新版自学考试线性代数笔记讲义资料

自考高数线性代数笔记行列式1.1行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积）

例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如=0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

（1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

（2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时，

10101&jyid=main0101"[答疑编号10010101：针对该题提问]

解因为

所以8-3a=0，时

例2当x取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问]

解：

解得0<x<9

所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式

符号：

它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式通常也简记作。

n阶行列式也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。（1）在n阶行列式中，划去它的第i行和第j列，余下的数按照原来相对顺序组成的一个(n-1)阶行列式叫元素的余子式，记作例如，在三阶行列式

中，的余子式表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以

相似地，的余子式表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的二阶行列式。所以

例1若，求：

（1）

.asp?QNo=10010103&jyid=main0101"[答疑编号10010103：针对该题提问]

（2）

xds/dayi.asp?QNo=10010104&jyid=main0101"[答疑编号10010104：针对该题提问]

（3）

/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10010105&jyid=main0101"[答疑编号10010105：针对该题提问]

（4）

s/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10010106&jyid=main0101"[答疑编号10010106：针对该题提问]

解（1）

（2）

（3）

（4）

（2）符号叫元素的代数余子式

定义：（系数其实是个正负符号）例2求例1中的代数余子式

（1）

[答疑编号10010107：针对该题提问]

（2）

[答疑编号10010108：针对该题提问]

（3）

[答疑编号10010109：针对该题提问]

（4）

[答疑编号10010110：针对该题提问]

解：（1）

（2）

（3）

（4）

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）

例3若

计算（以上两组数相等）

"[答疑编号10010111：针对该题提问]

解：

由于

与例3的结果比较，发现

这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。

定义：n阶行列式

即规定n阶行列式的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果中因为

所以有

特别情形

例4计算下列行列式

（1）

[答疑编号10010112：针对该题提问]

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

（2）

[答疑编号10010113：针对该题提问]

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

一般地可推得

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积

同理有

1.2行列式按行（列）展开

在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。

现在给出下面的重要定理，其证明从略。定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n）（1.8）

或（j=1,2,…,n）（1.9）

其中，是元素在D中的代数余子式。定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n）（1.8）

或（j=1,2,…,n）（1.9）

其中，是元素在D中的代数余子式。

（1.8）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2,…

上述展开定理也可以表示成（i=1,2,…,n）

（j=1,2,…,n）这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号以及它后面的余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。

根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。

特别情形

（1）

（2）

例5计算

[答疑编号10010201：针对该题提问]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

例5的结果可推广为我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。

例6计算

[答疑编号10010202：针对该题提问]

解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开

例7计算

[答疑编号10010203：针对该题提问]

解：将按第6行展开得

例8计算

（1）

[答疑编号10010204：针对该题提问]

解：按第4行展开

（2）

[答疑编号10010205：针对该题提问]

解：将D按第一行展开

（重新分组后得出）1.3行列式的性质与计算

因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1行列式的性质

将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。即如果

则性质1行列式和它的转置行列式相等，即或

根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。（运用最多）性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：

证将左边的行列式按其第i行展开以后，再提出公因数k，即得右边的值：

注意如果行列式有多行或多列有公因数，必须按行或按列逐次提出公因数。

例1计算行列式：

[答疑编号10010206：针对该题提问]

解

=30（4+6+5-2-4-15）

=30（-6）=-180

在例1的计算过程中，我们先提出第二行的公因数2和第三行的公因数3，得到第一个等号右边的式子，然后提出这个行列式中第三列的公因数5，把行列式中各元素的绝对值化小以后，再求出原行列式的值。

例2

[答疑编号10010207：针对该题提问]

因为

所以原式=4abcdef

这里是把上式第一个等号左边的行列式的第一、二、三行分别提出了公因子a,d,f，第二个等号左边的行列式的第一、二、三列分别提出了公因子b,c,e，化简后再求出其值。

