六年级小升初数学行程问题

南南南六年级（小升初）总复习行程问题行程问题常用的解题方法有⑴公式法S=V*T⑵图示法⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法⑸方程法模块一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4:3，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、B两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为4:3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了3个全程，三个全程中甲走了4315个全程，与第一次相遇地点的距 7 7离为5(14)2个全程．所以A、B两地相距302105(千米)． 7 7 7 7【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下： A 10分钟 10分钟B C10分钟因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信 A 10分钟 10分钟B C55分钟10分钟5分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例3】(“圆明杯”数学邀请赛)甲、乙两人同时从A、B两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D处相遇，且中点距C、D距离相等，问A、B两点相距多少米？【分析】甲、乙两人速度比为80:604:3，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的4，乙走了全程的3．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇 7 7地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的4，甲行了全程的3．由于甲、乙速度 7 7比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了33，所以74甲停留期间乙行了4331，所以A、B两点的距离为6071=1680(米)． 7744 4【例4】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是5:4，相遇后甲的速度减少20%，乙的速度增加20%．这样当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．那么A、B两地相距多少千米？【解析】两车相遇时甲走了全程的5，乙走了全程的4，之后甲的速度减少20%，乙的速度 9 9增加20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6，所以甲到达B地时，乙又走了468，距离A地581，所以A、B两地的距离为 9515 91545110450(千米)．45【例5】早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午1点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午2点时两人之间的距离是15千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米．下午4点时小王到达乙地，晚上7点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】从题中可以看出小王的速度比小张块．下午2点时两人之间的距离是l5千米．下午3点时，两人之间的距离还是l5千米，所以下午2点时小王距小张15千米，下午3点时小王超过小张15千米，可知两人的速度差是每小时30千米．由下午3点开始计算，小王再有1小时就可走完全程，在这1小时当中，小王比小张多走30千米，那小张3小时走了153045千米，故小张的速度是45÷3=15千米/时，小王的速度是15＋30=45千米/时．全程是45×3=135千米，小张走完全程用了135＋15=9小时，所以他是上午10点出发的。【例6】从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了3小时，其中第一小时比第二小时多走15千米，第二小时比第三小时多走25千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢30千米，走下坡路比走平路每小时快15千米。那么甲乙两地相距多少千米？【解析】⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为25305小时，其余的1小时在走上 6 6坡路；因为第一小时比第二小时多走了15千米，而1小时的下坡路比上坡路要多走6301517.5千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为157.5151小时，6 2所以在第一小时中，有112小时是在下坡路上走的，剩余的1小时是在平路上走63 3【例【例南南南的．因此，陈明走下坡路用了2小时，走平路用了157小时，走上坡路用了117小366 66时．⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是2:74:7．