八年级数学上册三角形高中线与角平分线新版新人教版

八年级数学上册三角形高中线与角平分线新版新人教版第1页/共27页问题情景

如图，图中支撑太阳能电池板的三角形支架有多高呢？学习新知

牛牛文库文档分享第2页/共27页一、三角形的高画出一个锐角三角形的高.小活动1小思考如何描述三角形的高的画法与定义？

牛牛文库文档分享第3页/共27页总结

从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高.DABC注意：垂直符号的书写

如图，在在△ABC中AD⊥BC，点D是垂足，所以AD是△ABC

的一条高。

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在事先准备好的三角形纸片上，用直尺与三角板作出这个三角形的三条高，然后用折纸的方法，观察这三条高的位置关系。思考一下小活动21.你有什么发现？2.如果已知三角形的一条高，你知道它是哪一条边上的高吗？

牛牛文库文档分享第5页/共27页仔细观察你画对了吗？O总结

锐角三角形的三条高相交于一点，此点在锐角三角形的内部.ABCFDE

牛牛文库文档分享第6页/共27页小活动3

在纸上画出一个直角三角形或通过折纸的方法，画出它的三条高，它们有怎样的位置关系？ABCD三条高分别是：AB、BC、BD。总结

直角三角形的三条高交于一点，即是直角三角形的直角顶点.

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画一个钝角三角形，让学生尝试画出它的三条高？或通过折纸的方法找到它的三条高。小活动4思考一下观察三条高，看它们有什么样的位置关系？

牛牛文库文档分享第8页/共27页仔细观察ABCD总结

钝角三角形的三条高中，有两条在外面，一条在内部，且它们的延长线交于一点.

牛牛文库文档分享第9页/共27页表述

如下图，因为AD是△ABC的高（已知），所以AD⊥BC于D，（或∠ADB=∠ADC=90°）。

因为AD⊥BC于D，（或∠ADB=∠ADC=90°）（已知），所以AD是△ABC的边BC上的高.（高的定义）ABCD

牛牛文库文档分享第10页/共27页知识拓展1钝角三角形、锐角三角形、直角三角形都有三条高。2锐角三角形的三条高在三角形的内部，相交于一点；3直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条高在三角形内部，三条高不相交，但三条高所在的直线相交于三角形外一点.4三角形的高

牛牛文库文档分享第11页/共27页二、三角形的中线

画一条线将三角形的面积分成两半。小活动1思考一下1.所画出的线的有什么特点？2.为什么它就能把三角形的面积分成相等的两部分？它是线段吗？三角形中线的定义：连接三角形顶点和对边中点的线段叫做三角形的中线。总结

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任意画出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，然后分析这三条中线的位置关系。小活动2总结

任意三角形的三条中线都交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。

牛牛文库文档分享第13页/共27页知识拓展三角形的中线(1)一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，相交于一点.(2)三角形的中线是一条线段.(3)三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形.

牛牛文库文档分享第14页/共27页三、三角形的角平分线提醒

先画出一个任意三角形，分别画出一个三角形中的三个角的平分线。小活动1思考一下这三条角平分线的位置有哪些特点？三角形的形状多样，作图的规范性，可用量角器量.

牛牛文库文档分享第15页/共27页总结

三角形的角平分线定义：连接三角形顶点与该顶点内角平分线与对边交点的线段叫三角形的角平分线.一三角形的角平分线是三条线段。二提醒

牛牛文库文档分享第16页/共27页表述

如下图，因为BD是△ABC的角平分线（已知），所以∠ABD=∠CBD=∠ABC；或∠ABD=

∠ABC）

（已知），因为∠ABD=∠CBD（或∠CBD=

∠ABC，

所以线段BD是△ABC的角平分线.（角平分线定义）ODCBFEA

牛牛文库文档分享第17页/共27页知识拓展（1）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，相交于一点.（2）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线.三角形的角平分线

牛牛文库文档分享第18页/共27页（1）当AB＋AD＝15，BC＋CD＝6时，有2x＋x＝15，分析：由题意可知，中线BD将△ABC的周长分成AB＋AD和BC＋CD两部分（注意不是AB＋AD＋BD和BC＋CD＋BD两部分），故有两个可能：（1）AB＋AD＝15且BC＋CD＝6；（2）AB＋AD＝6且BC＋CD＝15．再由AB＝AC＝2AD＝2CD及三角形三边关系知（1）成立，（2）不成立．解：设AB＝AC＝2x，则AD＝CD＝x．因为4＋4＜13，故不能组成三角形.所以x＝5，2x＝10，BC＝6－5＝1．（2）当AB＋AD＝6，BC＋CD＝15时，有2x＋x＝6．所以x＝2，2x＝4，所以BC＝13．

（补充）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．例题讲解

牛牛文库文档分享第19页/共27页知识拓展（1）三角形三条高线所在直线交于一点，这一点常被称为这个三角形的垂心.（2）三角形三条中线交于三角形内的一点，这一点叫做三角形的重心，取一块质地均匀的三角形木板，用手指向上顶住三角形重心，木板会保持平衡.（3）三角形三条角平分线交点在三角形内部，它被称为三角形内心.

牛牛文库文档分享第20页/共27页1．三角形的高、中线、角平分线都是线段。2．三角形的高（所在直线）、中线、角平分线都相交于一点，钝角三角形的高线所在直线相交于三角形外.

牛牛文库文档分享第21页/共27页1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（

）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等边三角形C解析：锐角三角形三条高交于三角形的内部，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外部，只有直角三角形的高的交点在直角顶点．检测反馈

牛牛文库文档分享第22页/共27页点拨:利用中线等分三角形的面积来做．C2．在△ABC中，已知点D，E，F分别是BC、AD、CE的中点，且

＝4cm2，则

的值为（

）A．2cm2B．1cm2

C．

cm2D．

cm2

牛牛文库文档分享第23页/共27页答案:（1）图中共有8个三角形，分别是△BDF，△BDA，△BFA，△AEF，△AEB，△ADC，△ABC,△BCE.

（2）△BDF的三个顶点是B，D，F，三条边是BD，DF，BF．

（3）AB边是△ABF，△ABD，△ABE，△ABC的边．

（4）F点是△BDF，△ABF，△AEF的顶点．3.如图所示，在△ABC中，D，E是BC，AC上的两点，连结BE，AD交于F，问：（1）图中有几个三角形？并表示出来.（2）△BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？

（3）AB边是哪些三角形的边？（4）F点是哪些三角形的顶点？FEDCBA

牛牛文库文档分享第24页/共27页若AB+AD=30，则：x

+

x=30,4.在△ABC中，AB＝AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24和30的两个部分，求三角形的三边长.解：设三角形的腰AB=AC=x三角形的周长为24+30=54,所以三边长分别为16，16，22；∵三角形的周长为24+30=54∴三边长分别为20，20，14；因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．

解析:分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，