例3计算行列式：

在行列式D的每一行中都提出公因数（-1）并用行列式性质1可以得到

[答疑编号10010208：针对该题提问]

因为行列式D是一个数，所以由D=-D，可知行列式D=0。

用这种方法可以证明：任意一个奇数阶反对称行列式必为零。所谓反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号。即若是反对称行列式，则它满足条件（运用最多）性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号。即对于如下两个行列式

有根据这个性质可以得到下面的重要推论：

推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于零。

因为互换行列式D中的两个相同的行（列），其结果仍是D，但由性质3可知其结果为-D，因此D=-D，所以D=0。性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零。证设行列式D的第i行与第j行的对应元素成比例，不妨设第j行元素是第i行元素乘以k得到的，则

由于将行列式D中第j行的比例系数k提到行列式的外面来以后，余下的行列式有两行对应元素相同，因此该行列式的值为零，从而原行列式的值等于零。行列式中某两列元素对应成比例的情形可以类似地证明。

例4验算x=3是否是方程的根。

[答疑编号10010209：针对该题提问]

解：因为（第二行与第四行成倍数）

∴x=3是方程f(x)=0的根。性质5行列式可以按行（列）拆开，即

证将左边的行列式按其第i行展开即得

这就是右边两个行列式之和。（运用最多）性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D。

即：例5证明：

的充要条件是k=1或k=±2

[答疑编号10010301：针对该题提问]

证因为

（第一行的数乘与（-1）加到第二行上去）

所以，D=0的充要条件是k=1或k=±2。

此题中，为了叙述方便，我们引入了新的记号，将每一步的行变换写在等号上面（若有列变换则写在等号下面，本题没有列变换），即第一步中的②+（-1）×①表示将第一行的-1倍加到第二行上，第二步是第一列展开。

根据行列式的展开定理与行列式的性质，我们有下面的定理：定理1.3.1n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零，即，（1.10）

，（1.11）

1.3.2行列式的计算

行列式的计算主要采用以下两种基本方法。

（1）利用行列式的性质，把原行列式化为容易求值的行列式，常用的方法是把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值。此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（-1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k。

（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质6在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按包含0最多的行或列展开。

例6计算行列式

[答疑编号10010302：针对该题提问]

解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积，所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式，即可求出行列式的值。

我们在计算例6中的行列式时，是利用行列式的性质先将它化成上三角行列式后，再求出它的值，事实上在计算行列式的值时，未必都要化成上三角或下三角行列式，若将行列式的性质与展开定理结合起来使用，往往可以更快地求出结果。

例7计算行列式：

[答疑编号10010303：针对该题提问]

解观察到行列式的第一行第一列位置的元素a11=1，利用这个（1，1）位置的元素1把行列式中第一列的其他元素全都化为0，然后按第一列展开，可将这个四阶行列式降为三阶行列式来计算，具体步骤如下：

按第一列展开，得

=（-1）×2×

例8计算行列式（把最简单的调到第一列或是第一旬）

/xxds/dayi.asp?QNo=10010304&jyid=main0101"[答疑编号10010304：针对该题提问]

在本例中，记号①②写在等号下面，表示交换行列式的第一列和第二列，②+5×①写在等号下面，表示将行列式的第一列乘以5后加到第二列。

例9计算行列式：（例子很特殊）

[答疑编号10010305：针对该题提问]

解这个行列式有特殊的形状，其特点是它的每一行元素之和为6，我们可以采用简易方法求其值，先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因数6，再将后三行都减去第一行：

（32）？

例10计算行列式：a2-b2=(a+b)(a-b)

d=main0101"[答疑编号10010306：针对该题提问]

例11计算n阶行列式（n>1）：

jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10010307&jyid=main0101"[答疑编号10010307：针对该题提问]

解将行列式按第一列展开，得

（简化的过程就是消阶，次方也应减少，为（N-1）等

例12计算范德蒙德（VanderMonde）行列式：

101"[答疑编号10010308：针对该题提问]（第一行乘（-X1）加到第二行上；第二行乘（-X1）加到第三行上）

例13计算

urses/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10010309&jyid=main0101"[答疑编号10010309：针对该题提问]

