初高中数学衔接知识总汇

第一章数与式的运算

1、1绝对值

知识清单

1.绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它

a(a>0)

的相反数，零的绝对值仍是零，即时=0(4=0)

-a(a<0)

2.绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点

的距离。

3.两个数的差的绝对值的几何意义：卜-4表示在数轴上，数。和数方之

间的距离。

4.两个重要绝对值不等式：

|jc|<a(a>0)<»-«<x<a,|x|>a(a>0)=xV-a或x>a

问题导入：

问题1:化简：(1):|2x-l|⑵.卜-1|+卜-3|

问题2：解含有绝对值的方程

(1)|2x-4|=6；(2)：|3-2x|-2=5

问题3：至少用两种方法解不等式卜一1>4

知识讲解

例1:化简下列函数，并分别画出它们的图象:

(l)y=W；(2)y=-|2x+3|.

例2：解不等式：kM+k一三>4

巩固拓展：

1.(1)若等式同=一。，则成立的条件是-----

(2)数轴上表示实数X1,x2的两点A,B之间的距离为-----

2.已知数轴上的三点A,B,C分别表示有理数a,1,-1,那么H+1表

A、A,B两点间的距离B、A,C两点间的距离

C、A,B两点到原点的距离之和D、A,C两点到原点的距离之

和

3.如果有理数x,y满足（X-叶+卜-2y+l|=0,则

4.化简：

(1)|3-V-2|=|2X+3|.⑵I卜-113|

5.已知x=-2是方程2%-忸-1=-6的解，求m的值。

6.已知a,b,c均为整数,且k-4+卜-4=1，求卜-4+卜-可+斤d的

值

方法指导

学习本节知识，要充分领会绝对值的代数意义，从数和形两方面

去研究，体会分类讨论与数形结合的两种数学思想方法。

1、2二次根式与分式

知识清单

1.二次根式

(1)二次根式的定义：形如&(a20)的式子叫二次根式，其中a

叫被开方数，只有当a是一个非负数时，右才有意义。

(2)二次根式的性质：

①=。(&20);

a(a>0)

②77=同=,。(。=。)

-a(a<0)

③&(a20,b，0)

④岳知川心。)

(3)分母有理化：一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①C与后；

②y[a+y[b-^y/a—4b;

③Q+6与；

④m4a+ny/b^myfa-nVb

2.分式

(1)分式的意义：形如4的式子，若B中含有字母，且BM,则称

B

A为分式

B

（2）分式的通分与约分：当MHO时，4=4把="

BBxMBB+M

问题导入

1-V3

问题1：化简：（1）k+*—2（0<xVl）(2)

1+V3

问题2:（恒等式问题）若苧[=£+口一恒成立，求常数A,B的值

x[x+2）xx+2

问题3：解分式方程（不等式）

⑴方*答（“导

知识讲解

例1：求值：（1）2a2-5ac+2c'。，设e=，且，e>l,求e的值。

JR__9+，9—-21../内欣

（2）已知x,y是实数，且>=-----筋-----，求5x+6y的值。

例2：分式裂项求和

1_

（1）试证明:L——L_（其中〃是正整数）；

n(n+1)n〃+1

（2）计算:-------1--------1........+.........'

1x22x33x4-------------2013x2014

（3）证明;—匚+―匚+…+—I—是大于1的正整数）；

2x33x4〃（〃+1）2

巩固拓展

1.写出下列各式成立的条件:；卜-问7。

2.比较一2行与-3行的大小关系是:

