02数学运算-数量关系-已打印

二、数学运算（一）工程问题工程问题中涉及到工作量、工作时间和工作效率三个量：工作量（工程量）=工作效率×工作时间1、二人合作型例1：单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时【正确答案】B【思路点拨】由题意可知，此项工作若甲乙各做一小时，每两小时可完成整项工作的1/16+1/12=7/48，当工作13小时时，甲乙共做了整项工作的7/48×6+1/16=45/48，剩余部分乙再做45分钟即可完成，故选择B选项。中公名师点评对于这种轮流完成工作的工程问题，一般可以把一个循环看成一个整体，计算出每个循环所花的时间和所完成的工作量，然后计算整数个循环以后所剩下的工作量，再求出答案。例题2：有一项工作任务，小明先做4小时，小方接着做8小时可以完成，小明先做6小时，小方接着做4小时也可以完成，如果小明先做2小时后再让小方接着做，那么小方可以完成工作还需要几个小时？A.8B.10C.11D.12中公解析：此题答案为D。本题如果通过列方程组求出小明、小方的工作效率，再求解，过程会比较繁琐。可尝试找出小明和小方工作效率之间的关系，再通过换算来求解。由题干可知，小明4小时+小方8小时=小明6小时+小方4小时小方4小时=小明2小时，这就说明小明2小时的工作量相当于小方4小时的工作量。如果小明先做2个小时，相比之下小明少做了2个小时，小方就要多做4个小时，故小方还需要8+4=12小时才能完成工作。2、多人合作型例题3：（2011·国家）甲、乙、丙三个工程队的效率比为6∶5∶4，现将A、B两项工作量相同的工程交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参与B工程。两项工程同时开工，耗时16天同时结束。问丙队在A工程中参与施工多少天？A.6B.7C.8D.9中公解析：此题答案为A。设甲、乙、丙每日工作量分别为6、5、4，丙队参与A工程x天。根据A、B工作量相同列方程，6×16+4x=5×16+4（16-x），解得x=6。中公名师点评工程问题中常用特值法，经常将工作量设为“1”，但是特值法应该灵活使用，以方便计算为主要目的。此题给出了三者效率之比为6:5:4，则可直接设三者的每日工作量分别为6、5、4，这样计算的时候能够避免小数或者分数的出现，简化计算的过程。3、水管问题（修订增补）水管问题也是工程问题的一种。只是对于注水问题，注水管的工作效率为正，排水管的工作效率为负；对于排水问题，注水管的工作效率为负，排水管的工作效率为正。例4一个空水池，有甲乙两个进水管和一个排水管，单开甲管5分钟能注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如果单开排水管需6分钟流尽，某次池中没有水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管，又过了同样长的时间，水池的1/4注了水，如果继续注满全池，前后一共要花多少时间?A3B3.5C4D4.5中公解析：此题答案为C。设水池容量为1，则甲、乙每分钟分别注入1/5、1/10，排水管每分钟排水1/6。设排水管打开时间为X分钟，则有（1/5-1/6）X+(1/5+1/10)X=1/4,解得X=3/4分钟。注满水池，还需要3/4÷(1/5+1/10)=5/2分钟，则总共时间为：3/4+3/4+5/2=4分钟（二）浓度问题1、基本公式（1）溶液=溶质+溶剂浓度=溶质溶液溶质=溶液*浓度溶液=溶质（2）混合后溶液浓度公式C%=M（3）反复混合①设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒出N克盐水，再倒入N克清水，经过n次操作，盐水的浓度由C0变为Cn：Cn=(1-NM)nC②设盐水瓶中盐水的质量为M，每次操作中先倒入N克清水，再倒出N克盐水，经过n次操作，盐水的浓度由C0变为Cn：Cn=(1-NM+N)nC0（注：C0是指原来溶液的浓度、Cn(4)交换相同溶液（提问各取多少相同质量溶液进行交换使用此公式）两种不同类型的溶液，一种溶液质量为M1,浓度为A；另一种溶液质量为M2,浓度为B，两种溶液相互交换质量为M溶液，交换后两种溶液浓度相同，质量为：M=M1*M2M1+M2（与A、B浓度无关）3、例题【例1】(2008年北京市应届第14题)甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的溶液600克。现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同。问现在两倍溶液的浓度是多少()A.20%B.20.6%C.21.2%D.21.4%【答案B】解析：这道题要解决两个问题：(1)浓度问题的计算方法：浓度问题在国考、京考当中出现次数很少，但是在浙江省的考试中，每年都会遇到浓度问题。这类问题的计算需要掌握的最基本公式是(2)本题的陷阱条件：“现在从甲、乙两杯中取出相同总量的溶液，把从甲杯中取出的倒入乙杯中，把从乙杯中取出的倒入甲杯中，使甲、乙两倍溶液的浓度相同。”这句话描述了一个非常复杂的过程，令很多人望而却步。然而，只要抓住了整个过程最为核心的结果——“甲、乙两杯溶液的浓度相同”这个条件，问题就变得很简单了。因为两杯溶液最终浓度相同，因此整个过程可以等效为——将甲、乙两杯溶液混合均匀之后，再分开成为400克的一杯和600克的一杯。这道题就简单的变成了“甲、乙两杯溶液混合之后的浓度是多少”这个问题。根据浓度计算公式可得，所求浓度为：如果本题采用题设条件所述的过程来进行计算，将相当繁琐。（三）价格利润专题1、基本公式：利润就是挣的钱。利润占成本的百分数就是利润率。商店有时减价出售商品，我们把它称为“打折”，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售；如果某商品打“八五”折出售，就是按原价的85%出售。利润问题中，还有一种利息和利率的问题，属于百分数应用题。本金是存入银行的钱。利率是银行公布的，是把本金看做单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱。本息和是本金与利息的和。这一问题常用的公式有：利润=成本×利润率=售价-成本

