循环矩阵的性质及其应用概要

一。相关概念

循环矩阵的性质及其应用概要目录.................................................-2定义1.1...............................................--定义1。2..............................................-3-定义1。3..............................................-3-定义1.4...............................................--二循环矩阵的性质

..........................................-3-2.1环矩阵本性质3-2。2关于循环矩阵的判定相关性质........................--2.3环矩阵逆的判定及互素推论.......................6-2.4环矩阵一个定理及其得出的推论--2。5循环矩阵对角化相关性质............................-72。6等比数列构成的循环矩阵相关性质....................-9-2.7环矩阵列式与特征值相关性质2。8循环矩阵的奇异性-122。9循环矩阵与向量空间相关性质.......................-三．广义循环矩阵

............................................12-定义3.1..............................................-13-定义3。2.............................................-13-推论3。1.............................................-14-推论3。2.............................................-14-推论3.3..............................................-14---

循环矩阵的性质及推论3。4.............................................-14-定义3.2..............................................-14-定义3。3.............................................-14-定义3。4.............................................-15-定义3.5..............................................-15-参考文献

................................................…。.-15-循环矩阵性研一相关概念定义。1具有以形式的阶阵A称为关于aa,,0

n

的循环矩阵ana

aaaa

aanaaaana0

显然，A

由首行元素惟一确定，因此可简记为Aa)0

.特别地n

阶循环矩阵：--

循环矩阵的性质及其应用概要D

010

称为n

阶基本循环矩阵，简记为

Dcirc

显然，D,

2

,

3

,D

n

I

(

n

阶单位矩阵）都是循环矩阵，由得AaI01n

n,设(x)aa02

n

x

n则Af()

,这时I0

.记

为复数域C

上的全体n

阶方阵，R

为实数域上的全体n

阶方阵，它们分别构成复数域和实数域上的维向量空间，记trA

为矩阵A的，AH为A的转置共轭阵定义2[2]设AC

n

(

n

),

如果矩阵A

的最小多项式等于特征多项式称A

为循环矩阵定义。[2]设A

是n

维向量空

上的个性变，若存在量

，得,

A

无关.则称为A的个循环向量定义[4]已知阶基本循环矩阵D

00

,

1

并令I

i

Di(i

1,2,

)，称IIII1

n

为循环矩阵基本列（其中ID

n

I

n

为单位矩阵二循环矩阵的性质2循环矩阵基本性质性质2.1。1[3]循环阵基本列IIII1

n

是线性无关的。--

bb性质。1[3]任意的阶环矩阵A都可以用循环矩阵基本列线性表出,即II0

In

。性质2.1。3阶循环阵的和矩阵为循环矩阵.证明

设A

aaa2naaa0naanaaa30

n

b2bbb1nbbbbb0

B

aaanaa1naaanaaa20

bb2nbbbbn0nbn0bb3

显然AB

aaa1122aan01nan0naaa1200为循环矩阵。

定理2.1.1设、

为n

阶循环矩阵有：(1)乘积AB仍是循环矩阵，且满足乘法交换律，即BA；(2）若A

可逆,则A

的逆矩阵也是循环矩阵;证明（1）设aI01

2

n

n

f()

，IDDbDnD)012

，因为DnDn（其中K

为非负整数DI

以f()g(D)g()(D)h()BA

，此处(P)

为不高于

次的多项式，因此

为n

阶循环矩阵且

。（2）设A

为

阶可逆循环矩阵求A

的逆矩阵，需求得矩阵

b2nb1nbbn0bb3

--

tr()Itr)Atr()Itr)AH满足条件I即可设AaI01

2

n

n，I02

2

bn

n，有ID202

n

nIDD01

n)=

aIabbabDabb00n1n01n01n

n要使I

，则以下方程组必须成立：bab1b001n

b1n解以上方程组可转化为求解：(,b,012

bn

(1,0,

因为可逆,所以AT

,因此方程有唯一的解bb,,02

,

可得到唯一的矩阵，B为的逆矩,且B为循环矩阵性质

阶循环矩阵

的伴随矩阵*

也是循环矩阵.证明

伴随矩阵A*A

,由定。1。1知nI2b02n为循环矩阵，因此*AID2DIAbDAbD2Ab01212n也是循环矩阵。2.2关于循环矩阵判定相关质由定1.2，有如下性质：

D

n引理2.2。1[2]设A

(

n

),

则HA)rank(AAH)rank(A)