3.对任意正整数n,而焉=—（：一看）

4.若，2x-l—Jy-3=0,贝U化简4爪乂7^十_^7等于

2x-y2EIx

=彳,则一

5.若

x+y3y

/上tbu，ia'—cib+b~

6.右'一二2则一r~—=

aa±b

7.已知：-1<a<2,求正心竺1+J。?+2。生的值

。一2。+1

方法指导

学习二次根式与分式要注意最后结果需保留最简二次根式与最

简分式，还要注意使它们有意义的条件。

1、3乘法公式

知识清单

1.平方差公式：（。+〃）（。-。）=a2-b1

2.立方差公式：（a-b）（a?+帅+〃）二a'-3

3•立方和公式：（a+b）（a2-ab+h2）=a3+b3

22222

4.完全平方公式：（a+份2=a+2ab+b.[a-/?）=a-2ab+b

2222

5.三个数的完全平方公式：（Q+力+c）=a+/?+c4-lab+2bc+2ca

6.完全立方公式：（4+0）3=/+3Q%+36?2一力）3=〃3一3〃2力+36^2一护

问题导入

问题1:平方差公式

下歹U各式：①（a-1）（-。+1）;②（a-1）（1+。）；③（-a-l）（a+l）；④

能利用平方差公式计算的是

问题2:完全平方公式

若a+^=3,求（a-%的值

aa

问题3：立方和（差）公式

设/_2》+4=0,求x'+9的值

知识讲解

例1：计算：

(X+1)(%—])(尤2+X+1)(九——X+1)

例2：已知a+b+c=4,o/?+bc+c〃=a，求/+〃+c?的值

巩固拓展

121,，J,1、

］、9a~4b办（）

2、若厂+立如+人是一个完全平方式，则k=

3、已知（a-"）?=8,（"z+〃）2=2,则〃/+〃2=

4、不论a,b为何实数，a2+b--2a-4b+S的值（）

A、总是正数B、总是负数

C、可以是零D、可以是正数也可以是负数

5、若实数x,y,z满足(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0,则下列式子一定成立

的是()

A、x+y+z=Ox+y-2z=0

C、y+z-2x=0D、x+z-2y=0

6、化简：(6+痣严-四产7

3

7、在中，三边a,瓦c满足a+6+c=zVIa2+/+c2

试探求418c的形状

方法指导

学习乘法公式应注意掌握公式的结构特点以及公式中字母的广泛

意义，还要注意掌握公式的逆向应用，特别是完全平方公式的运用就

是配方，配方法是一种很重要的数学思想方法。

1、4因式分解

知识清单

1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，

这种变形叫做把这个多项式因式分解(也叫作分解因式)

2.因式分解的常用方法：提取公因式法：公式法(乘法公式、求根公

式)；十字相乘法；分组分解法。

问题导入

问题1：提取公因式法分解因式：

(1)2a1b-Arab2(2)a\b-5)+a(5-b)

问题2：公式法分解因式

(1)x2-X+—(2)-/+16(3)x2-4x+1

4

问题3：十字相乘法分解因式:

(1)X2-3X+2(2)6X2-7X+2

问题4：分组分解法分解因式：/_孙_3》+3y

知识讲解

例1、把下列各式分解因式

(1)(3x-2y)2-(x-y)2(2)0-+8a/?—33Z?-

例2：把下列各式分解因式:

(])%2+a2-b2+2ax+2by(2)4一(尤2—4x+2)-

四.巩固拓展

1.在多项式中①x?+7x+6；②x?+4x+3；③x?+6x+8；@x2+7x+10；⑤

X2+15X+44,有相同因式的是()

A、只有①②B、只有③④

C、只有③⑤D、①和②；③和④；③和⑤

2.若多项式x?-3x+a可分解为(x-5)(x-b),则a、b的值分别是()

A、10,2B、10,-2C.-10,-2D、-10,2

3.多项式2x2-xy-15x?的~因式是()