定价（售价）=成本×（1+利润率)=成本+利润=定价×折扣的百分数利润率=利润÷成本=售价-成本成本利润的百分数=(售价-成本)÷成本×100%利息=本金×利率×期数

本息和=本金×（1+利率×期数)折扣=折后的售价2、例题【例1】某商品按20%的利润定价，又按八折出售，结果亏损4元钱。这件商品的成本是多少元？

A.80B.100C.120D.150

【答案B】解析：现在的价格为(1+20%)×80%=96%，故成本为4÷（1-96%)=100元。

【例2】某商品按定价出售，每个可以获得45元的利润，现在按定价的八五折出售8个，按定价每个减价35元出售12个，所能获得的利润一样。这种商品每个定价多少元？()A.100B.120C.180D.200

【答案D】解析：每个减价35元出售可获得利润(45-35)×12=120元，则如按八五折出售的话，每件商品可获得利润120÷8=15元，少获得45-15=30元，故每个定价为30÷（1-85%)=200元。

【例3】一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，这样1件商品乙店比甲店多收入24元，甲店的定价是多少元？()A.1000B.1024C.1056D.1200

【答案C】解析：设乙店进货价为x元，可列方程20%x-20%×（1-12%)x=24，解得x=1000，故甲店定价为1000×（1-12%)×（1+20%)=1056元。

（四）盈亏问题1、基本公式：（修订增补）（1）一次盈，一次亏：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（2）两次都有盈：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=人数

（3）两次都是亏：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=人数

（4）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）=人数

（5）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）=人数

2、重要结论：（1）相同价格卖出两件商品，盈亏系数相同，那么该商品卖出是亏损的；（2）一件商品先涨价后跌价，涨跌系数相同，那么该商品卖出是亏损的；（3）一件商品先跌价后涨价，涨跌系数相同，那么该商品卖出是亏损的。3、例题例：“小朋友分桃子，每人10个少9个，每人8个多7个。问：有多少个小朋友和多少个桃子？”解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）………………人数

