圆锥曲线导数全国高考数学分类真题含标准答案

圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）一．选择题（共7小题）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）2．已知双曲线=1（a＞0，b1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=13．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原A．B．2C．D．4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则CA．B．C．D．5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）的离心率为（）的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x二．填空题（共6小题）两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为．A．B．3CA．B．3C．2D．48．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，11．已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=．12．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=．13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为．三．解答题（共13小题）14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．21212求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交点为M（1，m）（m＞0）．（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=．证明：||，||，19．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．求l的方程；求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．的坐标为（2，0）．当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中（1）证明：18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中（1）证明：k＜﹣；||成等差数列，并求该数列的公差．20．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，22．已知函数f（x）=﹣lnx．证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x）的切线．24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；若x=0是f（x）的极大值点，求a．25．已知函数f（x）=ex﹣ax2．若a=1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．（1）讨论f（x）的单调性；（x2））处的切线平行，证明x1（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g26．已知函数f（x）=﹣x+alnx．（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．1．双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（）由此可得c==2，圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题（含答案）参考答案与试卷解读一．选择题（共7小题）A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2）【解答】解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上，且a2=3，b2=1，∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B．的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1+d2=6，则双曲线的方程为（）【解答】解：由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线2．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为22．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1y=，即bx﹣ay=0，F（c，0），F是AB的中点，EF==3，EF==b，所以b=3，双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，可得：，解得a=．则双曲线的方程为：﹣=1．3．设F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是坐标原故选：C．点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|=|OP|，则C的离心率为（）∵|PF|=|OP|，∴|PF|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O，A．B．2C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（A．B．2C．D．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y=x，∴点F2到渐近线的距离d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，11∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），∴e==，4．已知F1，F2是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则CA．B．C．D．直线AP的方程为：y=（x+a），代入直线AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，即a=c，故选：C．的离心率为（）【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c，c），故选：D．∴题意的离心率e==．5．双曲线=1（a∴题意的离心率e==．5．双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，6．已知双曲线C：﹣y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与CA．B．3C．2D．4【解答】解：双曲线C：﹣y2=1的渐近线方程为：y=，渐近线的夹角故选：A．的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|=（）为：60°，不妨设过F（2，0）的直线为：y= ，故选：B．7．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y=﹣2xB．y=﹣xC．y=2xD．y=x则：解得M（，），解得：N（），则：解得M（，），解得：N（），则|MN|==3．8．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f′（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．故选：D．二．填空题（共6小题）故答案为：2．两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶10．已知点P（0，1），椭圆+y2=10．已知点P（0，1），椭圆+y2=m（m＞1）上两点A，B满足=2，则当9．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线N的点，则椭圆M的离心率为；双曲线N的离心率为2．【解答】解：椭圆M：+=1（a＞b＞0），双曲线N：﹣=1．