x－1)2＋(y－1)2＝1与直线（a＋1)x＋（b＋1）y－2＝0相切，则a＋b的取值范围是()A．［2－2eq\r（2)，2＋eq\r（2)］B．(－∞，2－2eq\r(2）]∪[2＋2eq\r(2）,＋∞)C．（－∞，－2eq\r（2）］∪[2eq\r(2），＋∞)D．(－∞，－2］∪[2＋2eq\r（2）,＋∞)答案B解析∵圆(x－1）2＋(y－1）2＝1与直线(a＋1)x＋（b＋1)y－2＝0相切，∴圆心到直线的距离d＝eq\f（｜a＋b｜,\r（a＋12＋b＋12))＝1，即ab＝a＋b＋1，∴a＋b＋1≤eq\f(a＋b2，4)，∴a＋b≤2－2eq\r(2)或a＋b≥2＋2eq\r(2),故选B.9．（2017·定州市校级期末)曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线y＝k(x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是（)A。eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5，12），＋∞）) B。eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（1,3）,\f（3,4））)C。eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(5，12）)） D。eq\b\lc\(\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f（5,12），\f(3，4)）)答案D解析根据题意画出图形，如图所示．由题意可得,直线l过A（2,4），B(－2,1）,又曲线y＝1＋eq\r（4－x2）图象为以（0,1）为圆心，2为半径的半圆,当直线l与半圆相切,C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即eq\f(|3－2k|，\r(k2＋1）)＝2，解得k＝eq\f（5，12);当直线l过B点时，直线l的斜率为eq\f(4－1，2－－2)＝eq\f(3,4)，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5，12)，\f(3，4)））.故选D.10．（2017·晋中模拟）若圆C1：（x－m）2＋(y－2n）2＝m2＋4n2＋10(mn>0）始终平分圆C2：（x＋1）2＋(y＋1)2＝2的周长,则eq\f(1，m)＋eq\f（2，n）的最小值为(）A.eq\f(9,2) B．9C．6 D．3答案D解析把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l方程为(m＋1）x＋(2n＋1）y＋5＝0,由题意知直线l经过圆C2的圆心(－1，－1)，因而m＋2n＝3.∴eq\f(1，m）＋eq\f(2，n）＝eq\f(1，3）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,m)＋\f(2，n)))(m＋2n）＝eq\f（1,3)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(5＋\f(2n，m)＋\f(2m,n)))≥eq\f(1，3)(5＋4）＝3,m＝n时取等号．∴eq\f(1，m）＋eq\f(2,n)的最小值为3，故选D.二、填空题11．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切,则实数λ的值为________．答案－3或7解析由题意可知，将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位长度后，所得直线l的方程为2（x＋1）－y＋λ＝0.由已知条件知圆的圆心为O（－1，2),半径为eq\r（5）。解法一:直线l与圆相切，则圆心到直线l的距离等于圆的半径，即eq\f（｜2×－1＋1－2＋λ|，\r(5)）＝eq\r(5)，解得λ＝－3或λ＝7.解法二：设直线l与圆相切的切点为C(x，y），由直线与圆相切，可知CO⊥l,所以eq\f(y－2，x＋1)×2＝－1。又C(x，y）在圆上,满足方程x2＋y2＋2x－4y＝0，解得切点坐标为（1，1)或（－3,3）．又C(x,y)在直线2(x＋1)－y＋λ＝0上,则λ＝－3或λ＝7.12．过点（eq\r（2）,0)引直线l与曲线y＝eq\r(1－x2）相交于A，B两点,O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于________．答案－eq\f（\r（3),3）解析曲线y＝eq\r(1－x2）的图象如图所示．