数字信号处理

二.X(z)含有重极点说明：上面反变换求出的都是右边因果序列，前提是ROC为某圆外。下面说明一下，对不同的ROC要求求反变换留数法：积分路径C包围了所有极点复变函数理论留数定理P62留数法部分分式展开法长除法练习：P85-10Z反变换2.6离散时间系统的转移函数也是系统单位抽样响应的Z变换，即设N阶LSI离散系统的差分方程一般形式为两边取Z变换整理得讨论：（1）若a(k)不全为0，则在有限z平面上存在极点，所以对应的反变换h(n)为无限长序列(左边、右边、双边)，从而所代表的系统为IIR系统，稳定性不一定系统结构上存在从输出到输入的反馈方程中存在a(k)y(n-k)项（2）若a(k)全为0，则可见，h(n)为有限长，b(r)即h(n)的各值所以，这种情况下系统为FIR系统，一定是稳定系统系统结构上没有输出对输入的反馈方程中只有y(n),没有y(n-k)2.7、离散时间系统的频率响应单位圆上的ZT是离散时间傅里叶变换（DTFT）h(n)反映系统时域特征，反映系统频域特征复指数信号同一个复指数信号乘复振幅因子系统的特征函数系统的特征值连续时间系统离散时间系统h(n)LSI系统的五种描述：互相之间可以求出2.8离散时间系统的极零分析（一）利用系统函数的极点分布分析系统的

因果性和稳定性

（二）由零极图估计系统的频率响应

g称为系统的增益因子，本式中g=b(0)P8511(1,2),12(1),14(1)请练习>>b=[3,-3.8,1.08,0];>>a=[1,-1.9,1.08,-0.18];>>zplane(b,a)>>b=[1];a=[1,-1.13,0.64];>>zplane(b,a)（一）利用系统函数的极点分布分析系统的

因果性和稳定性

结论：LSI系统，当且仅当其系统函数H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1时，该系统是稳定系统。LSI系统，当且仅当其系统函数H(z)的收敛域包括单位圆|z|=1时，该系统是稳定系统。稳定性例：请判断该系统是否稳定系统。分析：因为ROC不包含单位圆，故不稳定从另一个角度看，可以通过反变换求出可以看出h(n)不满足绝对可和，故也可判断出不稳定结论1：LSI系统，当且仅当其系统函数H(z)的收敛域在某个圆的圆外，且包括无限远点时，系统就是因果的。LSI系统，当且仅当其系统函数H(z)的收敛域在某个圆的圆外，且包括无限远点时，系统就是因果的。因果性结论2：某具有有理的系统函数的LSI系统是因果的，当且仅当其（1）系统函数H(z)的收敛域位于最外层极点外边某个圆的圆外；（2）且若H(z)表示成z的多项式之比，其分子的阶次不能高于分母的阶次。例：请判断该系统是否因果系统。分析：因为分子的阶次高于分母的阶次故无需知道ROC即可判断出系统不是因果的例：请判断该系统是否因果系统。分析：（1）收敛域在z=2之外分子阶次不大于分母阶次（2）整理H(z)故该系统是因果的由反变换也可看出系统是因果的结论：LSI系统，当且仅当其系统函数H(z)的全部极点都在单位圆内时，系统是因果稳定的。因果且稳定因果稳定性练习：已知分析不同收敛域，系统的因果性和稳定性。解：

的极点为<1，>1。

(1)收敛域，对应系统是因果系统，但收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。，系统非因果且不稳定。(2)收敛域(3)收敛域，对应的系统是一个非因果系统，由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。一个线性时不变系统的系统函数为为常数。（1）要求系统稳定，确定和的取值域；（2）要求系统因果稳定，重复（1）。

练习：的极点为。

（1）系统稳定的条件是的收敛域包含单位圆，即单位圆上不能有极点。所以，只要满足即可以使系统稳定。即a和b的取值域为除单位圆以外的整个平面。但系统不一定为因果系统。

