《第1章特殊的平行四边形》单元测试卷及答案解析

九年级上册《第1章特殊的平行四边形》测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是()A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形2．下列说法中，错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形5．两条对角线相等的平行四边形一定是()A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于()A．3.5 B．4 C．7 D．147．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=()A．30° B．45° C．22.5° D．135°9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为()A．30° B．22.5° C．15° D．45°10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为()A．4.8 B．5 C．5.8 D．611．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为()A．16 B．17 C．18 D．1912．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为()A．2 B．3 C． D．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为__________，面积为__________．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为__________．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=__________．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是__________．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．23．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求CF的长；（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

北师大新版九年级上册《第1章特殊的平行四边形》2015年单元测试卷一、选择题：（每小题3分，共36分）1．下列判定正确的是()A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形C．四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形【考点】多边形．【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，可得答案．【解答】解：A、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故A错误；B、两条对角线相等且平分且互相垂直的四边形是正方形，故B正确；C、四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形，故C正确；D、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形、可能是等腰梯形，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了多边形，熟记平行四边形的判定与性质、特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．2．下列说法中，错误的是()A．平行四边形的对角线互相平分B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线互相垂直的四边形是菱形【考点】菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．【解答】解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是梯形，故选：D．【点评】主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．3．下列命题原命题与逆命题都是真命题的是()A．矩形的对角线相等B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．矩形有一个内角是直角D．对角线互相垂直且平分的四边形是矩形【考点】命题与定理．【分析】分别写出四个命题的逆命题，再判断是否是真命题即可．【解答】解：A、矩形的对角线相等，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，错误；B、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，逆命题是矩形的对角线互相平分且相等，正确；C、矩形有一个内角是直角，逆命题是有一个内角是直角的四边形是矩形，错误；D、对角线互相垂直且平分的四边形是矩形，错误．故选B．【点评】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；经过推论论证得到的真命题称为定理．4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．故选D．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．5．两条对角线相等的平行四边形一定是()A．矩形 B．菱形 C．矩形或正方形 D．正方形【考点】矩形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，直接得出答案即可．【解答】解：因为对角线相等的平行四边形是矩形．故选：A．【点评】此题考查了特殊平行四边形的判定，需熟练掌握各特殊平行四边形的特点是解题关键．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于()A．3.5 B．4 C．7 D．14【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选：A．【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．7．顺次连接矩形四条边的中点，所得到的四边形一定是()A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形【考点】中点四边形．【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．【解答】解：连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选B．【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．8．如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB=()A．30° B．45° C．22.5° D．135°【考点】菱形的性质；正方形的性质．【分析】由正方形的性质得对角线AC平分直角，因为菱形的对角线平分所在的角，所以∠FAB为直角的．【解答】解：因为AC为正方形ABCD的对角线，则∠CAE=45°，又因为菱形的每一条对角线平分一组对角，则∠FAB=22.5°，故选：C．【点评】此题主要考查了正方形、菱形的对角线的性质．9．如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为()A．30° B．22.5° C．15° D．45°【考点】正方形的性质；等腰三角形的性质．【分析】由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°，根据∠DCE=∠BCD﹣∠BCE即可求出答案．【解答】解：∵正方形ABCD，∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°，∵BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=67.5°，∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=90°﹣67.5°=22.5°，故选B．【点评】本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键，题型较好，难度适中．10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为()A．4.8 B．5 C．5.8 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】数形结合．【分析】注意发现：在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，在RT△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．解得：x==5.8（cm）．故选C．【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．11．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为()A．16 B．17 C．18 D．19【考点】勾股定理．【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，∴AC=BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD==2，∴EC2=22+22，即EC=2；∴S1的面积为EC2=2×2=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．【点评】本题考查了勾股定理，要充分利用正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．12．