2023北京导数专题汇编

海淀期中文科18.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最小值.答案18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当时，，所以，---------------------------------------------------------------------2分由得.-------------------------------------------------------------------1分随的变化如下：2+0↗极大值↘--------------------------------------------------------------------------------2分所以的单调递增区间为，单调递减区间为.------------------1分（Ⅱ）由得,.-------------------------------------------------------------------1分令，因为，解得.-----------------------------------------------1分=1\*GB3①当时，即时，对恒成立，所以在上单调递增，------------------------------------------------------------1分所以;---------------------------------------------------------------------1分=2\*GB3②当时，即时，在上的情况如下：010+↘极小值↗----------------------------------------------------------------------------------------2分所以，---------------------------------------------------1分综上，当时，；当时，.-------------1分海淀期中理科19.（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，函数存在最小值.海淀期末理科已知函数.（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值.答案19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由得.由已知曲线存在斜率为的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数的取值范围.（Ⅱ）由，，可得当时，，所以函数的增区间为；当时，若，，若，，所以此时函数的增区间为，减区间为.（Ⅲ）由及题设得，由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增，所以，取，显然，，所以存在满足，即存在满足，所以在区间上的情况如下：0↘极小↗所以当时，在上存在极小值.（本题所取的特殊值不唯一，注意到），因此只需要即可）海淀一模18.（本小题满分13分）已知函数，其中实数.（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围.答案18.（本小题满分13分）解：法1：（Ⅰ）由可得函数定义域为，,由得.因为，所以.当时，，所以的变化如下表：0↘极小值↗当时，，的变化如下表：00↗极大值↘极小值↗综上，是函数的极值点，且为极小值点.（Ⅱ）易知，由（Ⅰ）可知，当时，函数在区间上单调递减，所以有恒成立；当时，函数在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时有在区间上恒成立.法2：（Ⅰ）由可得函数定义域为，令，经验证，因为，所以的判别式，{说明：写明也可以}由二次函数性质可得，1是的异号零点，所以1是的异号零点，所以是函数的极值点.（Ⅱ）易知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时有在区间上恒成立.海淀二模19.（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）当时，求证：存在实数使.答案19.（本小题满分13分）解：（Ⅰ），因为曲线在处的切线与直线垂直，所以切线的斜率为2，所以，所以.（Ⅱ）法1：当时，显然有，即存在实数使；当时，由可得，所以在时，，所以函数在上递减；时，，所以函数在上递增所以是的极小值.由函数可得，由可得，所以，综上，若，存在实数使.