（这是个定律）

例14计算（解题规律：每行或是每列中的和是一样的，故每行或是每列都乘“1”加到第一行或是第一列上去，再把这个数当公因数提取，形成有一行或是列全为“1”的行列式，然后再化简）

s/dayi.asp?QNo=10010310&jyid=main0101"[答疑编号10010310：针对该题提问]

=（x+4a）（x-a）4

1.4克拉默法则

由定理1.2.1和定理1.3.1合并有

或

（一）二元一次方程组（方程1、2左右同乘以一个数，上下对减）

由a22*①-a12*②得

由a11②-a21①得

令=D=D1=D2

则有A是常数项∴当D≠0时，二元一次方程组有唯一解

（二）三元一次方程组

令叫系数行列式

，，

由D中的A11①+A21②+A31③得

即

由D中的A12①+A22②+A32③得

即

由D中的A13①+A23②+A33③得

即∴当D≠0时，三元一次方程组有唯一解

一般地，有下面结果定理（克拉默法则）

在n个方程的n元一次方程组

（1）

中，若它的系数行列式

≠0

则n元一次方程组有唯一解。推论：在n个方程的n元一次齐次方程组

（2）

中

（1）若系数行列式D≠0，方程组只有零解

（2）若系数行列式D=0

则方程组（2）除有零解外，还有非零解（不证）例在三元一次齐次方程组

中，a为何值时只有零解，a为何值时有非0解。

[答疑编号10010401：针对该题提问]

解：=2a-6+3-4-（-9）-a=a+2

∴（1）a≠-2时，D≠0,只有零解

（2）a=-2时，D=0，有非零解。

本章考核内容小结

（一）知道一阶，二阶，三阶，n阶行列式的定义

知道余子式，代数余子式的定义

（二）知道行列式按一行（列）的展开公式

（三）熟记行列式的性质，会用展开公式或将行列式化为三角形的方法计算行列式

重点是三阶行列式的计算和各行（列）元素之和相同的行列式的计算

（四）知道克拉默法则的条件和结论

本章作业

习题1.1

1.（1）（4）（5）（6）

3.（1）（2）

习题1.2

1、2、3.（1）（2）（3），4.（1）

习题1.3

1.（1）（2）（3）

2.（1）（2）

4.（1）（2）

5、6.（1）（2）（3）（4）（5）（8）（11）（12）（14）

习题1.4

3矩阵

2.1矩阵的概念

定义2.1.1由m×n个数aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表

用大小括号表示

称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是，这m×n个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为

A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n

当m=n时，称A=（aij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，an）为n维行向量。它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：

形如或简写为（那不是A，念“尖”）

的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式：或。（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）

特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为En或In，即或

在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

n阶数量矩阵常用aEn或aIn表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。

形如

的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。

对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。

（可以是方阵也可以不是方阵）

2.2矩阵运算

本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。

2.2.1矩阵的相等（同）设A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。特别，

A=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，…，m；j=1，2，…，n。

注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如

因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式

（因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）

2.2.2矩阵的加、减法

定义2.2.2设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是两个m×n矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即

A+B=（aij+bij）m×n。

即若

则

当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可相加。例如

注意：

（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别

例如

（阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）

（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）

若A=（aij）为n阶方阵，n>1，a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）m×n与数量矩阵aEn可以相加：

（把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）

矩阵的加法满足下列运算律：

设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则

（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换律）

（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.

（3）A+O=O+A=A.

（4）消去律A+C=B+CA=B.

