微积分函数极限连续

关于微积分函数极限连续1第一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一2哪些主要的科学问题呢?有四种主要类型的问题.Archimedes第二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一3

第一类问题

已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。第三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一4

困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算瞬时速度，就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是0，而0/0是无意义的。但根据物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。

第一类问题第四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一5

求曲线的切线。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。

第二类问题第五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一6

第二类问题

困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。第六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一7

第三类问题

求函数的最大最小值问题。十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以角发射炮弹时，射程最大。研究行星运动也涉及最大最小值问题。第七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一8

困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方法尚无眉目。

第三类问题第八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一9

第四类问题

求曲线的长度、曲线所围成的面积、曲面所围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一个物体上的引力。第九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一10

困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。

第四类问题第十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一111.分析基础:函数,极限,连续

2.微积分学:一元微积分3.向量代数与空间解析几何4.无穷级数5.常微分方程主要内容多元微积分第十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一12二、如何学习高等数学?1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学而优则用,学而优则创.由薄到厚,由厚到薄.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.华罗庚第十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1

函数、极限与连续1.1函数1.2初等函数1.3极限概念1.4极限的计算1.5无穷小量与无穷大量1.6函数的连续性第十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.1函数1.1.1区间及邻域1.1.2函数的定义1.1.3医学中常用的函数表示法1.1.4函数的性质第十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.1.1区间及邻域区间(interval)开区间ab闭区间ab半开半闭区间

(a,b]、[a,b)以上区间统称为有限区间无限区间

(P.1自学)第十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一邻域(neighborhood)

邻域是一种特殊的区间。点a的δ邻域aa-δa+δδδ点a的空心邻域aa-δa+δδδ右邻域(a,a+δ)，左邻域(a-δ,a)第十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.1.2函数的定义(function)

设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f，y都有（唯一）确定的值与它对应，则称变量y是确定在D上的x的函数。定义1.1x：自变量

x的取值范围D：定义域

y：因变量(函数变量)

函数值

y的取值范围：值域，记为f(D)(function)记为：y=f(x)，x∈D第十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.决定一个函数的因素有哪些？2.如何确定函数的定义域？第十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.1.3医学中常用的函数表示法列表法用表格列示出x与y的对应关系。图像法以数对(x,y)为点的坐标描绘出能反映x解析法用等式表示出x与y的关系。

优点：便于查出函数值。

与y的对应关系的曲线。

优点：容易观察函数的变化趋势。

优点：便于从理论上对函数进行定性

研究与定量分析。第十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一医学和物理学中常用的分段函数：例1.1.1符号函数xyo-11例1.1.2脉冲函数xoy例1.1.3xyo第二十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.1.4函数的性质奇偶性

设函数y=f(x)，x∈D，D是对称于原点的数集。若对D上任何x

，如果f(－x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数；如果f(－x)=－f(x)，则称y=f(x)为奇函数。偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于原点对称。第二十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一单调性

设函数y=f(x)，x∈D。若对于D内任意两个x1，x2，当x1<x2时，总有f(x1)≤f(x2)，则称函数y=f(x)是D上的单调递增函数；当x1<x2时，总有f(x1)≥f(x2)，则称函数y=f(x)是D上的单调递减函数。

递增函数的图像一般是上升的，递减函数的图像一般是下降的。第二十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一周期性

设函数y=f(x)，x∈D。若存在常数T，使对D上任何x

，都有

f(x+T)=f(x)则称y=f(x)

为周期函数。并称T为y=f(x)的一个周期。若在周期函数的所有周期中有一个最小正常数，则称其为基本周期。第二十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一有界性

设函数y=f(x)，x∈D。若存在正数M，使对D上任何x

，都有

︱f(x)︱≤M则称f(x)在D上有界，并称f(x)是D上的有界函数。否则，称函数f(x)在D上无界。

有界函数的图像必落在直线y=M

与y=-M

之间的带形区域内。第二十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.结论“函数y=3x+5是无界函数”正确否?

2.结论“函数y=cosx不是单调函数”正确否？3.考察函数y=1/x

在[1,+∞)的单调性和有界性。第二十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一26且证明证:

令则由消去得时其中a,b,c

为常数,且为奇函数.为奇函数.1.

设第二十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一272.