A、2x-5yB、x-3yC>x+3yD、x-5y

4.把下列各式分解因式：

(1)-\3ah2^-39a3b2x5(2)m(x-y—z)-x+y+z

(3)3x2--(4)84—/

3

(5)6x2-7x+3(6)x2-x-1

(7)4——13/+9(8)a2-2ab+b2-\

+4Jab

5、已知：4a—2b+5=0,求

a+4ab的值

方法指导

因式分解要先看各项有没有公因式，若有公因式，则先提取公因

式；再看能否使用公因式法；对于二次三项式的多项式，可考虑应用

十字相乘法；对于四项或四项以上的多项式，要考虑分组分解法；若

以上方法均感到困难，可考虑用配方法、换元法、拆项法、添项法和

待定系数法等其它多种分解因式的方法。因式分解还应注意分解要彻

底。

第二章一元二次方程与二次函数

2、1一元二次方程

知识清单

1、一元二次方程式是指只含有一个未知数，并且未知数的最高次数

是二次的整式方程，该方程式的一般形式是：ax2+bx+c=0(a^0),其

中，ax?是二次项，bx是一次项，c是常数项，a、b是常数。其中aWO

是一个重要条件，否则就不能保证该方程未知数的最高次是二次。

2、一元二次方程最常规的解法是公式法，其次有因式分解和配方等

方法。

3、能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的

解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数

的方程的解也叫作这个方程的根)。

问题导入

一元二次方程ax2+bx+c=0(a^0)的根的情况可以由b2-4ac来判

定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根的判别式,

通常用“△”来表示，那么△同一元二次方程的根之间究竟有何关系？

知识讲解

例1：用适当的方法解方程：

(1)2(x+2)2-8=0(2)x(x-3尸x

(3)V3X2=6X-73(4)(X+3)2+3(X+3)-4=0

例2：判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)，如果方

程有实数根，写出方程的实数根。

(1)X2-3X+3=0；(2)x2-ax-l=0

例3：解下列关于x的方程：

(1)x2-ax+(a-l)=0;(2)x2-2x+a=0

巩固扩展

1.选择题：

(1)方程x2-2gkx+3k2=0的根的情况是()

A.有一个实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.没有实数根

(2)若关于x的方程mx2+(2in+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则

实数m的取值范围是()

A.m<-B、m>--

44

C、m<-,且mwOD、m>-,且mwO

44

2.填空：

(1)若a为方程X2+X-5=0的解，则a2+a+l的值为。

(2)方程mx2+x-2m=0(mw0)的根的情况是。

3.试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2-(2m+l)x+l=0

有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4.用适当的方法解下列一元二次方程；

(1)X2-5X+1=0；(2)3(X-2)2=X(X-2)；

(3)2X2-2V2X-5=0；(4)(y+2)2=(3y-l)2

方法指导

1.要特别注意的是，只要所给的方程有实数根，其根的判别式首先应

大于零。

2.应重视因式分解和配方在解一元二次方程中的作用。

2、2一元二次方程根与系数的关系

知识清单

对于一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),有：

(1)当△>()时，方程有两个不相等的实数根xi2=生在三；

2cl

(2)当△=()时一，方程有两个相等的实数根X|=X2=-2；

2a

(3)当4<0时，方程没有实数根。

问题导入

问题：一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根与系数之间有何关系？

知识讲解

例1：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的

值，再由方程解出另一个根。但由于我们学习了韦达定理，又可以利

用韦达定理来解题，即由于已知方程的一个根及方程的二次项系数和

常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和

求出k的值。

例2：已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根，并且

这两个实数根的平方和比两个根的积大于21,求m的值。

分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大

21得到关于m的方程，从而解得m的值，但在解题中需要特别注意

的是，由于所给的方程有两个实数根。因此，其根的判别式应大于零。

2

例3.若X1X2是方程X+2X-2007=0的两个根，试求下列各式的值:

(1)x：+x；；(2)—+—；

xxx2

忖_引.

(3)(XI-5)(X2-5)；(4)

分析;本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出

现复杂的计算。这里可以利用韦达定理来解答。

例4：求证：若X1和X2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0),则

（其中△=b2-4ac）.

巩固扩展

1.选择题

(1)已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1,则它的另一个根

是()

A.-3B.3C.-2D.2

(2)下列四个说法：

①方程X2+2X-7=0的两个根之和为-2,两根之积为-7；

②方程X2-2X+7=0的两根之和为-2,两根之积为7；

③方程3x2-7=。的两根之和为0,两根之积为.

3

④方程3X2+2X=0的两根之和为-2,两根之积为0.

其中正确的说法的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

(3)关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的

值是()

A.OB.1C.-1D.0或-1

2.填空

(1)方程kx2+4x-1=0的两根之和为-2,则k=

(2)方程2x2-x-4=0的两根为a,B，则(^+华二

(3)已知关于x的方程x2-ax-3a=0的一个根是-2.则它的另一个根是

(4)方程2X2+2X-1=0的两个根为Xi和X2.贝目=

3.求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程X2-7X-1=0各根的相

反数。

4.关于x的方程x2+4x+m=0的两根为xi和x2满足归-引=2,求实数

m的值。

方法指导

1.韦达定理实现了不解而求，在今后学习中至关重要，应予充分关注。

2.在解题中需要特别注意的是，有实数根的方程的判定式首先应大于

零。

2、3二次函数的概念、图象和性质

知识清单

1.定义：形如y=ax2+bx+c=0(aW0)的函数叫做关于x的二次函数。

2.二次函数的图象与性质;图象，开口，对称轴，顶点，最值，增减性

等方面要弄清楚。

3.二次函数图象的画法：先配方求出对称轴和顶点，确定开口方向，

接下来利用对称性列表，最后描点画图，作草图时,应抓住以下五点:

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点。

问题导入

问题：二次函数解析式有儿种常见的表达式?