2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）

定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（aij）m×n和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=（kaij）m×n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）

即若

则

由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k与行列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。

根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。

数乘运算律

（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。

（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。例1已知

求2A-3B。

[答疑编号：10020101针对该题提问]

解

例2已知

且A+2X=B，求X。

=10020102&jyid=main0201"[答疑编号：10020102针对该题提问]

解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）

2.2.4乘法运算设矩阵A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n个元素cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）

构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。

例3若且AB=C

求矩阵C中第二行第一列中的元素C21

[答疑编号：10020103针对该题提问]

解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和

∴C21=2×1+1×3+0×0=5

例4设矩阵

（列行）

求AB。

365/courses/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10020104&jyid=main0201"[答疑编号：10020104针对该题提问]

解：=

这里矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。

例5求（1）A3E3（2）E3A3

解：（1）

[答疑编号：10020105针对该题提问]

（2）

[答疑编号：10020106针对该题提问]

由本例可见A3E3=E3A3=A3，并且可以推广有

它与代数中的1·a=a·1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。

例6设矩阵

求AB和BA

[答疑编号：10020107针对该题提问]

解：

现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。

数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。（差别）

例7设求

（1）AB（2）AC

解（1）

[答疑编号：10020108针对该题提问]

（2）

[答疑编号：10020109针对该题提问]

可见AB=AC

众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.

两个非零数的乘积不可能为零。因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时，只要a≠0，就可把a消去得到b=c。（这条只满足数，不满足矩阵）

由矩阵乘法及上述例6、例7可知：

（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A

（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.

（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般AB≠BA。

（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。

（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。（消去律）若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换。此时，A与B必为同阶方阵。

矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。

例8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。（即AB=BA）

[答疑编号：10020201针对该题提问]

解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则

由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得

。（对角线必须一样）

例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。

[答疑编号：10020202针对该题提问]

解设。由题设条件可得矩阵等式：

由矩阵相等的定义得

（列出两组方程式）

解这两个方程组可得x11=1，x21=-1，x12=1，x22=0。所以。

乘法运算律

（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。（不改变顺序）

（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。

（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（kB），k为任意实数。

（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。

方阵的方幂

设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。

我们定义A的幂（或称方幂）为由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：

AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。

例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：

（1）（2）。

证（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即

则

知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。

[答疑编号：10020203针对该题提问]

（2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即

则

知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。

[答疑编号：10020204针对该题提问]

例11设n阶方阵A和B满足，证明：（解B平方为多少）

。

[答疑编号：10020205针对该题提问]

证由可推出B=2A-En。再由

B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En（E等于1呀）

证得

例12

前者是数，后者是n阶方阵，两者不相等，即AB≠BA.（行乘列为数，列乘行为N阶方阵）

[答疑编号：10020206针对该题提问]

因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：

（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2AB=BA。

（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。

（3）当AB=BA时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2

但AB≠BA时，则上面结果不成立。

例13设，，则有

[答疑编号：10020207针对该题提问]

因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：

（1）AB=O，A≠O不能推出B=O。例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零）

（2）由A2=O不能推出A=O。例如则

（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C。例如时（同系数两个数或是两个数的平方相等）

即AB=AC，但B≠C

（4）由A2=B2不能推出A=±B。例如，取

则

2.2.5矩阵的转置

设矩阵

把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A’，即

易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量的转置矩阵为n维列（行）向量。例如，则

若A=（a1，a2，…，an）则

若则BT=（b1，b2，…，bn）

例14如果已知A为l×n矩阵，BAT为r×l矩阵，证明：B为r×n矩阵。

ain0201"[答疑编号：10020208针对该题提问]

证设B为x行y列的矩阵

则有BxxyATn×l=（BAT）x×l

根据可乘条件有y=n

根据积的形状有x=r

所以B为Br×n

例15求

（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT

解：（1）

[答疑编号：10020209针对该题提问]

（2）

[答疑编号：10020210针对该题提问]

（3）

[答疑编号：10020211针对该题提问]

（4）

[答疑编号：10020212针对该题提问]

由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（不证）

转置运算律

（1）（AT）T=A

（2）（A+B）T=AT+BT

（3）（kA）T=kAT，k为实数。

（4）（AB）T=BTAT，（A1A2…An）T=AnTAn-1T…A1T.