若双曲线可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：；2．由P（0，1），=2，m=5时，点B横坐标的绝对值最大．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1），即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m，可得y1﹣2y2=﹣m，即有m=5时，x22有最大值16，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．解得y1=，y2=，则解得y1=，y2=，则m=x22+（）2，即有x22=m﹣（）2==，联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB=90°=0，∴•=02．【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵M（﹣1，1），∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+﹣4﹣+2=0，即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案为：212．曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a=﹣3．【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．13．曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．∴y′=，∴y′=，当x=0时，y′=2，∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x．故答案为：y=2x．三．解答题（共13小题）14．设函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]ex的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex．由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，可得（a﹣2a﹣1+2）e=0，解得a=1；（Ⅱ）f（x）的导数为f′（x）=[ax2﹣（2a+1）x+2]ex=（x﹣2）（ax﹣1）ex，若a=0则x＜2时，f′（x）＞0，f（x）递增；x＞2，f′（x）＜0，f（x）递减．x=2处f（x）取得极大值，不符题意；可得f（x）在x=2处取得极小值；增，若a＞0，且a=，则f′（x）若a＞0，且a=，则f′（x）=（x﹣2）2ex≥0，f（x）递增，无极值；若a＞，则＜2，f（x）在（，2）递减；在（2，+∞），（﹣∞，）递增，若0＜a＜，则＞2，f（x）在（2，）递减；在（，+∞），（﹣∞，2）递若a＜0，则＜2，f（x）在（，2）递增；在（2，+∞），（﹣∞，）递减，综上可得，a的范围是（，+∞）．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意．21212求椭圆C及圆O的方程；设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；解得a=2，b=1．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2+b2=c2=3，∴椭圆∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2+b2=c2=3，∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．由⇒k＜﹣．|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，S===，②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△ OAB 的 面 积 为16．如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设P（m，n），A（，y1），B（，y2），AB中点为M的坐标为（，），可得（）2=4•，（）2=4•，可得n=，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，化简可得y1，y2为关于y的方程y2﹣2ny+8m﹣n2=0的两根，可得y1+y2=2n，y1y2=8m﹣n2，则PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，可得m2+=1，﹣1≤m＜（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1（x＜0）上的动点，可得m2+=1，﹣1≤m＜0，﹣2＜n＜2，由PM垂直于y轴，可得△PAB面积为S=|PM|•|y1﹣y2|=（﹣m）•=[•（4n2﹣16m+2n2）﹣m]•=（n2﹣4m），可令t===，可得m=﹣时，t取得最大值；则S=t3在2≤t≤递增，可得S∈[6，]，△PAB面积的取值范围为[6，]．m=﹣1时，t取得最小值2，即2≤t≤，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交又a2=b2+c2，∴2a=3b，17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B17．设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，由椭圆的离心率为e=，∴=；由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；∴椭圆的方程为+=1；又|AQ|=，且∠OAB=，∴|AQ|=y，由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；由方程组，消去x，可得y1=，（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，点为M（1，m）（m＞0）．由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2由方程组，消去x，可得y2=；由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，解得k=或k=；∴k的值为或．18．已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中（1）证明：k＜﹣；||成等差数列，并求该数列的公差．将A，B代入椭圆C：+=1中，可得，∴k==﹣=﹣点M（1，m）在椭圆内，即，解得0＜m∴．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵线段AB的中点为M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m两式相减可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵++=，F（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∵m＞0，可得P在第一象限，故，m=，k=﹣1∵m＞0，可得P在第一象限，故，m=，k=﹣1由椭圆的焦半径公式得则|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．则|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，联立，可得|x1﹣x2|=所以该数列的公差d满足2d=|x1﹣x2|=，∴该数列的公差为±．则，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2=，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，则k=1，线的弦长公式|AB|===8，解得：sin2θ=，19．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．