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为()A．2 B．3 C． D．【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为4，可求出AB的长，从而得出结果．【解答】解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小．∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE=AB=2．∴所求最小值为2．故选：A．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．二、填空题（每小题3分，共12分）13．已知菱形的周长为40cm，两个相邻角度数比为1：2，则较短的对角线长为10cm，面积为50cm2．【考点】菱形的性质．【专题】计算题．【分析】根据已知可求得菱形的边长及其两内角的度数，根据勾股定理可求得其对角线的长，根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积．【解答】解：根据已知可得，菱形的边长AB=BC=CD=AD=10cm，∠ABC=60°，∠BAD=120°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=10cm，AO=CO=5cm，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：BO==5，∴BD=2BO=10（cm），则S菱形ABCD=×AC×BD=×10×10=50（cm2）；故答案为：10cm，50cm2．【点评】本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质的综合．菱形的面积有两种求法（1）利用底乘以相应底上的高（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．14．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】压轴题．【分析】首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．【解答】解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，在△ENG和△BNM中∵，∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．故答案为：2．【点评】此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．15．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，P是AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF=．【考点】矩形的性质．【分析】连接PO，过D作DM⊥AC于M，求出AC、DM，根据三角形面积公式得出PE+PF=DM，即可得出答案．【解答】解：连接PO，过D作DM⊥AC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AB=CD=5，AD=12，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OD，由勾股定理得：AC=13，∴OA=OD=6.5，∵S△ADC=×12×5=×13×DM，∴DM=，∵SAOD=S△APO+S△DPO，∴AO×PE+OD×PF=×AO×DM，∴PE+PF=DM=，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积的应用，关键是求出DM长和得出PE+PF=DM．16．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A=120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE﹢PC的最小值是3．【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．【专题】探究型．【分析】先求出菱形各边的长度，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，由菱形的性质可知E′为AB的中点，由直角三角形的判定定理可得出△BCE′是直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB=BC==6cm，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE﹢PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴E′在AB上，由图形对称的性质可知，BE=BE′=BC=×6=3，∵BE′=BE=BC，∴△BCE′是直角三角形，∴CE′===3，故PE﹢PC的最小值是3．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质、直角三角形的判定定理，根据轴对称的性质作出图形是解答此题的关键．三、解答题：17．如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是矩形．【考点】矩形的判定；菱形的性质．【分析】根据平行四边形的判定推出四边形OBEC是平行四边形，根据菱形性质求出∠AOB=90°，根据矩形的判定推出即可．【解答】证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB=90°，∴平行四边形OBEC是矩形．【点评】本题考查了菱形性质，平行四边形的判定，矩形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．18．已知，如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，ED=AF．求证：四边形AEDF是菱形．【考点】菱形的判定；角平分线的定义；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】由已知易得四边形AEDF是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得∠FAD=∠FDA，则可求得AF=DF，故可证明四边形AEDF是菱形．【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线∴∠EAD=∠FAD∵DE∥AC，ED=AF∴四边形AEDF是平行四边形∴∠EAD=∠ADF∴∠FAD=∠FDA∴AF=DF∴四边形AEDF是菱形．【点评】此题主要考查菱形的判定、角平分线的定义和平行线的性质．此题运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．19．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．【解答】证明：∵ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D．又∵EB=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴∠AEF=∠AFE．【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【考点】矩形的判定；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．【专题】证明题；开放型．【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE为矩形．（2）根据正方形的判定，我们可以假设当AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（1）的结论可知四边形ADCE为矩形，所以证得，四边形ADCE为正方形．【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE为矩形．（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．理由：∵AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACD=45°，∴DC=AD，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题，主要考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是的BC边的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F．（1）求证：DE=DF；（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形，并给出证明．【考点】正方形的判定．【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得AD是∠BAC的角平分线，再根据角平分线的性质可得DE=DF；（2）添加∠BAC=90°，根据三角形是直角的四边形是矩形可得四边形AFDE是矩形，再由条件DF=DE可得四边形EDFA是正方形．【解答】解：（1）连接AD，∵AB=AC，D是的BC边的中点，∴AD是∠BAC的角平分线，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE；（2）添加∠BAC=90°，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AFD=∠AED=90°，∴四边形AFDE是矩形，∵DF=DE，∴四边形EDFA是正方形．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及正方形的判定，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．【考点】矩形的性质；等边三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．【解答】解：∵对角线相等且互相平分，∴OA=OD∵∠AOD=60°