设函数的图形与均对称,求证是周期函数.证:由的对称性知于是故是周期函数,周期为第二十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.2初等函数1.2.1基本初等函数1.2.2复合函数1.2.3反函数1.2.4隐函数1.2.5初等函数第二十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.2.1基本初等函数(basicelementaryfunction)P.6表1.2第二十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.2.2复合函数

设y=lnu，u=1-x2。问：能否通过变量u，将y表示成以x为自变量的函数？

当

x∈(-1,1)，能通过变量u

将y表示成x的函数：y=ln(1-x2),x∈(-1,1)

当

x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)时，不能通过变量u

将y表示成x的函数。D*第三十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.2(复合函数)

设y是u的函数y=f(u)，u是x的函数u=φ(x)。D*表示u=φ(x)的定义域中使得函数y=f(u)有意义的全体x的非空集合。则当x∈D*

时，函数u=φ(x)所对应的u值使得函数y=f(u)有确定的值与x相对应，从而得到一个以x为自变量，y为因变量的函数，记为

y=f[φ(x)]，x∈D*

这时，称y为x

的复合函数。其中，称y=f(u)为外函数，u=φ(x)为内函数，u

为中间变量。第三十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一复合函数的映射示意图yuxy=f(u)u=φ(x)y=f[φ(x)]第三十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一说明：复合函数还可以由多个（三个及其以上）基本初等函数经多次复合构成。并不是任何两个函数都可以复合成有意义的复合函数。如y=ln(u-8)与u=sinx

构成的复合函数y=ln(sinx-8)就没有意义。第三十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一

写出由y=eu，u=-2x

复合而成的函数。复合函数为

y=

e

-2x，x∈(-∞,+∞)。例1.2.1解：例1.2.2分解复合函数y=lntanx。解：y=lnu

，u=tanx。例1.2.3分解复合函数y=sin8(8x+sinx)。解：y=u8

，u=sinv

，v=8x+sinx

。第三十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.2.3反函数(自学)1.2.4隐函数显函数由形式

y=f(x)表示的函数。隐函数由方程F(x,y)=0表示的函数。如x2+y2=R2yx+ln(xy)+sin(xy)+8=0第三十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.2.5初等函数(Elementaryfunction)

由基本初等函数经过有限次的四则运算或有限次的复合步骤所构成的，能用一个解析式子表示的函数称为初等函数。

初等函数是高等数学的主要研究对象。

在高等数学中，把不是初等函数的函数统称为非初等函数。如：有些分段函数就不是初等函数。第三十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一37非初等函数举例:符号函数当x>0当x=0当x<0取整函数当第三十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一38内容小结1.集合区间、邻域定义域对应规律3.函数的特性有界性,单调性,奇偶性,周期性4.初等函数的结构2.函数的定义及函数的二要素第三十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.3极限概念1.3.1数列极限1.3.2函数极限1.3.3单侧极限

极限是一种非初等运算极限以发展的眼光分析事物(变量)的变化规律极限是高等数学中一种重要的研究方法

第三十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一40刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.

的方法:第四十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.3.1数列极限(limitofsequence)

数列极限的实质：考察当n→+∞时，数列{an}的通项an的变化趋势。引例考察数列{an}的变化趋势：Ox-11a1a2a3a4……Ox2

1a1a2a4an…3n…Ox-1a2n-1a2n1a3第四十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.3

已知数列{xn}，A是某确定常数。若当数列的项数n无限增大时，数列的项xn与常数A的距离|xn-A|任意小，则称数列{xn}以常数A为极限，记为或如果一个数列的极限存在，则称该数列是收敛(converge)的；如果一个数列的极限不存在，则称该数列是发散(diverge)的。第四十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一43定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).若数列及常数a有下列关系:当n>

N

时,总有记作此时也称数列收敛

,否则称数列发散

.几何解释:即或则称该数列的极限为a,第四十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.已知证明数列的极限为1.

证:欲使即只要因此,取则当时,就有故第四十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一45例2.已知证明证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N

与有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:

取第四十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一46收敛性质证:

用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当n>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N

时,故假设不真!满足的不等式第四十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一472.收敛数列一定有界.说明:

此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列第四十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.3.2函数极限(limitoffunction)

数列{xn}可表示成函数的形式：y=f(n),n∈Ny=f(x),x∈N这时，自变量的变化趋势只有一种：x→+∞

而对一般的函数而言，y=f(x),x∈D自变量的变化趋势有两种情形：x→+∞、x→-∞、x→∞;x→x0第四十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.4(x趋于无穷大时函数f(x)的极限)

设函数f(x)

在区间(a,+∞)内有定义，A是某确定常数。若当x→+∞时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)

在x→+∞时以常数A为极限，记为或并称x→+∞时f(x)收敛(converge)；否则，称x→+∞时f(x)发散(diverge)。同理，可定义函数f(x)

在x→-∞时以常数A为极限：第四十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一50定义

.设函数大于某一正数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释:记作直线y=A

为曲线的水平渐近线A

为函数第五十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一51直线y=A仍是曲线

y=f(x)

的渐近线.两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，第五十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.5(x趋于x0时函数f(x)的极限)

设函数f(x)

在点

x0附近有定义，A是某确定常数。若当自变量x趋于x0时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)

在x趋于x0时以常数A为极限，记为或并称x趋于x0时f(x)收敛；否则，称x趋于x0时f(x)发散。第五十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一53定义1.

