《实变函数论》课程教学大纲

“实变函数论”课程教学大纲课程编号：08032040课程名称：实变函数论/TheoryofRealFunctions学时：72学时学分：4学分适用专业：数学与应用数学开课学期：第5学期开课部门：数学与计算机科学学院先修课程：数学分析，高等代数，空间解析几何考核要求：闭卷考试使用教材及主要参考书：程其襄等主编,《实变函数论与泛函分析（第三版）》高等教育出版社2010江泽坚等主编，《实变函数论》，高等教育出版社，2001周民强主编，《实变函数》，北京大学出版社，1985一、课程的性质和任务《实变函数论》是数学与应用数学专业的必修课程。其内容以实分析为重点，是数学分析后续课程，但在思想方法上却有大的飞跃。同时，它也是现代概率论、数理方程、泛函分析的前续课程。在计算数学和近代物理学中有很重要的作用。教学中要求学生能掌握其基本理论及应用。对某些较难的定理的证明，小字排印部分及附录，可作为学生以后进一步学习参考之用。二、教学目的与要求通过教学，使学生掌握实变函数的基本概念和基本分析问题的方法，并能应用所学知识解决一些基本问题。三、学时分配章节课程内容学时1集合及基数102n维空间中的点集143测度论144可测函数145积分理论20四、教学中应注意的问题教学中应注意思想方法的传授，解题思路的培养。五、教学内容第一章集合及基数1．基本内容集合及其运算，集合的基数，可数集合，不可数无穷集合。2．教学基本要求掌握集合的运算及集合关系的证明，并要求学生能利用证明集合关系的方法，解决集合理论中的问题。掌握基数的概念，并能进行基数大小比较，要求学生能对一些集合建立对等关系。掌握可数基的概念及集合可数关系的证明，并能运用可数集的性质解决一些问题。掌握集合不可数的意义及集合不可数关系的证明，并能运用不可数集的性质解决一些问题。3．教学重点难点基数的定义、可数集、不可数集。伯恩斯坦定理的证明及建立集合之间的对等关系式。4．教学建议重点掌握可数基和连续基的定义和性质，并能应用伯恩斯坦定理证明集合间的对等关系。第二章几维空间中的点集1．基本内容聚点、内点、边界点、Bolzano-Weierstrass定理、开集、闭集及完备集，P进位表数法，一维开集、闭集及完备集的构造、点集间的距离。2．教学基本要求了解距离概念的抽象法，掌握邻域概念，掌握有界集、内点、聚点、边界点、导集、闭包的概念及这些集合的性质及证明，掌握Bolzano-Weierstrass定理及其证明，了解集合孤立点的概念。掌握开集、闭集及完备集的概念，并掌握开集、闭集及完备集的证明，掌握Cantor集为完备集的证明。了解P进位表数法及运用2进位表数的应用。掌握一维开集的构造及其证明，理解闭集、完备集的构造及其证明。掌握点集间距离的概念、性质及证明。掌握点集间隔离性定理及其证明。3．教学重点难点开集、闭集的构造。完备集的构造，隔离性定理的证明。4．教学建议重点讲授开集、闭集的构造。第三章测度论1．基本内容外测度，可测集合，开集的可测性，乘积空间。2．教学基本要求掌握外测度理论建立的历史背景，外测度的概念，性质及其证明。掌握集合可测的几个定义、掌握点集可测的充要条件、性质及证明。掌握开集、闭集、型集及F6开集、Borel集可测的有关证明及应用。掌握乘积空间的定义、性质及其证明.3．教学重点难点测度的概念，可测集判别方法。乘积空间、Borel集可测。4．教学建议重点讲授外测度，可测集合，开集的可测性，乘积空间，测度的概念，可测集判别方法。第四章可测函数1．基本内容可测函数的定义及其简单性质、Egoroff定理，可测函数的结构Lusin定理，依测度收敛。2．教学基本要求掌握可测函数的定义、函数可测的条件及可测函数的简单性质。了解Egoroff定理的历史背景及意义，掌握Egoroff定理及其证明。掌握函数于点相对于E连续的条件，掌握处处连续的意义，Lusin定理的证明。掌握依测度收敛的意义，依测度收敛的性质，Lebesgue定理及其证明，Lusin定理及其证明。3．教学重点难点可测函数的定义及性质，Egoroff定理，可测函数的结构。Egoroff定理，Lusin定理的证明。4．教学建议Egoroff定理，可测函数的结构Lusin定理，依测度收敛的证明方法只作了了解。第五章积分理论1．基本内容非负函数的积分、可积函数、Fubini定理，微分与不定积分。 2．教学基本要求掌握非负可测函数可积的概念，性制裁及积分的性质。掌握可积函数的定义，可积、有积分的意义，积分绝对连续的意义，Levi定理，Vitali定理的证明及其应用。掌握Fubini定理的证明及应用。掌握有界变差函数的定义及其a.e.可微性，绝对连续函数的概念及其a.e.可微性与其导函数的不定积分。不定积分是绝对连续函数a.e.可微的性质，不定积分的微商a.e.等于被积函数的