10×8-9=80-9=71（个）………………桃子

（五）酒瓶兑换1、核心公式：一瓶酒=一个空瓶+一份酒（等量替换法）（六）统筹问题（1）统筹问题的实质就是在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，努力争取获得在允许范围内的最佳效益。（多考虑用整除因素解决）（2）运费最少问题：找到最佳货物存放区，使货物运输费用最少，通过货物轻的一侧往货物重的一侧移动的原则来判断出最佳位置点。（平衡点）（3）装卸问题：A如果有M辆车和N个工厂，当M≥N时，所需装卸工人数最少为各个车站需要工人的总和；B当M≤N时，所需装卸工总数就是需要装卸工人数最多的M个工厂需要的装卸工人数的总和。（七）鸡兔同笼问题1、基本概念鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来。2、基本思路A假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；B计算和题目条件不同时所产生的差是多少；C每个事物造成的差是固定的，从而分析出现这个差的原因，就是答案。3、基本公式：A把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）B把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）4、题目关键：找出总量的差与单位量的差，一般将“每”量视为“脚数”5、得失问题（鸡兔同笼问题的推广修订增补）：不合格品数＝（1只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）＝总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）例：“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解：（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）（八）抽届原理1、原理一般含义：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1或多于n+1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。2、常见形式：A原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。B原理2：把多于m×n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m＋1个或多于m＋l个的物体。C原理3：把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里有无穷个物体。3、解题思路：极端法，即考虑可能出现的最坏情况4、例子：（修订增补）A原理1（1）3个苹果放到2个抽屉里，那么一定有1个抽屉里至少有2个苹果。（2）5块手帕分给4个小朋友，那么一定有1个小朋友至少拿了2块手帕。（3）6只鸽子飞进5个鸽笼，那么一定有1个鸽笼至少飞进2只鸽子。我们用列表法来证明例题（1）：放法抽屉①种②种③种④种第1个抽屉3个2个1个0个第2个抽屉0个1个2个3个从上表可以看出，将3个苹果放在2个抽屉里，共有4种不同的放法。第①、②两种放法使得在第1个抽屉里，至少有2个苹果；第③、④两种放法使得在第2个抽屉里，至少有2个苹果。即：可以肯定地说，3个苹果放到2个抽屉里，一定有1个抽屉里至少有2个苹果。由上可以得出：题号物体数量抽屉数结果（1）苹果3个放入2个抽屉有一个抽屉至少有2个苹果（2）手帕5块分给4个人有一人至少拿了2块手帕（3）鸽子6只飞进5个笼子有一个笼子至少飞进2只鸽上面三例的共同特点是：物体个数比抽屉个数多一个，那么有一个抽屉至少有2个这样的物体。从而得出：B原理2（4）把30个苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？（5）把30个以上的苹果放到6个抽屉中，问：是否存在这样一种放法，使每个抽屉中的苹果数都小于等于5？解答:（4）存在这样的放法。即：每个抽屉中都放5个苹果；（5）不存在这样的放法。即：无论怎么放，都会找到一个抽屉，它里面至少有6个苹果。从上述两例中我们还可以得到如下规律：注：“原理1”和“原理2”的区别是：“原理1”物体多，抽屉少，数量比较接近；“原理2”虽然也是物体多，抽屉少，但是数量相差较大，物体个数比抽屉个数的几倍还多几。（九）方阵问题1、六大基本解题技巧（假设方阵最外层一边人数为N，则）（1）实心方阵：A方阵总人数＝（最外层每边人数）2=N2B方阵最外层人数=4N-4C相邻两层，外层比内层每边多2人。外层比内层共多8人。D方阵最外M层人数=N2-(N-2M)2=4M(N-M)E其他多边形的“阵”最外层人数可以类比推理得到：（每边人数-1）×边数=最外层人数F多留意“不规则阵形”的割与补：外部人数=整个大阵人数-内部小阵人数G最外层人数＝（最外层每边人数－1）×4（增补修订）H去掉一行、一列的总人数＝去掉的每边人数×2－1（增补修订）（2）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数-层数）×层数×42、例题：例1：有一个3层的中空方阵，最外层有10人，问全阵有多少人？解：（10－3）×3×4＝84（人）例2学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?A．256人B．250人C．225人D．196人（2002年A类真题）解析：正确答案为A。