2023-2024新课标卷极坐标与参数方程选做题

2023-2023新课标卷极坐标与参数方程选做题【试题】1．[2023新课标3卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．2．[2023年新课标1卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.3．[2023新课标2卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．4．【2023新课标2卷理科】（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是QUOTE（t为参数），l与C交于A，B两点，∣AB∣=QUOTE10，求l的斜率.5．【2023新课标1卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为QUOTE（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.6．【2023年新课标3卷理科】在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.7．2023年新课标1卷文科在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求的极坐标方程.（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.8．2023年新课标2卷理科在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．（Ⅰ）．求与交点的直角坐标；（Ⅱ）．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．9．2023年新课标1卷理科已知曲线，直线：（为参数）.（=1\*ROMANI）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（=2\*ROMANII）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．10．2023年新课标2卷理科在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.2023-2023新课标卷极坐标与参数方程选做题【参考答案】1．[2023新课标3卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．（1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ+sinθ)-=0，M为l3与C的交点，求M的极径．【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷3正式版）【答案】（1）C的普通方程为.（2）与C的交点M的极径为.【解析】（1）消去参数t得l1的普通方程；消去参数m得l2的普通方程设P（x,y）,由题设得，消去k得.所以C的普通方程为（2）C的极坐标方程为联立得.故，从而代入得，所以交点M的极径为.2．[2023年新课标1卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷1正式版）【答案】（1）或.（2）或.【解析】（1）曲线的普通方程为.当时，直线的普通方程为.由解得或.从而与的交点坐标为，.（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为.当时，的最大值为.由题设得，所以；当时，的最大值为.由题设得，所以.综上，或.3．[2023新课标2卷理科]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国卷2正式版）【答案】⑴的直角坐标方程为⑵△OAB面积的最大值为【解析】（1）设P的极坐标为，M的极坐标为，由题设知由得的极坐标方程因此的直角坐标方程为（2）设点B的极坐标为,由题设知,于是△OAB面积当时，S取得最大值所以△OAB面积的最大值为4．2023新课标2卷理科在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是QUOTE（t为参数），l与C交于A，B两点，∣AB∣=QUOTE10，求l的斜率.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）利用，可得C的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线的参数方程化为极坐标方程，再利用弦长公式可得的斜率．试题解析：（Ⅰ）由可得圆的极坐标方程（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.设所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得于是由得，所以的斜率为或.【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，弦长公式【名师点睛】极坐标方程与直角坐标方程互化时注意：在将点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一；在将曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性.5．2023新课标1卷理科在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为QUOTE（t为参数，a＞0）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.（Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【答案】（Ⅰ）圆，；（Ⅱ）1【解析】试题分析：（Ⅰ）把化为直角坐标方程，再化为极坐标方程；（Ⅱ）联立极坐标方程进行求解.试题解析：解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.是以为圆心，为半径的圆.将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组若，由方程组得，由已知，可得，从而，解得（舍去），.时，极点也为的公共点，在上.所以.【考点】参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.6．2023年新课标3卷理科在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P在上，点Q在上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程，利用公式与将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）利用参数方程表示出点的坐标，然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式，最后求出最值与相应点的坐标即可．试题解析：（Ⅰ）的普通方程为.的直角坐标方程为.（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为.因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.【考点】椭圆的参数方程，直线的极坐标方程．【技巧点拨】一般地，涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等，当直接处理不好下手时，可考虑利用椭圆的参数方程进行处理，设点的坐标为，将其转化为三角问题进行求解．7．2023年新课标1卷文科在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求的极坐标方程.（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ带解析）【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得，的极坐标方程；（Ⅱ）将将代入即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出的面积.试题解析：（Ⅰ）因为，∴的极坐标方程为，的极坐标方程为.……5分（Ⅱ）将代入，得，解得=，=，|MN|=－=，因为的半径为1，则的面积=.考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系8．2023年新课标2卷理科在直角坐标系中，曲线（为参数，），其中，在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线．（Ⅰ）．求与交点的直角坐标；（Ⅱ）．若与相交于点，与相交于点，求的最大值．【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ带解析）【答案】（Ⅰ）和；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值．9．2023年新课标1卷理科已知曲线，直线：（为参数）.（=1\*ROMANI）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；（=2\*ROMANII）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析）【答案】（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）最大值为，最小值为.【解析】试题分析：（=1\*ROMANI）由椭圆的标准方程设，得椭圆的参数方程为，消去参数即得直线的普通方程为；（=2\*ROMANII）关键是处理好与角的关系．过点作与垂直的直线，垂足为，则在中，，故将的最大值与最小值问题转化为椭圆上的点，到定直线的最大值与最小值问题处理．试题解析：（=1\*ROMANI）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．（=2\*ROMANII）曲线C上任意一点到的距离为．则．其中为锐角，且．当时，取到最大值，最大值为．当时，取到最小值，最小值为．【考点定位】1、椭圆和直线的参数方程；2、点到直线的距离公式；3、解直角三角形．10．2023年新课标2卷理科在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，.（1）求C的参数方程；（2）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D的坐标.【来源】2023年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷带解析）【答案】（1）是参数，；（2）【解析】试题分析：本题第（1）问，由极坐标与普通方程的互化关系可得出C的普通方程为：，从而写出C的参数方程为是参数，.；对第（2）问，可先设D点