设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数

A

为函数当时的极限,或即当时,有若记作几何解释:极限存在函数局部有界这表明:第五十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一说明：函数极限的实质：考察当x→x0时，函数f(x)的变化趋势：若x→x0时函数f(x)收敛，则x→x0时f(x)必定趋向于某一个确定的数；若x→x0时函数f(x)发散，则x→x0时f(x)不趋向于任何确定的数。“x→x0”表示x从x0的两侧任意接近x0

。但有时也需考虑x从x0的某一侧任意接近x0时，函数f(x)的极限情况。第五十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一55例.

证明证:故取当时,必有因此第五十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.3.2不存在不存在不存在不存在第五十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一x→0

时，在–1和1之间无限震荡。第五十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.3.3单侧极限(one-sidedlimit)定义1.6(单侧极限)

设函数f(x)

在区间(x0,x0+δ)

内有定义，A是某确定常数。若x从x0的右侧趋于x0时，f(x)与A的距离|f(x)-A|任意小，则称函数f(x)

在x趋于x0时以常数A为右极限(right-sidedlimit)，记为或同理，左极限：(left-sidedlimit)第五十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.3.3考察符号函数sgnx在x=0处的单侧极限。解：sgnx的图像如右图：oxy1-1则右极限左极限x→0时，sgnx的变化趋势如何？是否有极限？可得出什么结论？第五十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定理1.1(单侧极限与一般极限的关系)

当x→x0时，函数f(x)极限存在的充要条件是左、右极限存在且相等，即or第六十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一61例.

设函数讨论时的极限是否存在.解:

利用定理3.因为显然所以不存在.第六十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一

问a为何值时，所给函数在x=2处极限存在?例1.3.4解：左极限右极限欲使函数在x=2处有极限，必有4+2a=20,a=8.第六十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一研究函数在x→x0极限时，是否要考虑f(x)在x=x0时的性态？为什么？若f(x0+0)和f(x0-0)都存在，当x趋于x0时，

f(x)的极限一定存在吗？如何利用f(x0+0)和f(x0-0)来判断当x趋于x0时，f(x)的极限不存在？

第六十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.4极限的计算1.4.1极限的四则运算法则1.4.2两个重要极限第六十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.4.1极限的四则运算法则

具体的运算法则见P.18定理。以下面几个例子来说明极限的运算法则:定理1.2(极限的四则运算法则)则有定理.

若定理

.若则有定理.

若且B≠0,则有第六十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一66例.

求解:

x=1时分母=0,分子≠0,但因第六十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一67例6

.

求解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式第六十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一68一般有如下结果：为非负常数)第六十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.4.1例1.4.2=-1例1.4.3第六十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一70思考及练习1.是否存在?为什么?答:

不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式2.问第七十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一713.

求解法1原式=解法2令则原式=第七十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一724.

试确定常数a

使解:令则故因此第七十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.4.2两个重要极限

两个重要极限是极限的证明及计算中的重要内容。重要极限及其变形也是各类考试的考点。第七十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一74圆扇形AOB的面积证:当即亦即时，显然有△AOB

的面积＜＜△AOD的面积故有注第七十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一75当时注第七十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.4.5=-1例1.4.6=1例1.4.4=3第七十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一77例.

求解:例.

求解:

令则因此原式第七十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.4.7第七十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一79例.

求解:

原式=例.

已知圆内接正n

边形面积为证明:证:说明:计算中注意利用第七十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一第八十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一812.证:当时,设则第八十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一82当则从而有故说明:

此极限也可写为时,令第八十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.4.9例1.4.10例1.4.8第八十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一84例.求解:

原式=第八十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一85例.

求解:

令则因此原式且第八十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一86例.求解:

原式=第八十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.5无穷小量与无穷大量1.5.1无穷小量1.5.2无穷小量阶的比较1.5.3无穷大量第八十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.5.1无穷小量

如果定义1.7(无穷小量)则称f(x)是x→x0时的无穷小量(infinitesimal).说明：

类似地，可定义在自变量的其它变化情形下的无穷小量：

x→∞，x→x0+

，x→x0-，…

称以0为极限的数列为无穷小数列。第八十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.5.1因为所以当x→1

时函数x-1为无穷小量。因为所以当x→∞

时函数1/x为无穷小量。无穷小量是很小的数吗？数零是不是无穷小量？第八十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一无穷小的性质