知识讲解

例1：已知某二次函数的最大值为2,图象的顶点在直线y=x+1上，

并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析式。

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶

点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求

解出系数a.

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置

求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题，因此,

在解题时，要充分挖掘题目所给的题目所给的条件，并巧妙地利用条

件简捷地解决问题。

例2：已知二次函数的图象过点(-3,0),(1.0),且顶点到x轴

的距离等于2,求此二次函数的表达式。

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上

就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设

成交点式。

分析二：由于二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),所以，对称

轴为直线x=T,又由顶点到x轴的距离为2,可知顶点的纵坐标为2

或-2,于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后在利

用图象过点(-3,0)或(1,0),就可以求得函数的表达式。

说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不

同角度。利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于

利用条件，选择恰当的方法来解决问题。

例3：已知二次函数的图像过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此函数的表达

式

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出，在什么情况下，分别

利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

例4：把二次函数y=x2+bx+c的图象向上平移2个单位长度，再向左

平移4个单位长度，得到函数y=x2的图象，求b,c的值。

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图象的平移规律来解决问

题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图象的变换规律。

这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一，是直接利用条件

进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用

逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算

量小的优点。今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择

恰当的方法来解决问题。

巩固扩展

1.选择题

(1)函数y=-x4xT的图象与x轴的交点个数是()

A.0个B.1个C.2个D.无法确定

(2)函数y=-l(x+l)2+2的顶点坐标是()

A.(1,2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(-1,-2)

2.填空题

(1)已知二次函数的图象经过与x轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二

次函数的解析式可设为y=a(aWO)

(2)二次函数y=-x2+243x+1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

3.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式。

(1)已知二次函数的图象经过点A(O,T),B(1,O),C(-l,2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0),(5,0),且与y轴交于

点(0,-3)；

(4)已知抛物线的顶点为(3,-2),且与x轴两交点的距离为4.

4.某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)

与产品的日销售量y(件)之间关系如下表所示：

X/元130150165

y/件705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大

的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多

少？

方法指导

1.在求二次函数解析式时，要充分挖掘题目所给的条件，选择适当形

式以简化计算。

2.要牢固掌握二次函数图象的变换规律。

2、4二次函数的最值

知识清单

二次函数y=ax2+bx+c(aNO)在自变量X取任意实数时的最值情况;

当a>0时，函数在x=-2处取得最小值金生，无最大值；

2。4a

当aVO时，函数在x=-2处取得最大值但必1,无最小值。

2a4a

问题导入

二次函数y=ax2+bx+c(aW0)在自变量x取任意实数时的最值是如何

得到的？

知识讲解

例1：当x20时，求函数y=-x（2-x）的取值范围。

例2：当1WxW2时，求函数y=-x2-x+1的最大值和最小值。

例3：某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商

品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数

m=162-3x,30WxW54.