。定理2.2。1[2]设An则A为循环矩阵的充要条件是矩阵

tr(I

H

I)

tr(I

H

)

tr(I

H

A

)

tr(AHItrHA)HH是满秩的由定，有如下性质：

tr(AHntr()A--

引理2.22[2]设A是维量空间上的一个线性变换的最小多项式等于特征多项式。

循环矩阵的性质及其应用概要有一个循环向量的充要条件是A由此可知A

为循环矩阵的充要条件是A

有一个循环向量。定理设Cn(R),rank(A),则A

为循环矩阵证明

由于

n

)rank(A

)

-rank(A

n-1

)n)

n的核空间的维数小于A

的核空间的维数。所以必存在向量()

,使得An0

,而n

.下面证明就是A的一个循环向量,即,n性无关设xx,(R1n

，且满足1n

n

，则xAAnnA12n12

2。1所以x，xA

n，从而

n

AA2

n0

，即x2

n

0

,所以

，3

n

n

。依次类推下去，可得xx1是循环矩阵。环向量，所以A

，因此A

n性无关，即为

的一个循2.3循环矩阵可逆判定及互推论推论。3[5]循环阵A可逆的充要条件是方程ax0无单位根。02n推论2。3。2设A

是以aa1

a

n

为元素

阶循环阵，则A

可逆的要条件是x)a1

2

axn

n与x

n

互素，即(f(),

n

.证明

由Af(f()f)12

，

可逆的充要条件是

，即x)a1

2

axn

n与x

n

没有公共根而(f(xx

n

.推论2.3。3x)a1

2

axn

n与x

n

互素,则x)ax11

n

x，x)a2

n

xxn

n

x

n……

n

x)axx23

2

1

n都与

n

互素。--

00n000n0ni证明

因为分别以f(x),(12

,f

n

(x)

的系数为元素的循环矩阵和以f(x

的系数为元素的循环矩阵的行列式最多相差一个符号,由论2.3。2便可推出此推论。2.4循环矩阵的一定理及其出的推论定理[5]

设循环矩阵A

aaaa

aaaa

aanaaaana0

0

111

10nn

1

2

n0

111

1nnn

其中jijij

,i,;

2j

j

i2

j

0,1,2,

,0

,为所有n次单根1我们不难由定理2.4。1得到如下推论这里证明略。在下面推论中，A和定相同.