那36么下坡路的速度为30157105千米/时，平路的速度是每小时1051590千米，74上坡路的速度是每小时903060千米．那么甲、乙两地相距1052907607245(千米)．366模块二、路程相同速度比等于时间的反比【例7】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．【分析】甲用3小时行完全程，而乙需要4小时，说明两人的速度之比为4:3，那么在3小时内的路程之比也是4:3；又两人路程之和为35千米，所以甲所走的路程为3542034千米，即A，B两地间的距离为20千米．【例8】在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇.甲、乙环行一周各需要多少分？【解析】由题意知，甲行4分相当于乙行6分.（抓住走同一段路程时间或速度的比例关系）从第一次相遇到再次相遇，两人共走一周，各行12分，而乙行12分相当于甲行8分，所以甲环行一周需12＋8＝20（分），乙需20÷4×6＝30（分）.9】上午8点整，甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地．那么，乙从B地出发时是8点几分．【解析】甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10×3=30分钟，所以前后两段路程的比为20:30=2:，3由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟，所以乙从B地出发时是8点5分．【例10】小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路．小芳上学走这两条路所用的时间一样多．已知下坡的速度是平路的1.6倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】设小芳上学路上所用时间为2，那么走一半平路所需时间是1．由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是 5 51111.6，因此，走上坡路需要的时间是 比等于所用时间的反比，为8 1:118:11，所以，上坡速度是平路速度的288，那么，上坡速度与平路速度的8倍． 8 11【例11】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达．但汽车行驶到路程的3时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车5行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？【分析】当以原速行驶到全程的3时，总时间也用了3，所以还剩下50(13)20分钟的路程； 5 5 5修理完毕时还剩下20515分钟，在剩下的这段路程上，预计时间与实际时间之比为20:154:3，根据路程一定，速度比等于时间的反比，实际的速度与预定的速度之比也为4:3，因此每分钟应比原来快7504750250米．3小结：本题也可先求出相应的路程和时间，再采用公式求出相应的速度，最后计算比原来快多少，但不如采用比例法简便．12】(2008“我爱数学夏令营”数学竞赛)一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3前进，最终到达目的地晚1.5小时．若出发1小时后又前进90公里因故停4车0.5小时，然后同样以原速的3前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为4________公里．【解析】如果火车出发1小时后不停车，然后以原速的3前进，最终到达目的地晚1.50.51小4时，在一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花14333小时，现在要花14344小时，若出发1小时后又前进90公里不停车，然后同样以原速的3前进，则到达目的地仅晚10.50.5小时，在4一小时以后的那段路程，原计划所花的时间与实际所花的时间之比为3:4，所以原计划要花0.54331.5小时，现在要花0.54342小时．所以按照原计划90公里的路程火车要用31.51.5小时，所以火车的原速度为901.560千米／小时，整个路程为6031240千米．【例13】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，于是提前1小时40分到达北京．北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的1÷10/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.5÷1/10=15(小时)；按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的1÷7/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1小时40分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶280千米后余下的时间为：5/3÷1/7=35/3(小时)，所以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84×15=1260(千米)．