第7章逐步法对一般动力荷载的反应

§7.1一般概念§7.2分段精确方法§7.3数值近似方法—一般注释§7.3二阶中心差分列式§7.3积分法§7.3非线性分析的增量列式§7.3线加速度法步骤概要第七章对一般动力荷载的反应—逐步法当前1页，总共62页。

分析承受任意动力荷载的线性结构，Duhamel积分或频域分析，提供了最方便的解法。这两种方法的推导过程中都使用了叠加原理，只能适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变。

另一方面，有许多种重要的结构动力学问题，体系不能视作线性的。如：足以引起严重破坏的地震运动下的建筑物反应等等。因此，还需要发展适用于非线性体系的其它分析方法。§7.1

一般概念§7.1

一般概念当前2页，总共62页。动力反应分析的方法1、叠加法——线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变；2、逐步法——体系不能视作线性的，要发展适用于非线性体系的方法。当前3页，总共62页。逐步法的思想将荷载和反应历程分成一系列的时间间隔或步；每步期间结构特性保持常数；每步的反应为此步开始时的初始条件（位移及速度）和该步期间的荷载历程引起；是一个分段线性化的系统。§7.1

一般概念当前4页，总共62页。近似的方法方程的近似方程求解方法的近似1）数值微分2）数值积分§7.1

一般概念当前5页，总共62页。§7.2分段精确方法§7.2分段精确方法当前6页，总共62页。(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)§7.2分段精确方法当前7页，总共62页。其中同样地，可获得时间步长期间的速度为(7-6)§7.2分段精确方法当前8页，总共62页。§7.2分段精确方法当前9页，总共62页。图E7-2分段精确计算的反应§7.2分段精确方法当前10页，总共62页。§7.3数值近似方法——一般注释数值方法——数值微分、数值积分近似逐步法的要点：1）列式可以为显式亦可为隐式；2）效率是重要的，关系到达到精度的工作量，任何情况下步长必须短到足以提供荷载和反应历程足够的精度；3）产生误差的技术原因——舍入、不稳定性、截断；4）产生误差的自身原因——相位的漂移或频率的显著改变、人工阻尼。§7.3数值近似方法——一般注释当前11页，总共62页。§7.4二阶中心差分列式§7.4二阶中心差分列式当前12页，总共62页。（7-7）（7-8）§7.4二阶中心差分列式使用中心差分:当前13页，总共62页。（7-9）（7-10）§7.4二阶中心差分列式当前14页，总共62页。（7-11）（7-12）§7.4二阶中心差分列式使用平均速度的概念,可以得到;当前15页，总共62页。§7.5积分法另一类一般性的逐步进行动力反应分析的数值方法是，对每一时间步，从初始到最终条件应用积分前进一步。这个基本概念可用如下式子表示：（7-13a）（7-13b）§7.5积分法当前16页，总共62页。§7.5积分法

最终速度和位移依据这些值的初始值加一个积分表达式。速度的变化依赖于加速度历程的积分，而位移的变化依赖于相应的速度积分。

为了进行这类分析，首先需要假设在时间步的持续时间内加速度是如何变化的；加速度的假设也控制了速度的变化，因而可以由这一步向前获得下一时间步。当前17页，总共62页。§7.5积分法Euler-Gauss方法最简单是假设加速度在时间步持续时间内为常数，结果是在持续时间内速度为线性，位移为二次曲线——著名的Euler-Gauss方法。当前18页，总共62页。

列式特性的样式，假设常量加速度是由初值及步长持续时间内所获得的最终加速度的平均。在此图中也显示了速度和位移的表达式，它们是对此加速度在这步持续时间内任意时刻由逐次积分所获得的，把代入这些表达式而获得最终速度和位移。§7.5积分法当前19页，总共62页。图7-3基于常平均加速度的运动h