（1）写出商场卖出这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间

的函数关系式；

（2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定位多少

最合适？最大销售利润为多少？

例4：当tWxWt+1时,求函数7_|的最小值(其中t为常数)。

巩固扩展

1.抛物线y=x?-(m-4)x+2m-3,当m=时，图象的顶点在y轴

上；当m=___时，图象的顶点在x轴上；当m=___时，图象过原点。

2.用一长度为L米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其中所围成的

最大面积为0

3.设a>0,当TWxWl时，函数y=-x2-ax+b+1的最小值是-4,最大

值是0,求a,b的值。

4.已知函数y=x2+2ax+l在TWxW2上的最大值为4,求a的值。

方法指导

1.二次函数最大值或最小值的求法。

第一步确定a的符号，a>0时有最小值，aVO时有最大值；

第二步配方法求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。

2.求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范

围的先对位置。

例如：y=ax?+bx+c在mWxWn（其中mVn）的最值。

第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：x=x0；

第二步：讨论；

（1）若a>0时求最小值或a<0时求最大值，需要分三种情况讨论：

①对称轴小于m即x0<m,即对称轴在mWxWn的左侧；

②对称轴mWxoWn,即对称轴在mWxWn的内部；

③对称轴大于n即x0>n,即对称轴在mWxWn的右侧。

（2）若a>0时求最大值或a<0时求最小值，需要分两种情况讨论：

①对称轴x°W丝即对称轴在mWxWn的中点的左侧；

2

②对称轴x°>二七，即对称轴在mWxWn的中点的右侧；

2

2、5一元二次不等式的解法

知识清单

1.一般地，用符号“V"（或"W”），（或“2"），

连接的式子叫做不等式。（不等式中可以含有未知数，也可以不含有

积数）

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,

系数不为0,左右两边的整式的式子叫做一元一次不等式。

2.不等式的基本性质

(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)(0除

外)，不等号的方向不变。

(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改

变。

问题导入

问题1：已知二次函数y=x'x-6,当取x何值时，y=0?当取x何值

时，y<0?

问题2：怎样解关于x的一元二次不等式ax、bx+c>0(aHO)呢？

知识讲解

例1：解下列不等式：

(1)x-2x-8<0；(2)X2-4X+4^0；

(3)x-x+2<0.

例2：已知对于任意实数x,kx?-2x+k恒为正数，求实数k的取值范

围。

例3：解关于x的不等式x2-x-a(a-1)>0

例4：解关于x的一元二次不等式x2+ax=l>0(a为实数)

分析：对于一元二次不等式，按其一般解题步骤，首先应该将二次项

系数变成正数，本题已满足这一要求，欲求一元二次不等式的解，要

讨论根的判别式△的符号，而这里的△是关于未知系数的代数式，△

的符号取决于未知系数的取值范围。因此，再根据解题的需要，对4

的符号进行分类讨论。

巩固扩展

1.解下列不等式；

(1)2x2+x<0；(2)X2-3X-18^0

(3)-x+x^3x+l；(4)x(x+9)>3(x-3).

2.已知关于x的不等式mx2-x+m<0的解是一切实数，求m的取值范

围。

3.解关于x的不等式x2+2x+l-a2^0.

4、已知不等式ax2++c<0（。w0）的解是x<2或x>3,求不等式

bx2+ax+c>0的解。

方法指导：

解一元二次方程的一般步骤是：

（1）化二次项系数为正

（2）若二次三项式能分解成一个因式的积，则求出两根冷々，那么

“>0”型的解为x<%必>々（俗称两根之夕卜）；“<0”型的解为M<尤<々

（俗称两根之间）

（3）否则，对二次三项式进行配方，变成

以2+区+c=.（九+2/+它士，结合完全平方式为非负数的性质求解

2a4a

2、6简单的多元多次方程组

知识清单：

1、二元一次方程：一个方程含有两个未知数，并且未知数的指

数都是1的整式方程，叫做二元一次方程

二元一次方程组：含有两个相同未知数的两个一次方程所组成的

方程组叫做二元一次方程组

二元一次方程的解：适合二元一次方程的一组未知数的值叫做这

个二元一次方程的一个解

二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫

做这个二元一次方程组的解，二元一次方程组的解必是它所含的二元

一次方程的解

2、方程Y+2孙+V+x+y+6=0是一个含有两个未知数，并且含有

未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方

程。其中/,2孙,y2叫做这个方程的二次项，叫做一次项，6叫做常

数项

问题导入：

问题1、解二元一次方程组的基本思想是什么？有哪些常用方法？

问题2：解多元多次方程组基本思想是什么？

知识讲解：

例1：解方程组「十尸：①

［呼=12②

22

4y-4=0①

例2：解方程组x+

尤_2y_2=0②

分析：二元二次方程组对于我们来说较为生疏，可以将其转化为我们

熟悉的形式。注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该

方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将

所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题

说明：在解类似于本题的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的

代入消元法来求解

x+y=20①

例3、解方程组,y+z=19②

x+z=21③

巩固拓展:

1、下列各组中的值是不是方程组卜'V=13的解？

x+y=5

(1)卜=2M)/=3(3)卜=1(4)

y=31y=21y=4

2、解下列方程组:

y=x+5x+y=3

(1)(2)

V+y2=625xy=-10

22

y2=2x

(3)—।—1(4)

5422

y=x-3x+y=8

3、甲、乙两同学解方程组（奴已知甲的正确解答是「=2

ca+2y=10Iy=4

乙由于看错了c,求出的解是"=3,求凡4仁的值

y=6.5

2x+y+z=15

4、解方程组＜x+2y+z=16

x+y+2z=17

方法指导：

解多元多次方程组的基本思想是“消元”和“降次”，将多元转

化为一元，将高次转化为一次。因此，掌握好消元和将次的一些方法

和技巧是解多元多次方程组的关键

第三章数学应用题

k知识点X

列方程（组）解应用题的一般步骤、列方程（组）解应用题的核

心、应用问题的主要类型

K大纲要求》

能够列方程（组）解应用题

列出方程（组）解应用题的一般步骤是：

1、审题：弄清题意和题目中的已知数、未知数；

2、找等量关系：找出能够表示应用题全部含义的一个（或几个）

相等关系；

3、设未知数：据找出的相等关系选择直接或间接设置未知数

4、列方程（组）：根据确立的等量关系列出方程

5、解方程（或方程组），求出未知数的值；

6、检验：针对结果进行必要的检验；

7、作答：包括单位名称在内进行完整的答语。

3、1行程问题

知识清单

1、基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、

时间、行程三者之间的关系。

2、基本公式：路程=速度x时间；路程+时间=速度；路程+速度=时

间

关键问题：确定行程过程中的位置

相遇问题：速度和x相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）

追击问题：追击时间=路程差♦速度差（写出其他公式）

流水问题：顺水行程=（船速+水速）x顺水时间

逆水行程=（船速一水速）X逆水时间

顺水速度=船速+水速

逆水速度=船速一水速

静水速度=（顺水速度+逆水速度）-2

水速=（顺水速度一逆水速度）+2

流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。

过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。

基本题型：已知路程（相遇问题、追击问题）、时间（相遇时间、追

击时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求出第三个量。

问题导入

问题1：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时

行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时一，快车再开。两车相向而行。问快车开出多

少小时后两车相遇？

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？

(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与

慢车相距600公里？

(4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车

追上慢车？

(5)慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出

后多少小时追上慢车？

问题2：A、B两地相距82km,甲骑车由A向B驶去，9分钟后，乙

骑自行车由B出发以每小时比甲快2km的速度向A驶去，两人在相

距B点40km处相遇。问甲、乙的速度各是多少？

知识讲解

例1：甲、乙两人分别骑车从A,B两地相向而行，甲先行1小时后,

乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原

来的方向继续前进。乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，

结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，

已知乙比甲每小时多行驶4千米，求甲、乙两人骑车的速度。

例2：甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，

列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲

城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行

驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁

路现有的条件下列车还可以再次提速.

巩固扩展

1、甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相

向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多

走1千米，结果甲到达3地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每

小时走多少千米.

2、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线

航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了

720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时

快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？

3、2利润问题

知识清单

1、每件商品的利润=售价-进货价

毛利润=销售额-费用

利润率=（售价-进价）/进价xlOO%

2、（1）销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、利润等

（2）有关关系式：

商品利润=商品售价一商品进价=商品标价X折扣率一商品进价

商品利润率=商品利润/商品进价

商品售价=商品标价X折扣率

问题导入

问题1：一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠

卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？

分析：探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元

进价折扣率标价优惠价利润

X兀8折(1+40%)x元80%(1+40%)15元

X

问题2：西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/

千克的价格出售，每天可售出200千克.为了促销，该经营户决定降

价销售.经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多

售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想

每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？

知识讲解

例1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，

每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若

每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈

利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？

例2、某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增

加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售

价，售完余下的茶叶.在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的

进价.

巩固拓展

1、黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可

售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六♦一”国际儿童节，商场

决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市

场调查发现：如果每件童装降价4元,那么平均每天就可多售出8件.