方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数÷4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：60÷4+1=16（人）整个方阵共有学生人数：16×16=256（人）。例3参加中学生运动会团体操比赛的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33，则去掉的一行（或一列）人数＝（33+1）÷2＝17方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为17×17=289（人）（十）青蛙跳井1、解题思路：青蛙跳井问题实质是临界点问题，在求解时往往需要分析好最后一次临界点情况。2、核心公式：天数（次数）=总长度-3、例题例1青蛙从井底向上爬，井深10米，青蛙每跳上5米，又滑下4米，这样青蛙需跳几次方可出井?(6)例2单杠上挂着一条4米长的爬绳，小赵每次向上爬1米又滑下半米来，问小赵几次才能爬上单杠?(7)（十一）年龄问题1、解题思路：需要抓住年龄差不变这个关键点：（1）年龄差是不会变化；（2）年龄是同时增长的；（3）两个人的年龄倍数关系随着时间推移而逐渐减小2、解题方法：代入排除法、分段法、列方程3、公式（修订增补）（1）几年后的年龄=大小年龄差÷倍数差－小年龄（2）几年前的年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差4、例题例1甲对乙说：当我的岁数是你现在岁数时，你才4岁。乙对甲说：当我的岁数到你现在的岁数时，你将有67岁，甲乙现在各有：A．45岁，26岁B．46岁，25岁C．47岁，24岁D．48岁，23岁【答案B】解：甲、乙二人的年龄差为（67－4）÷3=21岁，故今年甲为67－21=46岁，乙的年龄为45－21=25岁。另解：解析：此题应直接选用代入法。如果采用方程法，则甲的年龄为X，乙的年龄为Y，则可列方程：Y-（X-Y）=4；X+（X-Y）=67；解得X=46，Y=25。所以，正确答案为B。【例2】爸爸、哥哥、妹妹现在的年龄和是64岁。当爸爸的年龄是哥哥的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹的2倍时，爸爸34岁。现在爸爸的年龄是多少岁？A．34B．39C．40D．42【答案C】解析：解法一：用代入法逐项代入验证。解法二，利用“年龄差”是不变的，列方程求解。设爸爸、哥哥和妹妹的现在年龄分别为：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]。可求得x=40。【例1】1998年，甲的年龄是乙的年龄的4倍。2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍。问甲、乙二人2000年的年龄分别是多少岁?A．34岁，12岁B．32岁，8岁C．36岁，12岁D．34岁，10岁【答案C】解析：抓住年龄问题的关键即年龄差，1998年甲的年龄是乙的年龄的4倍，则甲乙的年龄差为3倍乙的年龄，2002年，甲的年龄是乙的年龄的3倍，此时甲乙的年龄差为2倍乙的年龄，根据年龄差不变可得:3×1998年乙的年龄=2×2002年乙的年龄;3×1998年乙的年龄=2×（1998年乙的年龄+4）;1998年乙的年龄=4岁，则2000年乙的年龄为10岁。（十二）页码问题1、常考题型：求页码数和某个数出现的次数2、核心公式：(1)页码核心公式：已知页数为X，求所有页码共有多少个数字（假设为Y）A如果X是2位数，Y=2X-9;B如果X是3位数，Y=3X-108;C如果X是4位数，Y=4X-1107;(2)求某个数出现的次数解题方法：以四位数为例：求一本5000页的书，数字1在这本书里出现多少次？5000×110×（4-1）+10（4-1）（十三）折和段问题1、折：（1）对折X米长绳子后每段长为X2米，三折后每段绳子长为X3米，N折后为（2）对折:对折X米长绳子后每段长为X2米，对折二次后每段绳子长为X/22米，对折N次后每段绳子长为X/N22、段（1）一段绳子,剪了一刀则分成二段,剪了N刀,则分成了N+1段;（2）把一根钢管锯成二段,需要锯1次;把一根钢管锯成N段,则需要N-1次;3、剪一根绳子对折N次后，再剪了M刀，问共分成了几段：（1）若对折N次后,每段绳子之间是独立不相连的，那么剪M刀之后，则共分成段数为：2N×（M+1）;(2)若对折N次后,每段绳子之间是相连的，那么剪M刀之后，则共分成段数为：2N×M+1(十四)牛吃草问题1、核心公式：草原原有草量＝（牛数－每天吃草量）×天数，其中：一般设每天吃草量为X2、注意事项：现在行测题中一般考一些牛吃草的扩展题，其本质是一样的3、例题：例1：由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天一均匀的速度减少。经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或供16头牛吃6天。那么可供11头牛吃几天？（）A.12B.10C.8D.6【答案C】解析：设每头牛每天吃1份草，则牧场上的草每天减少（20×5－16×6）÷（6－5）=4份草，原来牧场上有20×5+5×4=120份草，故可供11头牛吃120÷（11+4）=8天。例2：有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时?()A.16B.20C.24D.28解析：(10-X)*8=(8-X)*12求得X=4，(10-4)*8=(6-4)*Y，求得答案Y=24公式熟练以后可以不设方程直接求出来。