求l的方程；求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），当直线的斜率不存在时，|AB|=4，不满足；设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），∴直线l的方程y=x﹣1；方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物∴直线l的方程y=x﹣1；（2）过A，B分别向准线x=﹣1作垂线，垂足分别为A1，B1，设AB的中点为D，由抛物线的定义可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，则r=|DD1|=4，以AB为直径的圆与x=﹣1相切，且该圆的圆心为AB的中点D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，则D（3，2），∴θ=，则直线的斜率k=1，过D作DD∴θ=，则直线的斜率k=1，过D作DD1⊥准线l，垂足为D，则|DD1|=（|AA1|+|BB1|）20．设椭圆C：+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）．当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．=1，=1，∴F（1，0），∵l与x轴垂直，∴x=1，证明：（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k（x﹣1），k≠0，由，解得或，∴A（1.），或（1，﹣），∴直线AM的方程为y=﹣x+，由，解得或，∴A（1.），或（1，﹣），∴直线AM的方程为y=﹣x+，y=x﹣，直线MA，MB的斜率之和为kMA，kMB之和为kMA+kMB=+，由y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k得kMA+kMB=，将y=k（x﹣1）代入+y2=1可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=，x1x2=，∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k=（4k2﹣4k﹣k122+8k2+4k）=0（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB，综上∠OMA=∠OMB．21．记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），22．已知函数f（x）=﹣lnx．∴x＞0，f′（x）=﹣，设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．（Ⅰ）若f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．【解答】证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=﹣lnx，∵f（x）在x=x1，x2（x1≠x2）处导数相等，∵x1≠x2，∴x1x2＞256，∴列表讨论： x （0，16） 16 （16，+∞） g′（x） ﹣ 0 + g（x） ↓ 2﹣4ln2 ↑∴=﹣，∵x1≠x∴=﹣，∵x1≠x2，∴+=，由基本不等式得：=≥，由题意得f（x1）+f（x2）==﹣ln（x1x2），设g（x）=，则，（Ⅱ）令m=e﹣（|a|+k），n=（）2+1，f（n）﹣kn﹣a＜n（﹣﹣k）≤n（﹣k）＜0，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h′（x）==，其中g（x）=﹣lnx，∴g（x1x2）＞g（256）=8﹣8ln2，∴f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2．则f（m）﹣km﹣a＞|a|+k﹣k﹣a≥0，∴存在x0∈（m，n），使f（x0）=kx0+a，∴对于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由（1）知g（x）≥g（16），又a≤3﹣4ln2，∴﹣g（x）﹣1+a≤﹣g（16）﹣1+a=﹣3+4ln2+a≤0，∴h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴方程f（x）﹣kx﹣a=0至多有一个实根，综上，a≤3﹣4ln2时，对于任意k＞0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点．23．已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x）的切线．（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明当a≥e时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g斜率为lna．由g′（x）=，可得曲线y=g（x）在点（x2，g（x2））处的切线的斜率为．∵这两条切线平行，故有，即，∴x1+g（x2）=；（Ⅲ）证明：曲线y=f（x）在点（）处的切线l1：，曲线y=g（x）在点（x2，logax2）处的切线l2：．由a＞1，可知当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）h′（x） ﹣ 0 +h（x） ↓ 极小值 ↑∴函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）；（Ⅱ）证明：由f′（x）=axlna，可得曲线y=f（x）在点（x1，f（x1））处的切线的两边取以a为底数的对数，得logax2+x1+2logalna=0，的切线，存在零点．要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）只需证明当a要证明当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）只需证明当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），x2∈（0，+∞）使得l1与l2重合，即只需证明当a≥时，方程组由①得，代入②得：，③因此，只需证明当a≥时，关于x1的方程③存在实数解．设函数u（x）=，既要证明当a≥时，函数y=u（x）又u′（0）=1＞0，u′=＜0，故存在唯一的x0，且x0＞0，使得u′（x0）=0，即．，故lnlna≥﹣1．=．由（Ⅰ）可得ax≥1+xlna，当时，有由此可得，u（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，u（x）在x=x0处取得极大值u（x0）．∵∴下面证明存在实数t，使得u（t）＜0，∴存在实数t，使得u（t）＜0．切线．24．已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．若a=0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；若x=0是f（x）的极大值点，求a．【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．可得x∈（﹣1，0）时，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）时，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）递减，在（0，+∞）递增，u（x）≤=．因此，当au（x）≤=．因此，当a≥时，存在x1∈（﹣∞，+∞），使得u（x1）=0．∴当a≥时，存在直线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的，，f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，当a＜0时，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上单调递增，又f（0）=0．∴当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．当a≥0，x＞0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，故x=0不是f（x）的极大值点，不符合题意．显然h″（x）单调递减，∴当﹣1＜x＜0时，h″（x）＞0，当x＞0时，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）单调递减，又h（0）=0，∴当﹣1＜x＜0时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，当x＞0时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，∴x=0是f（x）的极大值点，符合题意；＜0，∴h″（x）