要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价

多少元？

2、、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按

该书定价2.8元现售，并快售完.由于该书畅销，第二次购书时一，每

本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次

多10本.当这批书售出［时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余

的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它

因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？

3、3利息问题

知识清单

1、储蓄存款利息计算的基本公式为：利息=本金X存期X利率

利率的换算：

年利率、月利率、日利率三者的换算关系是：

年利率=月利率X12（月）=日利率X360（天）；

月利率=年利率+12（月）=日利率x30（天）；

日利率=年利率+360（天）=月利率+30（天）。

使用利率要注意与存期相一致。

利润与折扣问题的公式：

利润=售出价一成本

利润率=利润・成本x100%=（售出价（成本-1）x100%

2、涨跌金额=本金x涨跌百分比

折扣=实际售价+原售价x100%（折扣VI）

利息=本金x利率x时间税后利息=本金x利率x时间x（l—20%）

问题导入

问题1：某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半

年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利

息税）分析：等量关系：本息和=本金X（1+利率）

问题2：(2012娄底市)为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降

低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，

设平均每次降价的百分率为x,则下面所列方程正确的是()

A.289(1-x)2=256B.256(1-x)2=289

C.289(1-2x)=256D.256(1-2x)=289

分析：对于连续两次增长或降低的问题，可以直接套用式子.若初始

数值为a,连续两次增长或降低后的数值为b,平均增产率或降低率

相同，可建立方程：a(x±l)2=b.

知识讲解

例1：市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某

种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药

品平均每次降价的百分率是多少？

巩固扩展

1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了

20%,商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升,

十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.

2：王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银

行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工

程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第

一次存款时年利率的90%,这样到期后，可得本金和利息共530元，

求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税）

第四章形

4、1面积与体积

衔接目标：

在小学初中数学中，我们认识了各种各样的图形，他们的面积以

及体积是我们考试的一个重点内容。

知识清单：

1、面积：

三角形的面积公式：

平行四边形的面积公式：

梯形的面积公式：

圆的面积公式：

长方形的面积公式：

正方形的面积公式：

2、体积：

正方体的体积公式：

长方体的体积公式：

圆锥的体积公式：

圆柱的体积公式：

球的体积公式:

问导入：

问题1、求阴影部分的面积

问题2：从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖

去一个以圆柱上底为底，下底面的中心为顶点的

圆锥，得到一个如图所示的几何体，则这个几何

体的体积为

知识讲解：

例1：平湖校园有块草坪如图所示,

他的面积是多少？

例2：圆锥的侧面展开为扇形，若其弧长为2万。篦，半径为痣丽,

求该几何体的体积？

巩固拓展：

1、求一个正四面体的内切球半径与外接球的半径之比?

2、已知下图的两个正方形边长分别为6dm

和4dm,求图中的阴影部分的面积

4、2比例性质

衔接目标：

在初中数学中，比例性质不作要求，平行线分线段成比例定理要

求不高，而在高中数学的解析儿何、立体儿何、平面向量和空间向量

中，这些内容都是在要求范围内。因此通过本节的学习，要记住并理

解比例性质、平行线分线段成比例定理，且能更灵活的应用

知识清单：

1、比例性质

①、比例的基本性质：---<^>ad-be

bd

②、反比例性质：巴，=叽工

bdac

③、更比性质：g，。0.

bclcd

2、平行线分线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

特别地，在三角形中有：

①、平行于三角形的一边的直线截其他（或两边的延长线），所

得的对应线段成比例

②、平行于三角形的一边，并且和其他

两边相交的直线，所截得的三角形的三边与

原三角形的三边对应成比例

如图，/J4%，有||=警

当然也有普器

在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对

应关系，是“对应”线段成比例。

问题导入：

问题1：求证：色也=*（合比性质）

bdbd

问题2：求证：g，=.."s+d+…+»0）0-+，+…+加，（等比性

bdnb+dH-----vnb

质）

问题3：如图，在AABC中，EF//DC,DE//BC,求证:

(1)、AF：FD=AD：DB

(2)、AD-^AF-AB

知识讲解：

例1、已知怒=|,则.