（十五）植树问题1、解题思路：植树问题是每隔相等的距离在路旁种一棵树，若给出路长和相邻两棵树间的距离，求可以种树的数量。植树问题主要涉及三个要素：一、总路线长；二、间距；三、棵数2、核心公式：（1）不封闭情况：马路一边，棵数=总长间隔+1；一条马路两边，则棵数=（总长（2）封闭情况：马路一边，棵数=总长（3）两端有物情况：马路一边，棵数=总长间隔3、例题【例题】1李大爷在马路边散步，路边均匀的栽着一行树，李大爷从第一棵数走到底15棵树共用了7分钟，李大爷又向前走了几棵树后就往回走，当他回到第5棵树是共用了30分钟。李大爷步行到第几棵数时就开始往回走？A.第32棵B.第32棵C.第32棵D.第32棵解析：李大爷从第一棵数走到第15棵树共用了7分钟，也即走14个棵距用了7分钟，所以走没个棵距用0.5分钟。当他回到第5棵树时，共用了30分钟，计共走了30÷0.5=60个棵距，所以答案为B。第一棵到第33棵共32个棵距，第33可回到第5棵共28个棵距，32+28=60个棵距。【例题2】为了把2008年北京奥运会办成绿色奥运，全国各地都在加强环保，植树造林。某单位计划在通往两个比赛场馆的两条路的(不相交)两旁栽上树，现运回一批树苗，已知一条路的长度是另一条路长度的两倍还多6000米，若每隔4米栽一棵，则少2754棵；若每隔5米栽一棵，则多396棵，则共有树苗：()A.8500棵B.12500棵C.12596棵D.13000棵解析：设两条路共有树苗ⅹ棵，根据栽树原理，路的总长度是不变的，所以可以根据路程相等列出方程：(ⅹ+2754-4)×4=(ⅹ-396-4)×5(因为2条路共栽4排，所以要减4)。解得ⅹ=13000，即选择D。（十六）容斥问题1、核心知识：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理2、公式（1）两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B（2）.三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C即：A∪B∪C=（A+B+C）-（A∩B+B∩C+C∩A）+A∩B∩C（只会一种）=（会的人数）-（两种都会）-（三都都会）×2.3、文氏图（1）并集∪定义：取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，表示：A∪B。比如说，现在要挑选一批人去参加篮球比赛。条件A是，这些人年龄要在18岁以上，条件B是，这些人身高要在180CM以上，那么符合条件的人就是取条件A和B的并集，就是两个条件都符合的人：18岁以上且身高在180CM以上。（2）交集∩定义：（交就是取两个集合共同的元素）A和B的交集是含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。A和B的交集写作“A∩B”。形式上：x属于A∩B当且仅当x属于A且x属于B。例如：集合{1，2，3}和{2，3，4}的交集为{2，3}。数字9不属于素数集合{2，3，5，7，11}和奇数集合{1，3，5，7，9，11｝的交集。若两个集合A和B的交集为空，就是说他们没有公共元素，则他们不相交。（I）取一个集合，设全集为I，A、B是I中的两个子集，X为A和B的相交部分，则集合间有如下关系：A∩B＝X，A＋B＝A∪B－X；文氏图如图。全集=A+B-x+I（II）取一个集合，设全集为I，A、B、C是I中的两个子集，D＝A∩C，E＝B∩C，F＝A∩B，x为A、B、C的公共部分，即x＝A∩B∩C，则集合间有如下关系：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C；文氏图如图全集=A+B+C-(D+E+F)+x+I4、例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是()A.22B.18C.28D.26解析：设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。答案为A。【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问两个频道都没看过的有多少人？解析：设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。（十七）比赛问题（1）淘汰赛所需场次：A仅需决出冠、亚军，比赛场次=N-1B仅需决出1、2、3、4名，比赛场次=N（2）循环赛所需场次：A单循环赛（任意两场打一场比赛）,比赛场次B双循环赛（任意两场打两场比赛）,比赛场次(十八)排列组合问题一、基础知识1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m2乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!。4．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：(十九)时钟问题1、核心知识（1）钟面的一圈为360度，时针每小时走5个小格、30度、1/12周，分针每小时走60格、360度、一周；（2）分针每一分钟走1个小格、6度；时针每分钟走5/60个小格、转过0.5度。时针分针每分钟走过的角度相差5.5度；（3）时针分针的角度、重合问题相当于路程（这里是角度）的追及问题，每分钟的追及及角度为5.5度；（4）分针的角速度是时针的12倍。可以利用这个比例关系进行快速求解，有些题甚至可以忽略时针的运动，秒杀难题。2、拓展（1）钟表重合公式、钟表几分重合，公式为：x/5=(x+a)/60a时钟前面的格数