（2）系统因果稳定的条件是的所有极点全在单位圆内，所以a和b的取值范围为

练习：（二）由零极图估计系统的频率响应

当频率从零变化到时，这些矢量的终点B沿单位圆逆时针旋转一周，从而可以分别估算出系统的幅度特性和相位特性。例2.8.1：已知LSI系统方程，用极零分析画出系统的幅频响应和相频响应相位卷绕与解卷绕P69例设一阶系统的系统函数为

用几何法分析其幅度特性。分析：系统零点是z=0,极点是z=0.5,零极图如右示。设系统频响中在单位圆上表示为点B当B点从逆时针旋转时，在点，由于极点矢量长度最短，幅频特性形成波峰。在时，极点矢量长度最长，幅频特性形成波谷。

处的零点矢量在B点变化过程中长度始终为1，不影响频响。？滤波器低通P217图6.1.1，图6.1.22.9滤波的基本概念AF、DF---------LP、HP、BP、BS数字滤波器设计的一般原则：若要使设计的滤波器拒绝某一个频率（即不让该频率的信号通过），应在单位圆上相应的频率处设置一个零点若要使设计的滤波器突出某一个频率（使该频率的信号尽量无衰减通过），应在单位圆内相应的频率处设置一个极点极点越接近单位圆，在该频率处幅频响应幅值越大，形状越尖原点处的极、零点均不影响幅频响应，仅影响相频响应例2.9.1分析零点对下面三个系统的幅频响应的影响。极点向量不影响幅频响应（1）z=-1,在处，幅频响应为0，；最大LP（2）z=1,在处，幅频响应为0，；最大HP（3），在处，幅频响应为0，最大BS例2.9.2分析极零点对下面三个系统的幅频响应的影响。数字滤波器设计的一般原则：若要使设计的滤波器拒绝某一个频率（即不让该频率的信号通过），应在单位圆上相应的频率处设置一个零点若要使设计的滤波器突出某一个频率（使该频率的信号尽量无衰减通过），应在单位圆内相应的频率处设置一个极点极点越接近单位圆，在该频率处幅频响应幅值越大，形状越尖原点处的极、零点均不影响幅频响应，仅影响相频响应练习：LSI收敛域包含单位圆，故系统稳定幅频响应为：相频响应为：2.10IIR系统的信号流图与结构系统结构上存在从输出到输入的反馈

（1）若a(k)不全为0，则在有限z平面上存在极点，所以对应的反变换h(n)为无限长序列，从而所代表的系统为IIR系统，稳定性不一定系统结构上存在从输出到输入的反馈（2）若a(k)全为0，则可见，h(n)为有限长，b(r)即h(n)的各值所以，这种情况下系统为FIR系统，一定是稳定系统系统结构上没有输出对输入的反馈离散时间系统的信号流图-------时域模拟加法器延迟单元乘法器画法：（分母多项式的常数项化为1，分子分母化为z的负幂降幂排列）1、分子多项式对应前向支路2、分母多项式对应反馈支路3、反馈支路系数取反4、延时器5、入x(n),出y(n)（一）IIR系统的直接实现推导：由于数字系统的字长总是有限的，因此其系数精度总是有限的，每一个系数的量化误差与乘法器的舍入误差对输出有积累效应，导致输出误差偏大，这是直接实现形式的一个缺点。因此，实际中，应尽量避免采用直接实现形式，而采取由一阶、二阶系统构成的级联或并联形式N个延迟单元、N+M个乘法器、2个加法器练习（二）IIR系统的级联实现二阶子系统信号流图设N≥M，将H(z)分成N/2个二阶z多项式的连乘（复数极零点成对出现，物理实现需实数，故二阶），若N奇数，化成（N+1）/2个二阶与一个一阶子系统并联实现误差较小因为并联结构的每一个子系统都独立，不受其他子系统系数量