14】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【解析】车速提高20%，即为原速度的6/5，那么所用时间为原来的5/6，所以原定时间为51(1)6小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时速度为原速度的613/10，所用时间为原来的10/13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为 10 1 151(1)4小时．所以前面按原速度行使的时间为64小时，根据速度一定，13 3 33路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的565 3 18【例15】一辆车从甲地开往乙地．如果车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达．那么甲、乙两地相距多少千米？【分析】车速提高20%，速度比为5:6，路程一定的情况下，时间比应为6:5，所以以原速度行完全程的时间为1656小时．6以原速行驶120千米后，以后一段路程为考察对象，车速提高25%，速度比为4:5，所用时间比应为5:4，提前40分钟到达，则用原速度行驶完这一段路程需要405410小时，所以以原速行驶120千米所用的时间为6108小时，甲、乙两 60 5 3 33地的距离为12086270千米．3【例16】甲火车4分钟行进的路程等于乙火车5分钟行进的路程．乙火车上午8:00从B站开往A站，开出若干分钟后，甲火车从A站出发开往B站．上午9:00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15:16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？［分析］甲、乙火车的速度比已知，所以甲、乙火车相同时间内的行程比也已知．由此可以求得甲火车单独行驶的距离与总路程的比．根据题意可知，甲、乙两车的速度比为5:4．南南南从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5:415:12，而相遇点距A、B两站的距离的比是15:16．说明甲火车出发前乙火车所走的路程等于乙火车1个小时所走路程的1612161．也就是说乙比甲先走了一个小时的四分之一，也就是15分4钟．所以甲火车从A站发车的时间是8点15分．模块三、比例综合题【例17】小狗和小猴参加的100米预赛．结果，当小狗跑到终点时，小猴才跑到90米处，决赛时，自作聪明的小猴突然提出：小狗天生跑得快，我们站在同一起跑线上不公平，我提议把小狗的起跑线往后挪10米．小狗同意了，小猴乐滋滋的想：“这样我和小狗就同时到达终点了！”亲爱的小朋友，你说小猴会如愿以偿吗？【解析】小猴不会如愿以偿．第一次，小狗跑了100米，小猴跑了90米，所以它们的速度比为100:9010:9；那么把小狗的起跑线往后挪10米后，小狗要跑110米，当小狗跑到终点时，小猴跑了110999米，离终点还差1米，所以它还是比小狗晚到达终点．10【例18】甲、乙两人同时从A地出发到B地，经过3小时，甲先到B地，乙还需要1小时到达B地，此时甲、乙共行了35千米．求A，B两地间的距离．【解析】甲、乙两个人同时从A地到B地，所经过的路程是固定所需要的时间为：甲3个小时，乙4个小时（3+1）两个人速度比为：甲：乙=4：3当两个人在相同时间内共行35千米时，相当与甲走4份，已走3份，所以甲走：35÷（4＋3）×4=20（千米），所以，A、B两地间距离为20千米【例19】A、B、C三辆汽车以相同的速度同时从甲市开往乙市．开车后1小时A车出了事故，B和C车照常前进．A车停了半小时后以原速度的4继续前进．B、C两车行至距离5甲市200千米时B车出了事故，C车照常前进．B车停了半小时后也以原速度的4继5续前进．结果到达乙市的时间C车比B车早1小时，B车比A车早1小时，甲、乙两市的距离为千米．【分析】如果A车没有停半小时，它将比C车晚到1.5小时，因为A车后来的速度是C车的4，5即两车行5小时的路A车比C车慢1小时，所以慢1.5小时说明A车后来行了51.57.5小时．从甲市到乙市车要行17.51.57小时．同理，如果B车没有停半小时，它将比C车晚到0.5小时，说明B车后来行了50.52.5小时，这段路C车需行2.50.52小时，也就是说这段路是甲、乙两市距离的2．7故甲、乙两市距离为20012280(千米)．7【例20】甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方．此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲．甲每小时行多少米？［分析］根据题意，乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，所以甲、乙的速度之比为2:2.258:9，乙的速度是甲的速度的1.125倍；乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，所以加速后甲、乙的速度比为3:3.754:5．加速后乙的速度是甲的速度的1.25倍；由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为5001.251.1254000米/小时．【例21】甲、乙两人分别骑车从A地同时同向出发，甲骑自行车，乙骑三轮车．12分钟后丙也骑车从A地出发去追甲．丙追上甲后立即按原速沿原路返回，掉头行了3千米时又遇到乙．已知乙的速度是每小时7.5千米，丙的速度是乙的2倍．