（2）时钟成角度的问题设X时，夹角为30X，Y分时，分针追时针5.5，设夹角为A.(请大家掌握)

钟面分12大格60小格，每一大格为360除以12等于30度，每过一分钟分针走6度，时针走0.5度，能追5.5度。【30X-5.5Y】或是360-【30X-5.5Y】【】表示绝对值的意义(求角度公式)

变式与应用

【30X-5.5Y】=A或360-【30X-5.5Y】=A(已知角度或时针或分针求其中一个角)（3）指针重合公式：关于钟表指针重合的问题，有一个固定的公式：61T=S(S为题目中最小的单位在题目所要求的时间内所走的格数，确定S后算出T的最大值知道相遇多少次。（4）坏钟表行走时间判定问题一个钟表出现了故障，分针比标准时间每分钟快6秒，时针却是正常的。上午某一时刻将钟表调整至标准时间。经过一段时间发现钟表的时刻为晚上9：00请问钟表在何时被调整为标准时间?

A、10：30B、11：00C、12：00D、1：30

【解析】此题也是比较简单的题目。我们看因为每分钟快6秒则1个小时快60×6=360秒即6分钟。当9：00的时候说明分针指在12点上。看选项。其时针正常，那么相差的小时数是正常的，A选项差10.5个小时即分针快了10.5×6=63分钟。则分针应该在33分上。错误!同理看B选项相差10个小时即10×6=60分钟，刚好一圈，即原在12上，现在还在12上选B，其它雷同分析。（二十）路程行程问题1、相遇及追及A基本公式:S=V*T(路程=速度*时间)B相遇问题:S=(V1+V2)*T(相遇路程=速度之和乘相遇时间),C追及问题:S=(V1-V2)*T(追及距离=速度之差乘追及时间)；T=S/(V1-V2)(追及时间=追及路程/相对速度)2、流水行船问题V顺水=V船+V水V逆水=V船-V水V水=V漂流物所需时间：T=2T顺水T逆水T逆3、环形运动问题异向而行：相邻两次相遇的路程和为周长；同向而行：相邻两次相遇的路程差为周长4、比例行程问题路程=速度×时间路程比=速度比×时间比注：运动时间相等，运动距离与运动速度成正比；运动速度相等，运动距离与运动时间成正比；运动距离相等，运动速度与运动时间成反比5、平均速度问题平均速度=总路程÷总时间等时间平均速度V公式，运动过程中分N段，每一段运动时间相等，则有V=V1+V2+V3…+VN等距离平均速度V公式，运动过程中每一段运动距离相等，则有：1V=1V1+1V2+1V3+16、车长、列车过桥问题列车完全在桥上的时间=桥长列车从开始上桥到完全下桥所用的时间=桥长7、沿途数车、间隔发车问题（1）相向运动沿途遇上车辆：车辆数量=2Tt（2）相向运动沿途遇上车辆：车辆数量=Tt+1(车辆从刚好出发时第一辆起开始计算（3）间隔距离公式S间隔=V*T间隔,即同方向相邻两辆车间隔距离=相邻两辆车的发车时间间隔*车速(4)发车时间间隔T=2t1t2t1+t2车速与人速关系：车速人速=t1+t28、多次相遇（1）单边两次相遇公式S=3S1+S22(S1、S2（2）双边两次相遇公式S=3S1-S2(S1第一次到某边的距离、S2指第二次到另外一边的距离，S指两岸距离)（二十一）传球问题1、解题思路：这道传球问题是一道非常复杂麻烦的排列组合问题。【解析】不免投机取巧，但最有效果(根据对称性很容易判断结果应该是3的倍数，如果答案只有一个3的倍数，便能快速得到答案)，也给了一个启发2、传球问题核心公式N人传接球M次公式：次数=(N-1)的M次方/N，最接近的整数为末次传他人次数，第二接近的整数为末次传给自己的次数。例：四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有传球方式()。A.60种B.65种C.70种D.75种公式解题：(4-1)5/4=60.75最接近的是61为最后传到别人次数，第二接近的是60为最后传给自己的次数（二十二）圆分平面公式：N2-N+2,N是圆的个数圆相交的交点问题：N个圆相交最多可以有多少个交点的问题分析N*(N-1)(二十三)吃糖的方法

当有n块糖时，有2(n-1)种吃法。(二十四)上楼梯问题

一般来说上电梯有a1=1a2=2a3=4a4=a1+a2+a3

所以一般公式是an=a(n-1)+a(n-2)+a(n-3)（二十五）兔子问题

1、公式：An=A(n-1)+A(n-2)2、例：已知一对幼兔能在一月内长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一月内生出一对幼兔。如果现在给你一对幼兔，问一年后共有多少对兔子?

析：1月:1对幼兔2月:1对成兔3月：1对成兔，1对幼兔4月：2对成兔，1对幼兔5月：3对成兔，2对幼兔6月：5对成兔.3对幼兔可看出规律:1,1,2,3,5,8(第三数是前两数之和),可求出第12项，为:13,21,34,55,89,144，答:有144只兔

（二十六）称重量砝码最少的问题

例题：要用天平称出1克、2克、3克……40克这些不同的整数克重量，至少要用多少个砝码?这些砝码的重量分别是多少?

