专题复习“隐形圆”问题

22221112222111“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考试说明圆的方程是级识点，每年都考，但些时候，条件中有直接给出方面的息隐在题目的过分析和转或的方程从而最终可利用圆知识来求解我们称这类问题为隐形圆问题．二、求解策略如何发现隐圆（或的方程）是键，常见的有以下略．策略一利圆的定（到定点的离等于定长的点的迹）确隐形圆例（）如果x2a

(－a－2＝上总存在两点到原的距离为，则实数a的值范围是．

略解原的距离的的轨迹是以原点为心的单位圆化到单位圆与知圆相交求解（（2016年南京二模）已知圆＋＝，圆M(x)y－4)＝．圆上存在点，过点作的条线，切点为AB使得APB＝，则a的值范围为．解：题意OP

，所以在O为圆心2为径的圆上，即此圆与M公共点，因此有≤a≤9

≤a．3、B是C:

y

=3，P是圆C:y4)

PB

略解：取AB的点，则CM=

1，所以在圆心半径为

的圆上，且PM，化为两圆上动点的离的最值．4）若对任直线lxsin

＋与圆C：x－)2(－m)＝无共点，实数的取值范围是

．()22略解：直线l的程为(-y34，(1,到l距为，所以l是以M为心径为4定圆切线系，转化为圆M与圆C内．1

00，200，23注：直线l(-x)cos-y为M()

xy)

的切线系．例（年通市模）在面直角坐标xOy中已知，为圆xy上点，点

，且⊥AC，则线段BC的长取值范围．解：法一（解BC的点为因为OM，

y所以4x

，

B

MC化简得

13A所以点的迹以，为心，为半径的

O

x圆以的取值范围是

2，所

例以BC的值围是62，法二：以、AC邻边作矩，则＝AN，由形几何性形在平面上的任一点到对角线上的个顶点的距离的平和相等OBOCOA，所以＝，故N在O为心，半径为的上，所以的值围是2变式1（年州三期末卷）平面直坐标系xOy中已圆O:x点P(,2)M为O上两个不同点，且M，PPM，则PQ的最小值为．35已知圆C：，圆C：，点变式2B分在C和圆C上APB90，P,0)

A

y则线段的值范围．[233

BO

x变式3已向量、b、c足)，范围为．[23232

221212221212策略二动P对定点、张角是（

或PA）定隐形圆例（）北京卷已知圆C(xy和点A(0)

，(m0)

，若圆上存在，得APB，的值围是．略解：由已以AB为直径的圆与C有共．（）（海安2016届三上期末）在平面直坐标系中已知点P，0)，Q(2直线l：其实ac成差数列若点在线l上的射影为，则线的值围是．[2,2]解由题意圆心(1在直线＋＋＝0上可得－2b＋＝0即＝2b．直线l：－b＋(2b)y＋(2c－a＝，即a(2x＋y3)＋－)，y由，得x＝4＝－，直线过定点M(4，－，由题意H在以PM为径的圆，圆心为，2)，方(－

＋－2)，∵＝2，∴小－2＝，最大为4＋5＝2，∴线段CH长的取值围[2，92]（）（通州区2017届三下开学初检测）R，直线l：x与线l：交点P)，则y

的值范围是．[1210,12]略解l过定点(00)l过点(24)，则P在以为径的圆除一点变式（2017年京二模）在平面直角坐标系Oy，直线l：－y＋＝0与直线l：＋ky－＝0交点，则当实数变时，点到直线x－y－＝0的离的最大值．策略三定A、B动满PA隐形圆例（年通卷已点A3)点B点在线3xy上，若满足等式的点P有个，则实数取范围是解：设（，），则APx2,y，BP3)，

．根据AP

，有

x4

y

13

.由题意3

222c222c2圆：

13

132

圆与直线

xy

相交，圆心到直线距离

3

所

.（）年城三模已知线段AB的为2动点C满常）且点C总在以点为心，为径圆内数最值是略解：动点满方程

.

策略四

两定点、，点满足

是定值确定形圆例（）平面直角标系中，已知圆：(x＋(ya2)＝，点(0，圆C上在M满足MA＋＝，则实取值范是略解：满的方程y，化为两圆有公点

．，（）年京、盐一模）在中，，BC所对的边分别为ac

，若c，面积的最大为

．

5解：以的点为原点所直线为x轴建.设(,0)，,0)

，(,

，则由a

c

，c得))c，c，cc5所以点C在此圆上≤r(4c≤24策略五两点B动点P满足

PAPB

,

确定隐形圆阿波罗斯圆）例61）略解：点满足圆的方为x

y

转化直线与圆相.（）届州一模在平面直角标系xOy中已圆：x＋＝1，O(－4)＋y＝，动点P在线xy，过点作圆OO的条线，14

PA(PA(整理得，，A3切点分别为，，满足PA的P有且仅有两个则b的值范围．－3

例（年南二模一缉私艇巡航距领海界线（一条南北方向的直海里的A处发在其北偏向相距4海里的B处一走私船正欲跑，缉私艇立即追击已缉艇的最航速是走私最大航的3倍假设缉私艇和私船均按直方向以最大航航行．（）若走私船沿东方向离，试确缉私艇追击方向，得用最时间在领内拦截成功；参考数据：sin17

，）（）问：无论走船沿何向逃跑，私艇是总能在领海成功拦？并说明由．北

l领海公海B30°A解：1略

(7（）如图乙，以为点，正方向所在的线为y轴立面直角坐标xOy．则3，缉私艇(y处缉艇恰好截住私船的置）与走船相遇，则，即PB

xy

．

y

l领海海4所以点(的迹是以点4

B为半径的圆．图乙因为圆心，3到海边界线l：的离1.55，大于圆半径，42所以缉私艇在领海截住走私船．策略六由周角的性质确隐形圆

x例（）已知,b,分别为的个内角

,B,

的对边，a

，(ab)(sinA-)=(cbC则ABC面积的最大值为5

．

o22o22略解∠＝

，A60°，设ABC的外接圆的圆为O外圆的半为，则O到BC的离为为3．

3则上的高的最大值为+则面积的最大值3（年州一模eq\o\ac(△,)中＝45

eq\o\ac(△,)的心OC(，∈，则＋n的值范围是．[略解：∠AOB＝∠C90，点C在O圆，半径OA的上（在弧AB上）．三、同步练习．知直线l:x上在点满与两点A,(2,连的斜率之积为，则实数m的取值范围．[5]．年州一)知实数b，c满

，c0，则的值围33,]为．[33．已(cos

(sin

的取值范围[22．已知圆C:(x)

)

和两点(0B(m0(m)．圆C上在点，得PA，m的取值范围是．[15,2016年无锡一模）已知圆C:x2)，段EF在线l:y运，点P为线段任意一，若圆C上在两点A、，使得PA≤，线段EF长度的最大值是．

．图，已知点A(1,0)点(1,0)，是x＋y＝1上的动点(点A重)，连接延至，使CD6

99＝，线段PD的值范．(2)．平面直角坐系xOy中，已点A(t0)

，(

，点C满，且点C到线lx最小离为，则实数的值是5

．（年苏卷第题编）在平面直角坐系Oy中已知点(0)(03)如圆C:(x)

y)

上总存在点M使MA则圆心C的坐标a

的取值范围是

．[0,

]．已知向量bc足，=，c)(2，则b的最大值是．12．设点AB是xy4上两，点C,0)如果ACB，线段AB长度的取值范围为．[7．在中BC，AC，为作腰直角三角为角顶CD两在直线AB的)．当C变化时，线段CD长最大值为

．．（年通三模