设A=（aij）为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足：

aij=aji，i，j=1，2，…，n，则称A为实对称矩阵。

若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：

aij=-aji，i，j=1，2，…，n，此时必有aii=0，i=1，2，…，n，则称A为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，

都是对称矩阵；

都是反对称矩阵。

例16证明：任意一个实方阵A都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

[答疑编号：10020213针对该题提问]

证：取

则A=X+Y

其中=X

∴X是对称阵。

∴Y是反对称阵。

（注）举例证明了下面结论，对任意方阵A都有

（A+AT）是对称阵

（A-AT）是反对称阵例17（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。

（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？

证（1）因为A是对称矩阵，必有AT=A（满足这个条件），于是必有

（PTAP）T=PTATP=PTAP

这说明PTAP必为对称矩阵。

[答疑编号：10020214针对该题提问]

（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有

PTATP=PTAP，

但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。

.zikao365/courses/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10020215&jyid=main0201"[答疑编号：10020215针对该题提问]

由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作或det（A）。即，如果

，

则

。

例如，的行列式为。注意（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩阵记号“（*）”也不同，不能用错。

（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等。

（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。

易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积。

特别，，。

，

例18设且有。求

[答疑编号：10020301针对该题提问]

解：

所以

由本例可见

一般地应有

方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则

（1）；

（2）；

（3）。（行列式乘法规则）（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。

例19设，，则

[答疑编号：10020302针对该题提问]

①

②

③，

。

④

于是得

，。

例20设A，B同为n阶方阵。如果AB=O，则由

[答疑编号：10020303针对该题提问]

知道，必有或。但未必有A=O或B=O。

例21证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。

[答疑编号：10020304针对该题提问]

证：设A为2n-1阶反对称矩阵，则有。于是根据行列式性质1和性质2，得到

，

因为是数，所以必有。

2.2.7方阵多项式任意给定一个多项式和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵，

称f（A）为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例22：设，求f（A）

"[答疑编号：10020305针对该题提问]

解：

例23：若A=B-C，其中，。证明

yi.asp?QNo=10020306&jyid=main0201"[答疑编号：10020306针对该题提问]

证：

由

2.3方阵的逆矩阵

我们知道，对于任意一个数a≠0，一定存在惟一的数b，使ab=ba=1，

这个b就是a的倒数，常记为。而且a与b互为倒数。

对于方阵A，我们可类似地定义它的逆矩阵。设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B，使得（其中是n阶单位阵），（2.5）

则称A是可逆矩阵（或非奇异矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为，即。若满足（2.5）式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。

由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若，则有

可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0，则

（1）为可逆矩阵，且

（2）

（3）证

推广有

（4）证

（5）证

（6）

（7）若A可逆且AB=AC，则有消去律B=C

证：

，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,…,n），则矩阵

称为A的伴随矩阵，记为。由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是说，的第i行元素的代数余子式，构成的第i列元素。由1.4节中的定理1.4.1可得

，

即（2.7）

类似可得（2.8）

现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。n阶方阵A为可逆矩阵。证：必要性设A是n阶可逆矩阵，则存在n阶方阵B，使。由方阵乘积的行列式法则，可得

，于是必有。

充分性设为n阶方阵且，构造如下n阶方阵：

。

则由（2.9）式可得矩阵等式

，

由矩阵可逆的定义可知A是可逆矩阵，而且还得到了求逆矩阵公式

推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足，则A，B都可逆，且，。证：由，可得，因此且，故由定理2.3.2知A可逆，B也可逆。

在两边左乘，得，

在两边右乘，得，

这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式或成立即可，而用不着按定义同时验证两个等式。

例1若，求

[答疑编号：10020401针对该题提问]

解：

例如：

解：

例2设，当a，b，c，d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆矩阵时，求出。

d=main0201"[答疑编号：10020402针对该题提问]