分析与解：一般天平两边都可放砝码，我们从最简单的情形开始研究。

(1)称重1克，只能用一个1克的砝码，故1克的一个砝码是必须的。

(2)称重2克，有3种方案：

①增加一个1克的砝码;

②用一个2克的砝码;

③用一个3克的砝码，称重时，把一个1克的砝码放在称重盘内，把3克的砝码放在砝码盘内。从数学角度看，就是利用3-1=2。

(3)称重3克，用上面的②③两个方案，不用再增加砝码，因此方案①淘汰。

(4)称重4克，用上面的方案③，不用再增加砝码，因此方案②也被淘汰。总之，用1克、3克两个砝码就可以称出(3+1)克以内的任意整数克重。

(5)接着思索可以进行一次飞跃，称重5克时可以利用

9-(3+1)=5，即用一个9克重的砝码放在砝码盘内，1克、3克两个砝码放在称重盘内。这样，可以依次称到1+3+9=13(克)以内的任意整数克重。

而要称14克时，按上述规律增加一个砝码，其重为

14+13=27(克)，

可以称到1+3+9+27=40(克)以内的任意整数克重。

总之，砝码重量为1，3，32，33克时，所用砝码最少，称重最大，这也是本题的答案。（二十七）双线头法则问题

设做题的数量为S做对一道得X分做错一道扣Y分不答不得分

竞赛的成绩可能值为N令T=(X+Y)/Y

则N={[1+(1+S)]*(1+S)}/2-{[1+(S-T+1)]*(S-T+1)}/2

某次数学竞赛共有10道选择题，评分办法是每一题答对得4分，答错一道扣2分，不答不得分，设这次竞赛最多有N种可能的成绩，则N应等于多少?

A、28B、30C、32D、36

【解析】该题是双线段法则问题【(1+11)×11÷2】-【(1+8)×8÷2】=30

所谓线段法则就是说，一个线段上连两端的端点算在内共计N个点。问这个线段一共可以行成多少线段。计算方法就是(N-1)×N÷2，我看这个题目。我们按照错误题目罗列大家就会很清楚了

答对题目数可能得分

1040

936，34

832，30，28

728，26，24，22

624，22，20，18，16

520，18，16，14，12，10

416，14，12，10，8，6，4

312，10，8，6，4，2，0，-2

28，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8

14，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，

00，-2，-4，-6，-8，-10，-12，-14，-16，-18，-20

这样大家就不难发现可能得分的情况随着答对题目数量的减少，或者说答错题目的增多。呈现等差数列的关系，也就是线段法则的规律。然后从第7开始出现了重复数字的产生。也是随着题目的答错数量的增加而等差增加。这是隐藏的线段法则。所以称之为双线段法则应用。

回归倒我一看的题目大家可能要问，后面【】里面的8从什么地方来的?这就是确定重复位置在哪里的问题。(得分分值+扣分分值)÷扣分分值=3即当错3题时开始出现重复数字。也就是隐形线段法则的起始端。10-3=7就是说从0～8之间有多少个间隔就有多少个重复组合。（二十八）N条线组成三角形的个数

n条线最多能画成几个不重叠的三角形F(n)=F(n-1)+F(n-2)如f(11)=19

四十七，边长为ABC的小立方体个数

边长为ABC的长方体由边长为1的小立方体组成，一共有abc个小立方体，露在外面的小立方体共有abc-(a-2)(b-2)(c-2)

（二十九）测井深问题

用一根绳子测井台到井水面的深度，把绳子对折后垂到井水面，绳子超过井台9米;把绳子三折后垂到井水面，绳子超过井台2米。那么，绳子长多少米?