加速度（常数）

速度（线性）

位移（二次的）当前20页，总共62页。为了对任意步开始这种分析，首先需要计算初始加速度时刻式（7-7）所示的动力平衡表达式获得。另外，最终加速度需要应用隐式列式，它的值可以由迭代获得。对，这可以解它的值可以由迭代获得。对开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a）和（b）得到和的值。然后，用与式（7-7）相当的表达式从动力平衡方程计算时刻值的一个改进，由此再导得速度和和和位移的改进值，最后，迭代收敛于这时间步最终加速度的一个固定的值，这个过程可以前进一步到下一时间步。§7.5积分法当前21页，总共62页。迭代的列式开始时用任意假设的值，再用图7-3所列式（a）§7.5积分法当前22页，总共62页。常平均加速度法的主要优点：是无条件稳定的。也就是说，从一步到下一步不管时间步长选得如何长，误差不会放大。因此时间步长的选择只需要考虑所定义动力激励和结构的振动反映特性。当前23页，总共62页。Newmark—β法一种更一般的逐步列式是由Newmark提出的，前面的方法可以作为它的特殊情况。但是也可以在其他一些形式下应用。在Newmark列式中，对最终速度和位移的基本积分[式（7-13）]如下所示：§7.5积分法当前24页，总共62页。（7-14a）（7-14b）由式（7-14a）显然可见，系数提供了在初始和最终加速度改变影响之间的线性变化的权重，类似地，系数β提供了在这些初始和最终加速度对位移改变贡献的权重。当前25页，总共62页。

从该列式性能的研究发现，系数γ控制了由这个逐步法导致的人工阻尼量；如果γ=1/2，方法是无人工阻尼的，因此这个值被推荐用于标准的单自由度分析。在式（7-14a）和式（7-14b）中令系数γ=1/2和β=1/4，此时可以看到，Newmark列式直接退化为图7-3所示最终速度和位移的表达式。因此，Newmarkβ=1/4法也可以归诸于常平均加速度法。§7.5积分法当前26页，总共62页。

另一方面，如果β取作1/6（用γ=1/2），最终速度和位移的表达式成为§7.5积分法（7-15a）（7-15b）当前27页，总共62页。这些结果也可以如图7-4所示，由假设在时间步持续期间加速度在和的初始到最后值之间线性变化来得到；因此β=1/6的Newmark法也称为线加速度法。像常平均加速度法一样，此法在实际中也是广为应用的。但是与β=1/4方法对比，线加速度法仅是条件稳定的。可是，与二阶中心差分法一样，在单自由度体系分析中这个限制并不重要，因为要获得动力荷载和反应的满意表示，必须取比这一限制更短的时间步长。§7.5积分法当前28页，总共62页。变换到显式公式

β法的隐式列式是不方便应用的，因为每一时间步内为了确定此步终点加速度需要进行迭代。因此，通常被修改为显式形式，目的是最终加速度用其他反应量表示——选择一个基本未知量（位移较好）。§7.5积分法当前29页，总共62页。再代入图7-3式（a）中，获得最终速度表达式为（7-16b）§7.5积分法（7-16a）根据图7-3式（b）对最终加速度求解可得当前30页，总共62页。在t1时刻写出动力平衡方程并将式（7-16a）和（7-16b）代入上式，则可导得仅含时间步终点未知位移v1的表达式。经适当归并同类项，此式可写为（7-17）这是一个静力平衡方程的形式，它包含等效刚度（7-17a）§7.5积分法当前31页，总共62页。和等效荷载（7-17b）在式（7-17）里下标c用以标记常平均加速度法。

§7.5积分法当前32页，总共62页。[而不是从式（7-16a）求]，因而保留了平衡条件。§7.5积分法使用这个显式公式，时间步终点位移v1可直接由式（7-17）计算，所要用到的仅是时间步开始时的数据。然后，此时刻的速度可用式（7-16b）计算，最后，此时间步终点的加速度由求解该时刻的动力平衡方程而得

当前33页，总共62页。

采用同样的方法，使用图7-4中的式（a）和（b），也可以类似地将线性加速度法转换为显式形式，这些列式的位移差别就是等效刚度，等效荷载及最终速度的表达式不同。对线加速度分析来说，等效静力平衡方程为（7-18）§7.5积分法当前34页，总共62页。图7-4基于线性变化加速度的运动

加速度（线性）

速度（二次的）

位移（三次的）h§7.5积分法当前35页，总共62页。（7-18b）当位移v1由式（7-18）计算时，同时刻的速度可由如下表达式给出[相当于式（7-16b）]:（7-18c）§7.5积分法其中下标d表示线加速度法。等效刚度和荷载分别为