解：A可逆。当A可逆时，

例1，例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式

例如，

例3判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。

[答疑编号：10020403针对该题提问]

解（1）由于故矩阵A可逆。

（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：

，，

，，

，，

，，

；

。

于是。

由上例可以看出，当n≥3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n≥4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。

例4设A为n阶方阵，则。

[答疑编号：10020404针对该题提问]

证：由知道。当时，显然有。

例5若。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。

"[答疑编号：10020405针对该题提问]

解：（1）

（2）

例6设A是3阶方阵且，求（1）（2）（3）（4）

[答疑编号：10020406针对该题提问]

解：（1）

（2）

（3）

（4）

2.4分块矩阵

分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，有时会遇到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块（子矩阵），以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。

例如，设，

令，，

，，

则A的一个分块矩阵为

这样A可以看成由4个子矩阵（子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵中有两个块行、两个块列。

m×n矩阵的分块矩阵的一般形式为对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个m×n矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法：

行向量表示法，其中，i=1，2，…，m；

列向量表示法，其中，j=1，2，…，n。

前者也称为将A按行分块，后者也称为将A按列分块。

例如，

令，，，以及

，，，，

可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：

，。

下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。

2.4.1分块矩阵的加法

把m×n矩阵A和B作同样的分块：

，，

其中，的行数的行数；的列数的列数，1≤i≤r，1≤j≤s，则

例1设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。

/courses/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10020501&jyid=main0201"[答疑编号：10020501针对该题提问]

解：根据分块矩阵加法的定义知道，

A+B的前三列都有公因数2，利用行列式性质2，提出公因数后可以求出

再利用行列式的性质5，把它拆开以后，即可求出

2.4.2数乘分块矩阵

数k与分块矩阵的乘积为

2.4.3分块矩阵的转置

设

则其转置矩阵为式中，。分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置，这一现象不妨称为“内外一起转”。例2，

我们发现：不但每个子矩阵的位置作了转置，而且每个子矩阵的内部也作了转置。

/courses/public/jichu/xxds/dayi.asp?QNo=10020502&jyid=main0201"[答疑编号：10020502针对该题提问]

例3设是一个用列向量表示的m×n阵，其中每个都是m维列向量，则A的转置矩阵是

[答疑编号：10020503针对该题提问]

例如，设，则

2.4.4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆

设矩阵，。利用分块矩阵计算乘积AB时，应使左边矩阵A的列分块方式与右边矩阵B的行分块方式一致，然后把矩阵的子块当做元素来看待，并且相乘时，A的各子块分别左乘B的对应的子块。

设A，B的分块方式分别为，

其中为矩阵；为矩阵，且的列数分别等于的行数，则，

其中（i=1,2,…,r,j=1,2…,t）。

例4对于矩阵

，，

用分块矩阵计算AB。

[答疑编号：10020504针对该题提问]

解：将矩阵A，B分块如下：

，，

其中，，，，

于是得到

因为，

所以。

例5设A为m×k矩阵，B为k×n矩阵，则AB为m×n矩阵。

若把B采用列向量表示：，则

若把A采用行向量表示：，

则。

特别地，当AB=O时，由可得。

i.asp?QNo=10020505&jyid=main0201"[答疑编号：10020505针对该题提问]方阵的特殊分块矩阵主要有以下三类：（凡空白处都是零块）

（1）形如的分块矩阵称为分块对角矩阵或准对角矩阵，其中均为方阵。

（2）两个准对角矩阵的乘积设是同阶方阵，则

若对某个1≤i≤r，不是同阶方阵，则上面的两个分块对角矩阵不能相乘。

（3）准对角矩阵的逆矩阵若都是可逆矩阵，则分块对角矩阵

可逆，并且用分块矩阵的乘法，容易验证上式成立。

例6求矩阵的逆矩阵。

[答疑编号：10020506针对该题提问]