若直线l与曲线相交于A,B两点，则直线l的斜率k<0，设l：y＝k(x－eq\r（2）），则点O到l的距离d＝eq\f（－\r（2)k,\r(k2＋1）)，又S△AOB＝eq\f（1,2）｜AB|·d＝eq\f(1，2）×2eq\r（1－d2)·d＝eq\r(1－d2·d2）≤eq\f(1－d2＋d2，2)＝eq\f(1，2），当且仅当1－d2＝d2,即d2＝eq\f(1,2)时，S△AOB取得最大值．所以eq\f（2k2，k2＋1）＝eq\f(1,2）。∴k2＝eq\f(1,3），∴k＝－eq\f(\r（3)，3)。13．(2017·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中,A(－12，0)，B（0,6），点P在圆O：x2＋y2＝50上．若eq\o(PA，\s\up6(→））·eq\o（PB,\s\up6(→))≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．答案[－5eq\r(2）,1］解析设P（x，y），则eq\o(PA,\s\up6（→)）＝（－12－x,－y)，eq\o(PB，\s\up6(→））＝（－x，6－y)．∵eq\o(PA,\s\up6（→））·eq\o(PB,\s\up6（→)）≤20，∴(－12－x）·(－x)＋(－y)·（6－y）≤20，整理得：x2＋y2＋12x－6y－20≤0，即(x＋6）2＋(y－3)2≤65。∴点P在以（－6,3）为圆心,eq\r(65)为半径的圆面上(包括边界),又∵点P在圆O：x2＋y2＝50上，∴点P的横坐标的取值范围为[－5eq\r(2），5eq\r（2)]．当x＝－5eq\r（2)时，y＝0满足（x＋6）2＋(y－3）2≤65,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＋12x－6y－20＝0①,，x2＋y2＝50②，))得：2x－y＋5＝0。代入②得x2＋4x－5＝0，x1＝－5,x2＝1，∴点P的横坐标的取值范围为［－5eq\r(2），1]．14．已知圆C1：（x－2cosθ）2＋(y－2sinθ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，给出下列说法：①对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切；②对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线；③当θ＝eq\f（π,6)时，圆C1被直线l：eq\r(3）x－y－1＝0截得的弦长为eq\r（3);④若P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ|的最大值为4。其中正确说法的序号为________．（填上所有正确说法的序号)答案①③④解析对于①，我们知道两个圆相切等价于两个圆的圆心距刚好等于两个圆的半径之和(此时两圆半径相等，排除内切的可能)，由题意知圆C1的半径为1,圆心为（2cosθ,2sinθ)，圆C2的半径为1，圆心为(0，0)，所以两个圆的圆心距为eq\r（2cosθ－02＋2sinθ－02)＝eq\r(4cos2θ＋4sin2θ)＝2，又两圆的半径之和为1＋1＝2，所以对于任意的θ，圆C1和圆C2始终相切，所以①正确；对于②,由①知两圆相切，所以两圆只有三条公切线，所以②错误；对于③，当θ＝eq\f（π,6）时，圆C1的方程为（x－eq\r(3）)2＋(y－1）2＝1，则圆C1的圆心为(eq\r(3)，1），设其被直线l所截弦为CD，易知圆心到直线l的距离为eq\f(｜\r(3)×\r(3)－1－1|,\r(\r(3)2＋－12))＝eq\f(1，2)，又圆C1的半径为1，所以弦CD的长为2eq\r(12－\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）)）2）＝eq\r(3)，所以③正确；对于④，由①知两圆相切（外切)，所以两圆上点的最大距离就是两圆的直径之和,又圆C1的直径为2，圆C2的直径也为2，所以|PQ｜的最大值为2＋2＝4,所以④正确．三、解答题15．（2017·湖南东部六校联考）已知直线l：4x＋3y＋10＝0,半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．（1)求圆C的方程;(2）过点M(1，0）的直线与圆C交于A,B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解（1)设圆心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(a>－\f（5，2）)),则eq\f（|4a＋10｜,5)＝2⇒a＝0或a＝－5(舍）．所以圆C的方程为x2＋y2＝4.(2）当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB。当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N（t，0），A(x1，y1),