（7-18a）当前36页，总共62页。

线加速度法仅仅是条件稳定，但如前面所述，对于单自由度体系分析，这一点并不重要。另一方面，假设每个步长持续时间内加速度线性变化，要比连续用常加速度法能获得真实特性的更好近似。

实际上，数值实验结果也证明了线加速度法结果比用常加速度步所得结果优越。基于此理由，对单自由度体系的分析推荐使用线加速度（β=1/6）法。§7.5积分法当前37页，总共62页。§7.6非线性分析的增量列式上述分析中，体系的动力特性保持不变，仅可用于线性体系；在步长△t足够小时，可以认为体系的动力特性是常数；采用一系列短时间增量△t计算反应，为了方便取△t为等步长；在步长的起点和终点建立动力平衡条件，并以一个假设的反应机理为根据，近似地计算在时间增量范围内体系的运动(通常忽略去在时间间隔内可能产生的不平衡)；体系的非线性特性可用每个时间增量起点所求得的当前变形状态的特性来说明。利用本计算时间区间终点的速度和位移作为下一计算时间区间的初始条件从而可得到整个反应；§7.6非线性分析的增量列式当前38页，总共62页。这个过程可以逐步地从加荷开始时起进行到任何所要求的时间，而非线性特性则可用一系列相继改变的线性体系来逼近。对于非线性分析，最有效的方法是逐步积分法；§7.6非线性分析的增量列式当前39页，总共62页。图7-5非线性动力体系的定义：(a)基本单自由度结构；(b)力的平衡；(c)非线性阻尼；(d)非线性刚度；(e)作用荷载(a)(b)(c)(d)(e)§7.6非线性分析的增量列式当前40页，总共62页。

考虑的结构为图7-5(a)所示的单自由度体系，体系的特性m，k，c和p(t)可以理解为2-5节所讨论的广义量，而并不只局限于图面上所示的简单情况。作用于体系质量m上的力如图7-5(b)所示，弹簧力和阻尼力的一般非线性性质分别绘于图7-5(c)和(d)中，任意作用荷载则绘于图7-5(e)中。

在任一瞬间t，作用于质量m上的力系的平衡要求：（7-19a）

而在暂短时间△t以后，平衡方程将为（7-19b）

从方程(7-19b)减去方程(7-19a)则可得时间间隔t的运动方程的增量形式：（7-20）§7.6非线性分析的增量列式当前41页，总共62页。

这个方程中的增量力可表示如下：（7-21a）

其中，质量m不言而喻被假设为常量，而c(t)和k(t)项则表示与时间间隔内速度和位移相应的阻尼和刚度特性，分别如图7-5(c)和(d)所示。实际上，因为在时间增量末端的速度和位栘将依赖于这些特性，故所示割线斜率只能用迭代法进行计算。因此，通常用时间间隔起点所定义的切线斜率来代替。（7-22）（7-21b）（7-21c）（7-21d）§7.6非线性分析的增量列式当前42页，总共62页。

将方程(7-21)代入方程(7-20)，可导得时间t的增量平衡方程的最终形式为：（7-23）

在这种类型的分析中，所讨论的材料特性可以包括任何的非线性形式。因此，没有必要规定弹簧力fs像非线性弹性材那样仅仅依赖于位移。同样也可以很好地说明非线性滞变材料，在这种材料中，力依赖于变形的过去时程以及位移的当前值，唯一的要求是刚度特性必须完全由变形的过去和目前状态所确定。此外，隐含的质量不变的假定显然是可以改动的：质量也可以表示为随时间变化的量。§7.6非线性分析的增量列式当前43页，总共62页。