,所表示的意义均i推论[5]循环矩阵

的秩为,1

,2

中非零数的个数。n2.5循环矩阵对角相关性质性质任何一个循环矩阵A

在复数域上都与一个对角矩阵相似。证明

阶循环矩阵的特征值为2k2kcossin(k0,1,2,nn

,ni由于(kj),kj

又因D

相似于对角矩阵01

n

即存在可逆矩阵P

,

P

设AI2012

n

Df(

是任意一个循环矩阵，则相似于对角矩阵diag

),f(0

),(1

)n事实上

--

循环矩阵的性质及其应用概)fP

aI0

Pn

(0

(1

)n

定理2.5。1任何一个对角矩阵都相似于一个循环矩阵。证明

设

是n

阶对角矩阵为复数。其中,,1n构造线性方程组

1n0100na011

12

012nnnn其中0

是n1

阶循环矩阵D的特征值2k2kcos(k0,1,2,n

,n则以,aa0

n

为未知数的上述方程组有且仅有唯一解,因为的系数列式是范德蒙行列式,且,0

互不相等，从而数行列式不为零。1构造n阶环矩阵aIDD0

n

n则A

的特征值为1

,2

,

。n由性。5

相似于对角矩阵diag

1

2

n

推论

阶方阵A

相似于对角矩阵的充要条件是A

相似于某个循环矩阵证明

充分性若相于环矩阵B由性2.5B与某对角矩阵似据相似关系的可传递性知，A

相似于对角矩阵

。必要性：若A

相似于对角矩阵

，定。1知，对角矩阵

相似于某个循环矩阵B

.根据相似关系的可传递性知，A相似于循环矩阵。性质。2复数域上任意一个阶矩阵都可以对角化，更一般地，可由同一个复n阶可逆矩阵，使复数域上任意

阶循环矩阵同时对角化。证明

由性。1易知任意一个阶阵A都可对角化，由于A是任意的，所有的结--

论全部得证。2.6等比数列构成循环矩阵关性质设序列ii

是公比为q的等比数列，把由该序列构成的循环矩阵记为a2naa12a(1）aa1矩阵A

可逆时，其逆矩阵由序列ii

构成，记为

bn

bbbb

bbbb

b

(2）定理若等比数列ii

满足q

,若n

为偶数时,

，则由该数列构成的循环矩阵（1）逆矩阵2存在，b1

1an)1

，1

qa(1n)1

，

b.34即

0

A

101(1n)1000

0010

）证明

只须确定b(ii

n),由A

A,即A知，A一列等于E的第一列可得bi

满足的方程组,b,)1

（4注意到aqiii

,n)，an

n，对（4）的增广矩阵进行初等变换.--

2循环矩阵的性质及其应用概要2A

a1a2a3anan

ana1a2anan

an3an4a15aan1an2

a2a3a4ana1

10000

a10000

ana1000

n

)

an3000a(1n)0010a(1)100an)1

又q

,当n

为偶数时,

q

，知(11

n

)0，

可得bb

qa

)b

1(1)1qaa1

1a(1n)an)1定理及（式成立，证毕.由上述定理及（）式易得推论[8]若等比数列

i

i

满足公比q

,当

为偶数时，q

，则由该数列构成的循环矩阵A

及其逆矩阵A

的行式分别为：(1,A

an1

1n)

n

.2。7循环矩阵行式与特征值关性质性质2.7.1若A

为复数域上的

阶循环矩阵ana

aaaa

aanaanaanaa0

那么的行列式--

1111detf

0

)f(

1

)f(

n

)

，这里

2k2ksin(k0,1,2,n

,n

是全部

次单位根，(x)xa02

n

x

n。证明

作n阶矩阵1

nnn

，这里

2k2ksin(k0,1,2,n

,n

是全部

次单位根,令(x)xa02

n

x

n，由于

次单位根满足

0

k

k

，且对任意非负整数i

，k

k

0,1,0nAn1

，考察与的乘积a1211n0n012301

1nnn

f)f0f)f)01()f(0)f0011

f)nf(nnf(nnfn

)))

1

nnn

f

)

f

)

f

)

(),f(,f.0由于矩阵的行列式是一个范德蒙行列式，且当ij

时，

次单位根

i

所以detj

，从而det

(f(

0

),f

1

),

n

--

nnnn循环nnnndet

0

)f(

1

)f(

n

)

.定理2.7。1[9]

设

是形如

aaaa

aaaa

aaanaaa0

环矩阵，且设f(xi

i

，,0

n

是1的部n次单位根。i

2kksink0,1,2,nn

,n这里i是数单位（i，则的个特征值是f

0

),f

1

),f

n

)

,注意Af

)

。2。8循环矩阵的异性定理[9]在理的条下，循环矩阵

奇异的充要条件是存在某个jj

，使

j

0

。由于对任意的自然数

，

0

是1的n

次单位根有推论[9]

若,则A奇异。ii推论[9]

设

为偶数，若

i

aj

,则A

奇异。i2.9循环矩阵与向空间相关质定理数

上的所有

阶循环矩阵按照矩阵的加法和乘法构成一个向量空间,其为循环矩阵基本列I,II1

n

，零向量为阶方阵，负向量为A

。证明

对于数域P上的所有n阶循环矩阵容易证明任意两个循环矩阵相加还是循环矩阵，循环矩阵的任意常数倍还是循环矩阵那么就得到了这个定理。三．广义循环矩阵--

0n0n循0n0n定义若把

a

，aa,…,a1

n

推广为m阶方阵

A

,A，1

n

时，我们称矩阵D=

An

A1nA0n

AAn

A2A1

A3A2

A0An

A1A0

为广义循环矩阵。定义

设Em阶单位矩阵,

A,，…，A

是m阶方阵且

A

，A,…

两

1

n

1

n两可换我们称矩阵

EA020n0

EA1n2A1nnA1

EAn2nnn

为广义范德蒙矩阵，其行列式为广义范德蒙行列式．

E

E

E

引理

设

A020n0

A1n2A1nnA1

An2nnn

是广义范德蒙矩阵，则的行列式为det

det(A)ij0j定理设E是

m

阶单位阵，且

A，A…1

n

均是m方阵且两两可换，矩阵D=

An

A1nA0n

AAn

A2A1

A3A2

A0An

A1A0

是广义循环矩阵则--

i0nmjinni0nmjinn0000001rD

E1=1

EEn1nn

E1

EE

0i其中矩阵j