解答：(2*9-3*2)/(3-2)=12

(折数*余数-折数*余数)/折数差=高度

绳长=(高度+余数)*折数=(12+9)*2=42

（三十）分配对象问题

(盈+亏)/分配差=分配对象数

有一堆螺丝和螺母，若一个螺丝配2个螺母，则多10个螺母;若1个螺丝配3个螺母，则少6个螺母。共有多少个螺丝?()A.16B.22C.42D.48

解析：A，(10+6)/(3-2)=16

若干同学去划船，他们租了一些船，若每船4人则多5人，若每船5人则船上空4个坐位，共有()位同学A.17B.19C.26D.41

解析：D，(5+4)/(5-4)=9，4*9+5=41==================================================================================（三十一）基础知识1、整除（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有a/1=a；0是任何非零整数的倍数，a≠0，a为整数，则0|a=0。（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。（17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。（18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23（或29）整除，则这个数能被23整除。注：（1）如果A与B都能被C整除，那么A+C与A-B也能被C整除。如3，6能被3整除，那么他们的和9，差3也能被3整除；（2）如果A能被B整除，C是任意整数，那么积AC也能被B整除；（3）如是A同时被B与C整除，并且B与C互质，那么A一定能被积BC整除，反之，如果A能被BC整除，则A能同时被B与C整除；（4）运算中涉及人、物、产品等数量，应该为整数；（5）任意连续三个自然数之和或者积能被3整除；（6）一个数如果不能被3，7，11整除，则商是无穷小数；2、百分比类题秒杀（1）此类题往往针对的是题中涉及人、物、产品等情况，因为人、物、产品只能是整数个，不存在半个情况。通过已知题目信息，能够得出所求的答案应该能被某个数整除。例：假设该产品比上年减少40%，求今年该产品有多少？假设去年有X，则今年应该有（1-40%）X=60%X=353、分数类题秒杀分数专题当中会带有分数，我们需要注意的是答案与分数的关系，如产品A点产品总数的三分之一，求产品总数？那么产品总数一定能被3整除。（1）A是B的12，说明B能被2整除（2）A是B的13（注：A、B、C均为人、物、产品等的数量，由于此类物质具有不可分割性，故数量一定为整数）4、倍数相关类题秒杀根据题意，如果通过已知信息得到答案应是某个数的倍数，选项ABCD中仅有某一个选项含有该数因子，则该选项就是答案；如果有两个选项都含有该数因子，则可以通过代入法进行排除。5、比例类题秒杀抓住题干中的比例关系，假设题中的A和B的个数为X:Y,那么A和B的个数分别能被X、Y整除(A、B指的是人、物、产品等)。6、余数类题秒杀（1）问题描述：已知一个数，除以A1余B1,除以A2余B2,除以A3余B3,。。。问在某个范围内（如一个N位数，一个数小于10000等）这样的数有几个？（2）解决公式：A这个范围内最大的数除以若干个除数的积，如果余数大于最小符合数则商加1；如果余数小于最小符合数则不加（一般情况下余数大于200则直接加1）；B注：最小符合数是指这个范围内符合题意的最小数。例：一个三位数除以9余数为7，除以5余数为2，除以4余数为3，这样的数有几个？根据公式得：10000/(9*5*4)=5……100,最小符合数从最大的被除数代入计算，即从除以9后余数为7着手，9N+7代入验证，当N=0时，7代入符合除以5余2，除以4余3，说明最小符合数为7，余数>100最小符合数为7，所以需要加1，这样的数有5+1=6个；（3）同余另一个解题方法口诀：以公倍数为周期，余同取余、和同取和、差同减差A余同：用一个数除以几个不同的数，但得到相同的余数，则可以余同取余例：一个数被5除余数为1，被6除余数为1，被7除余数为1，那么这个数可以看作210N+1（210为5、6、7的最小公倍数）；B和同：用一个数除以几个不同的数，得到的余数与除数之和相同，则可以和同加和。例：一个数被5除余数为3，被6除余数为2，被7除余数为1，那么这个数可以看作210N+8，即5+3=8，6+2=8，7+1=8；C差同：用一个数除以几个不同的数，得到的除数与余数之差相同，则可以差同减差例：一个数被5除余数为1，被6除余数为2，被7除余数为3，那么这个数可以看作210N+4，即5-1=4，6-2=4，7-3=4。(4)同余定理A如果A和B分别除以C,余数相同,就称A、B对于除数C来说是同余的,且有A、B的差能被C整除(A、B、C均为自然数);B如果A和B的和除以C的余数,等于A和B分别除以C的余数之和(或这个和除以C的余数);当余数之和大于或等于除数时,所求余数等于余数之和再除以C的余数;C如果A和B的积除以C的余数,等于A和B分别除以C的余数之积;当余数之积大于或等于除数时,所求余数等于余数之积再除以C的余数.7、工程类题秒杀通过题目已知信息，找出已知条件和所求数之间的整除关系。8、方阵相关类题秒杀方阵是正方形，正方形是某个数的平方，所以该方阵人数肯定是某个数的平方。例：剧院座位问题：假设一个剧院设置了N排座位，第一排有A1个座位，往后每排都比前面多1个座位，这个剧院共有多少个座位？根据SN=N(A1+An)2,知总座位数SN包含N因子，所以当（A1+An）是偶数，那么SN一定能被N整除，也能被N2整除；当（A1+An）是奇数，那么SN只能被9、浓度类题秒杀倾向性分析法是解决浓度类部分题目的快速方法，符合倾向性分析法条件：每次加入同样多的水或者蒸发