当x→x0

时，如果f(x)、g(x)均为无穷小，则当x→x0时，有:

f(x)±g(x)为无穷小。推广：有限个无穷小的代数和是无穷小。有界变量(常量、无穷小量)与无穷小的积是无穷小。

两个无穷小的和、差与积仍是无穷小。两个无穷小的商呢？如：x→

0时，3x、x2、sinx

都是无穷小，但第九十页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一91其中为时的无穷小量.定理.(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第九十一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.5.2无穷小量阶的比较

对无穷小量进行阶的比较是为了考察两个无穷小量趋于0的速度。

设f(x)、g(x)为x→x0

时的无穷小，如果则称x→x0

时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小；则称x→x0

时，f(x)是比g(x)低阶的无穷小；记为：f(x)=o(g(x))(x→x0)第九十二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一则称x→x0

时，f(x)与g(x)是同阶的无穷小。特别地，当k=1时，称f(x)与g(x)是等价无穷小。记为：f(x)=O(g(x))(x→x0)

记为：f(x)~g(x)(x→x0)

第九十三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一94例如

,

当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且第九十四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.5.2因为所以，当x→0时，x2

是比3x

高阶的无穷小量,即x2=o(3x)(x→0)又则当x→3时,x2-9

是与x-3同阶的无穷小量，x2-9=O(x-3)(x→3)第九十五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.5.3当x→0

时，a

取何值使得解：要使必须a=2第九十六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一扩展：定理设且存在，则在求极限中的应用：例1.5.4求解：当时，sinx~x,故P.24例3第九十七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一98例1.求解:原式例2.求解:第九十八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.5.2无穷大量定义1.8(无穷大量)如果则称函数变量f(x)是x→x0时的无穷大量(infinitelygreat)

。说明：

不可将无穷大(∞)与很大的数混为一谈；

无穷大数列；

无穷大与无穷小的关系。第九十九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.6函数的连续性1.6.1连续的概念1.6.2函数的间断点1.6.3连续函数的性质与初等函数的连续性第一百页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.6.1连续的概念变量的增量(increment)函数的连续性定义1.9(函数的连续性定义1)

设y=f(x)在x0的某邻域内有定义。自变量的增量Δx=x-x0,函数的增量

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。则称函数y=f(x)在x0处连续。(continuityoffunction)x0f(x0)x0+△xf(x0+△x)△yf(x)若第一百零一页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一例1.6.1证明

y=sinx在点x∈(-∞,+∞)

连续。证明：由定义1.9知,y=sinx在任意点x∈(-∞,+∞)连续，称sinx在区间(-∞,+∞)内是连续的。

类似地,y=cosx

在区间(-∞,+∞)内是连续的。第一百零二页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.10(函数的连续性定义2)说明：(1)函数y=f(x)在点x0及附近有定义；几何意义：定义要点：函数曲线在x=x0处是“连”着的。在求极限中的应用：(2)函数y=f(x)在点x0处极限存在；(3)函数y=f(x)在点x0处极限值等于函数值

f(x0),即：

求连续函数的极限时,极限符号与连续函数符号可以交换顺序。因此，只要求出函数值即可。第一百零三页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.11(函数的左、右连续性)

设函数y=f(x)在区间(x0-δ,x0]内有定义，如果f(x0)=f(x0-0)，则称函数在点x0左连续。同理，可定义右连续。xyx0xyx0定理1.3(连续的充分必要条件)左连续右连续第一百零四页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一定义1.12(函数在区间内(上)连续)

如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点都连续，则称y=f(x)在开区间(a,b)内连续。如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内连续，且在区间左端点a右连续，在区间右端点b左连续，则称y=f(x)在闭区间[a,b]上连续。说明：

区间内(上)的连续函数的图像是一条没有间断的曲线。第一百零五页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1.6.2函数的间断点函数的间断点：

如果函数y=f(x)在点x0不连续，则称点x0为函数y=f(x)的间断点(pointofdiscontinuity)。怎样判断点x0为函数y=f(x)的间断点：(1)函数在点x0是否有定义；(2)函数在点x0处的左、右极限均是否存在并相等；(3)函数在点x0处的极限值是否等于该点的函数值。函数间断点的分类：

间断点分为两类。第一百零六页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一第一类间断点：

设x0为函数y=f(x)的间断点，如果f(x)在间断点x0处的左、右极限都存在(不论f(x)在x0处是否有定义)，则称x0是f(x)的第一类间断点．xyx0xyx0第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点可去间断点跳跃间断点xyx0第一百零七页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一108显然为其可去间断点.为其跳跃间断点.第一百零八页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一第二类间断点：

除第一类间断点以外的其它间断点统称为第二类间断点。

常见的有无穷间断点和振荡间断点。例1.6.3考察下列函数在x=0处的间断情况：x=0为振荡间断点为无穷间断点第一百零九页，共一百二十三页，编辑于2023年，星期一1101.求