解：将矩阵A分块，得，

其中，，

利用伴随矩阵方法求逆，得

，，。

所以

形如，的分块矩阵分别称为准上三角矩阵和准下三角矩阵。它们都是分块三角矩阵。这里，每个主对角块都必须是方阵，但阶数可以不相同。我们不加证明地给出以下重要结论：上述两类特殊分块矩阵的行列式都是它们的主对角线上各子块的行列式的乘积，即例如，例6中矩阵A的行列式为=-2×1×4=-8

例7：验证并求

[答疑编号：10020507针对该题提问]

证：（1）

（2）

2.5矩阵的初等变换与初等方阵

2.5.1初等变换

定义2.5.1对一个矩阵A＝（aij）m×n施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换。

（i）交换A的某两行（列）。

（ii）用一个非零数K乘A的某一行（列）。

（iii）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上。

必须注意：矩阵的初等变换与行列式的计算有本质区别，计算行列式是求值过程，前后用等号连接，对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外，一般来说变换前后的两个矩阵是相等的，因此，我们用箭号“→”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数。

定义2.5.1若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为

矩阵之间的等价关系有以下三种性质。（1）反身性

（2）对称性若则

（3）传递性若则

2.5.2初等方阵

引进方程的目的是想用矩阵乘法描述矩阵的初等变换。

定义2.5.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵为初等方阵。

我们对n阶单位矩阵E施行三种初等变换得到以下三类n阶初等方阵。

（I）交换E的第i,j两行（列）（i≠j）得到的初等方阵记为

（II）用非零常数k乘E的第i行（列），得到的初等方阵记为

（III）将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上）（i<j）得到的初等方阵记为

将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上）（i<j），得到的初等方阵记为

以上这些初等方阵中，空白处的元素均为0。

例如，当n=4时

例1.计算若

（1）P12A（2）AP12（3）D1（k）A，（4）AD1（k）

（5）T12（k）A（6）AT21（k）

[答疑编号：10020601针对该题提问]

解：

小结例1的结果，有下面的定理。

定理2.5.1Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列）

Di（k）左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）。

Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上。

Tij（k）右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上。

2.5.3矩阵的等价标准形

定理2.5.2任意一个m×n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n矩阵。

这是一个分块矩阵，其中Er为r阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。

称为A的等价标准形。

例2求矩阵的等价标准形。

2&jyid=main0201"[答疑编号：10020602针对该题提问]

所以A的等价标准形为（E3，0）。

因为对矩阵A施行初等行（列）变换相当于用对应的初等方阵左（右）乘A，而初等方阵都是可逆矩阵，若干个可逆矩阵的乘积仍然是可逆矩阵，所以定理2.5.2可以等价地叙述为

定理2.5.2对于任意一个m×n矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得

证根据定理2.5.2，假设对A施行了s次初等行变换和t次初等列变换，得到了A的等价标准形，且对应初等行变换的m阶初等方阵P1，P2，…Ps，对应初等列变换的n阶初等方阵为Q1，Q2…Qt,则

Ps…P2P1AQ1Q2…Qt＝

令P＝Ps…P2P1，Q＝Q1Q2…Qt，则P和Q就是满足定理要求的可逆矩阵。

2.5.4用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵

任取n阶可逆阵A，由定理2.5.3知一定存在n阶可逆矩阵P和Q，使得

因为A，P和Q都是可逆矩阵，上式左边取行列式，得

若r<n,则必有＝0，从而有，矛盾，因此必有r=n，从而有

PAQ＝En

上式说明可逆矩阵An的等价标准形是同阶单位方阵En。

定理2.5.4n阶方阵A是可逆矩阵的存在可逆矩阵P，Q使得PAQ＝En（即A等价于单位矩阵）A可以写成若干个初等方阵的乘积。

实际上，若A可逆，则只需对A作一系列行初等变换也有PK...P2P1A=E存在可逆阵P，使PA＝E，其中P＝PK...P2P1

其中A-1＝P

因此，若将（A，E）看作分块矩阵，则有