有很多方法可以用来进行方程(7-23)的数值积分。

引入假定：在每个时间增量内加速度线性变化，而且体系的特性在这个间隔内保持为常量。质量在时间间隔内的运动用图形的形式绘于图7-6中，与所假定的加速度为线性变化的方程一起，图中还分别绘出了相应的速度二次变化、位移三次变化的图形。计算在间隔终点(τ≡Δt)时后的值，导得速度和位移的增量方程如下：（7-6a*）（7-6b*）§7.6非线性分析的增量列式当前44页，总共62页。图7-6基于线性变化加速度的增量运动§7.6非线性分析的增量列式当前45页，总共62页。问题：由已知的ti时刻的反应——，求ti+△t时刻的反应——？增量的表达方式——三量相关，用哪个做基本的未知量？§7.6非线性分析的增量列式当前46页，总共62页。线性加速度的假定：在t=ti,ti+△t的间隔内，τ=0--△t，t=ti+τ§7.6非线性分析的增量列式当前47页，总共62页。§7.6非线性分析的增量列式当前48页，总共62页。

位移增量作为分析的基本变量，解式(7-6a*)可得加速度增量，并将这个表达式代入方程(7-6b*)，得：（7-7a*）（7-7b*）获得了用位移增量表达的速度和加速度增量。把方程(7-7*)代入方程(7-23),可导得下列的运动方程：（7-8*）§7.6非线性分析的增量列式当前49页，总共62页。最终把所有含已知初始条件的各项移到右边，给出（7-9a*）（7-9b*）

方程(7-8*)相当于静力增量平衡关系，即可将荷载增量除以刚度求得位移增量。在等效荷载和刚度项中包含惯性和阻尼的项反映了动力特性。解方程（7-8*），得出位移增量后，将此值代入方程(7-7b*)即可获得速度增量。下一时段的初始条件由该时段起点速度和位移值加上这些增量值得到。（7-8*）其中：§7.6非线性分析的增量列式当前50页，总共62页。

分析包含两个重要假定：

(1)加速度为线性变化；

(2)质量、阻尼和刚度特性在时间步长内保持常量。虽然时间步长很短时误差甚小，但这两个假定都不是完全正确的。因此，误差在增量平衡关系中出现，并积累。为了避免误差的积累，在分析的每一步中利用总的平衡条件消除误差。只要从总外荷载中减去总阻尼力和弹性力以表示时间步长起点的加速度就行了。§7.6非线性分析的增量列式当前51页，总共62页。§7.7线性加速度法步骤概要

对任一给定的时间增量，按如下程序进行运算：

(1)初始速度和位移值是已知的。它们或是前一增量的终点值或是问题的初始条件值；

(2)利用这些值及结构特定的非线性特性，可找出时间间隔内的阻尼c(t)、刚度k(t)以及阻尼力fD(t)和弹性力fS(t)的当前值，例如图7-5(c)和7-5(d)中所示；

(3)初始加速度由下式给出：（7-25）时间t时平衡方程的重新排列；

(4)等效荷载增量和等效刚度按方程(7-9*)计算；§7.7线性加速度法步骤概要当前52页，总共62页。

(5)由方程（7-8*）可求得位移增量，从而由方程(7-7b*)可求得速度增量；

(6)最后，获得时段终点速度和位移：（7-26a）（7-26b）§7.7线性加速度法步骤概要当前53页，总共62页。

当第6步运算完成时，这个时段的分析结束；下一个时段的分析，只需将上述整个程序重复进行即可。显然，连续进行上述运算，就可进行任意多个时间增量的分析，这样就能算出具有任何非线性性质的单自由度体系的全部反应时程。线性体系自然也可以用同样的方法进行处理。此时阻尼和刚度特性保持不变，因此分析的过程将稍为简单一些。§7.7线性加速度法步骤概要当前54页，总共62页。

逐步积分法的精度，依赖于时间增量Δt的长度，选取时注意三个因素：(1)作用荷载p(t)的变化速率；(2)非线性阻尼和刚度特性的复杂性；(3)结构振动周期T。

§7.7线性加速度法步骤概要当前55页，总共62页。

为可靠地反映这些因素，时间增量必须足够的短，其中最后一个因素是和体系的自由振动特性联系在一起的。一般来说，材料特性的变化不是关键性的因素，如果发生一个重大的突然变化，例如一个弹塑性弹簧的屈服，这时可以引入一个特殊再细分的时间增量来精确地处理这个影响。同时，要估算能恰当地模拟动力荷载主要形状的时间增量也并不困难。§7.7线性加速度法步骤概要当前56页，总共62页。