那么甲的速度是多少？3333乙甲EDCAB［分析］丙的速度为7.5215千米/小时，丙比甲、乙晚出发12分钟，相当于退后了1512360千米后与甲、乙同时出发．如图所示，相当于甲、乙从A，丙从B同时出发，丙在C处追上甲，此时乙走到D处，然后丙掉头走了3千米在E处和乙相遇．从丙返回到遇见乙，丙走了3千米，所以乙走了321.5千米，故CD为4.5千米．那么，在从出发到丙追上甲这段时间内，丙一共比乙多走了34.57.5千米，由于丙的速度是乙的速度的2倍，因此，丙追上甲时，乙走了7.5千米，丙走了15千米，恰好用1个小时；而此时甲走了7.54.512千米，因此速度为12112(千米/小时)．【例22】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？【解析】甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲恰好到半山腰，说明甲走过的路程应该是一个单程的1×1.5+1/2=2倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的2倍。两人相遇时走了1小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了1小时，所以甲下山要用1/2小时。甲一共走了1+1/2=1.5（小时）【例23】一条东西向的铁路桥上有一条小狗，站在桥中心以西5米处．一列火车以每小时84千米的速度从西边开过来，车头距西桥头三个桥长的距离．若小狗向西迎着火车跑，恰好能在火车距西桥头3米时逃离铁路桥；若小狗以同样的速度向东跑，小狗会在距东桥头0.5米处被火车追上．问铁路桥长多少米，小狗的速度为每小时多少千米？【分析】设铁路桥长为x米．在小狗向西跑的情况下：小狗跑的路程为(x5)米，火车走的路程为(3x3)米；2在小狗向东跑的情况下：小狗跑的路程为(x50.5)(x4.5)米，火车走的路程为 2 2(4x0.5)米；两种情况合起来看，在相同的时间内，小狗一共跑了(x5)(x4.5)(x0.5)米，火 2 2车一共走了(3x3)(4x0.5)(7x3.5)米；因为(7x3.5)是(x0.5)的7倍，所以火车速度是小狗速度的7倍，所以小狗的速度为84712(千米/时)；因为火车速度为小狗速度的7倍，所以(3x3)7(x5)，解此方程得：x64．2所以铁路桥全长为64米，小狗的速度为每小时12千米．【例24】如图，8点10分，有甲、乙两人以相同的速度分别从相距60米的A、B两地顺时针方向沿长方形ABCD的边走向D点，甲8点20分到D后，丙、丁两人立即以相同速度从D点出发，丙由D向A走去，8点24分与乙在E点相遇，丁由D向C走去，8点30分在F点被乙追上，则连接三角形BEF的面积为平方米．ADD F丙乙甲丙乙甲EA 【分析】如图，由题意知，丙从D到E用4分钟，丁从D到F用10分钟，乙从E经D到F用6分钟，说明甲、乙速度是丙、丁速度的41067倍．因为甲走AD用10分钟，所3以丙走AD要用10770(分钟)，走AE用70458(分钟)． 33 3 3因为乙走BAAE用14分钟，所以丙走AB用1475840(分钟)． 33 3因为AB长60米，所以丙每分钟走60409(米)．于是求出32AE95887(米)，ED9418(米)，BCAEED8718105(米)． 23 2S S S S S 601056087218452151052 BEF 矩形ABCD BAE EDF FCB63002610405787.52497.5(平方米)．【例25】如图，长方形的长AD与宽AB的比为5:3，E、F为AB边上的三等分点，某时刻，甲从A点出发沿长方形逆时针运动，与此同时，乙、丙分别从E、F出发沿长方形顺时针运动．甲、乙、丙三人的速度比为4:3:5．他们出发后12分钟，三人所在位置的点的连线第一次构成长方形中最大的三角形，那么再过多少分钟，三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？ADEF B C［分析］长方形内最大的三角形等于长方形面积的一半，这样的三角形一定有一条边与长方形的某条边重合，并且另一个点恰好在该长方形边的对边上．所以我们只要讨论三个人中有两个人在长方形的顶点上的情况．将长方形的宽3等分，长5等分后，将长方形的周长分割成16段，设甲走4段所用的时间为1个单位时间，那么一个单位时间内，乙、丙分别走3段、5段，由于4、3、5两两互质，所以在非整数单位时间的时候，甲、乙、丙三人最多也只能有1个人走了整数段．所以我们只要考虑在整数单位时间，三个人运到到顶点的情况．对于甲的运动进行讨论：时间时间(单位时间)246810121416……地点CACACACC对于乙的运动进行讨论：时间时间(单位时间)23101118192627……地点DCBADCBA对于丙的运动进行讨论：时间时间(单位时间)23101118192627……地点CBADCBAD需要检验的时间点有2、3、10、11、……2个单位时间的时候甲和丙重合无法满足条件．3个单位时间的时候甲在AD上，三人第一次构成最大三角形．所以一个单位时间相当于4分钟．10个单位时间的时候甲、乙、丙分别在C、B、A的位置第二次构成最大三角形．所以再过40分钟．三人所在位置的点的连线第二次构成最大三角形？课后作业练习1.甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的3，并且甲、乙两车第2007次相遇（这里特指面对面的相遇）的7地点与第2008次相遇的地点恰好相距120千米，那么，A、B两地之间的距离等于多少千米？【解析】甲、乙速