例2、如果±=?=%0,那么山上=

234y-z

例3、如图，F是四边形ABCD对角线AC

上的一点，EF//BC,FG//ADo

-u.AECG,

求证：一+——=1

ABCD

巩固拓展：

1、已知。力,C均为非零实数，，且满足"之=幺*="匕

cba

求(a+价S+c)(c+a)的值

abc

2、如图。AB//EF//CD,

⑴、AB=10,CD=15,AE：ED=2:3,

求EF的长

(2)、AB=a,CD=b,AE：ED=k,求EF

的长

4、3三角形四心

衔接目标：

在初中数学中，三角形的四心要求不高，而在高中数学中解

析儿何、解析儿何、立体儿何、平面向量和空间向量中，这些内容都

是在要求范围内。因此通过本节的学习，要记住并理解三角形的四心

定义和性质且能更灵活的应用

知识清单：

三角形的四心

(1)三角形重心

三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心

定理：三角形的重心到定点的距离等于它到对边中点的距离的两

倍

(2)三角形的内心

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，这个点到三角形三

边的距离相等

(3)三角形的外心

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心

三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，这个点到三角

形三个顶点的距离相等

(4)三角形的垂心

三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心

锐角三角形的垂心比在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶

点；钝角三角形的垂心在三角形外

问题导入：

问题1：求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的

两段长度之比为2：1

问题2：求证：三角形的三条高交于一点.

问题3：求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为

正三角形.

知识讲解:

B

例1：如图，在AABC中,AB=5,

BC=12,AC=13,且G为重心，O

COA

为外心，试求GO

例2：如图1,在MBC中，AB二3,BC=5,AC=4,求这个三角形

的内切圆半径和外接圆半径

如图2,在中，AB=AC=4,BC=2,求这个三角形的内切圆

半径和外接圆半径

如图3,在AABC中，AB=AC=2点,BC=6,求这个三角形的内切

圆半径和外接圆半径

)O

区

图图

e12图3

巩固拓展:

1、设G为的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四

边形GMAN和AGBC的面积相等

4、4相似三角形

衔接目标：

在初中数学中，三角形的相似的性质与判定要求不高，而在高中

数学的解析几何、立体几何、平面向量和空间向量中，这些内容都是

在要求范围内。因此通过本届的学习，要记住并理解三角形的相似的

性质与判定，且能更灵活的应用

知识清单：

1、三角形相似的判定定理

①、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两角对应相等，

那么这两个三角形相似

简称为：两脚对应相等的两个三角形相似

②、如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，

并且夹角相等，那么这两个三角形相似

简称为：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

③、如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，

那么这两个三角形相似

简称为：三边对应成比例的两个三角形相似

2、三角形相似的性质

①、相似三角形的对应角相等

②、相似三角形的对应边成比例

③、相似三角形的对应高线成比例，对应中线的比和对应角平分

线的比都等于相似比

④、相似三角形的周长比等于相似比

⑤、相似三角形的面积比等于相似比的平方

问题导入：

问题1：如图所示，AB//EF//CD,若

AB=6cm,CD=9cm,求EF

问题2：如图所示，在平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点,

DE交BC与F,已知BE：AB=2：3,

S&BEF=4，求S&CDF

知识讲解：

例1、在AABC中，AD为4AC的角平分线,求证：煞=||

例2、如图所示，在AA8C中,NBAC=120"，AD平会”AC交BC于D,

求证：——

ADABAC

例3：如图所示，在平行四边形ABCD

中，AC与BD交于点O,E为AD延长

线上一点，OE交CD于F,EO的延长线

交AB于G,

求证:ABAD

~DF~~DE

巩固拓展：

1、小明欲测量一古塔的高度，他站在

该塔的影子上前后移动，直到他本身影

子的顶端正好与塔的影子的顶端，此时

他距离该塔18m,已知小明的身高是

1.6m,他的影长是2m,求塔的高度

4、5直角三角形

衔接目标：

在初中数学中，直角三角形性质，射影定理不作要求，而在高中数学的解析

儿何、立体儿何、平面向量和空间向量中，这些内容都是在要求范围内。因此通

过本届的学习，要记住并理解直角三角形的性质、射影定理，且能更灵活的应用

知识清单：

1、勾股定理:

直角三角形两直角边（即“勾”，“股”）边长平方和等于斜边（即

“弦”）边长的平方。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b,斜

222

边为c,那