2019版数学（文）教师用书：第三章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1）平方关系：sin2α＋cos2α＝eq\a\vs4\al(1）；（2）商数关系:tanα＝eq\f（sinα，cosα）.2．诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z）π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π，2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcos_α余弦cosα－cosαcosα－cos_αsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限3．特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0eq\f(π,6)eq\f(π,4）eq\f(π，3）eq\f（π,2）eq\f（2π，3）eq\f(5π，6)πsinαeq\a\vs4\al（0)eq\a\vs4\al（\f（1,2））eq\f（\r（2)，2)eq\a\vs4\al(\f(\r（3）,2)）1eq\a\vs4\al（\f(\r（3),2）)eq\a\vs4\al(\f(1,2)）0cosαeq\a\vs4\al(1)eq\a\vs4\al(\f(\r(3）,2）)eq\f(\r（2)，2）eq\a\vs4\al(\f(1，2)）0－eq\f(1,2)－eq\f(\r（3)，2）－1tanαeq\a\vs4\al(0)eq\a\vs4\al(\f(\r（3),3))1eq\a\vs4\al(\r（3)）－eq\r(3）－eq\f(\r(3),3)01．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）(1）若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(）（2)若α∈R，则tanα＝eq\f（sinα,cosα)恒成立．（)（3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．()答案：（1)×（2)×（3)×2．已知sinα＝eq\f（\r(5）,5）,eq\f（π,2)≤α≤π,则tanα＝()A．－2 B．2C。eq\f(1，2） D．－eq\f（1,2）解析：选D因为eq\f（π，2）≤α≤π，所以cosα＝－eq\r（1－sin2α）＝－eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(\r（5）,5）））2）＝－eq\f(2\r（5)，5)，所以tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝－eq\f（1,2）。3．（2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝eq\f（4，3)，则sin2α＝()A．－eq\f（7，9) B．－eq\f(2,9)C.eq\f（2，9) D。eq\f（7,9）解析:选A将sinα－cosα＝eq\f（4,3）的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝eq\f(16,9），即sin2α＝－eq\f（7，9).4．sin210°cos120°的值为（）A。eq\f（1，4) B．－eq\f(\r（3）,4）C．－eq\f(3,2） D.eq\f（\r(3），4)解析：选Asin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝－eq\f(1，2）×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(1，2)))＝eq\f(1,4).5．若sinθcosθ＝eq\f（1，2），则tanθ＋eq\f(cosθ，sinθ)＝________.解析：tanθ＋eq\f（cosθ,sinθ)＝eq\f(sinθ，cosθ)＋eq\f（cosθ，sinθ）＝eq\f(1,cosθsinθ)＝2.答案：26．sin2490°＝________；coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（52π,3）)）＝________.解析：sin2490°＝sin(7×360°－30°）＝－sin30°＝－eq\f（1，2）.coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(52π，3））)＝coseq\f(52π,3)＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（16π＋π＋\f(π,3）））＝coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（π＋\f（π，3）））＝－coseq\f（π,3)＝－eq\f（1,2).答案:－eq\f（1,2)－eq\f（1,2）eq\a\vs4\al(考点一三角函数的诱导公式)eq\a\vs4\al(基础送分型考点——自主练透)［考什么·怎么考]诱导公式在三角函数的求值和化简中具有非常重要的应用,较少单独考查，多与三角恒等变换结合在一起考查,常以选择题、填空题的形式出现，难度较小，属于中低档题。1．(2018·天一大联考）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4），则sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f(2017π,2））)＝(）A．－eq\f(4，5) B．－eq\f（3，5)C。eq\f（3，5) D.eq\f(4，5)解析:选B∵角α的终边经过点P（3,4)，∴sinα＝eq\f（4，5），cosα＝eq\f（3，5），∴sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f（2017π，2）)）＝sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（α－\f（π,2）))＝－cosα＝－eq\f（3，5）。2．化简sin（－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin（－261°)的结果为（)A．1 B．－1C．0 D．2解析：选C原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°·sin261°＝－sin(3×360°－9°）sin（90°＋9°)＋sin（180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0。3．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα）＋eq\f（coskπ＋α,cosα）(k∈Z）,则A的值构成的集合是（）A．｛1，－1,2,－2}B．{－1，1}C．｛2，－2｝ D．{1，－1,0，2，－2｝解析:选C当k为偶数时，A＝eq\f（sinα，sinα)＋eq\f(cosα,cosα）＝2；当k为奇数时，A＝eq\f(－sinα，sinα）－eq\f(cosα，cosα）＝－2。故A＝{2,－2｝．4．已知f(α)＝eq\f（cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π，2）＋α））sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2）－α)），cos－π－αtanπ－α），则feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(25π,3）））的值为________．解析：因为f(α)＝eq\f（cos\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,2)＋α））sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3π,2）－α))，cos－π－αtanπ－α）＝eq\f(－sinα－cosα，－cosα\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（sinα,cosα)））)＝cosα，所以feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（25π,3）））＝coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(25π，3））)＝coseq\f（π，3)＝eq\f(1,2).答案:eq\f（1,2）5．已知taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6）－α）)＝eq\f（\r（3),3）,则taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π,6)＋α))＝________。解析：taneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（5π，6）＋α）)＝taneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（π－\f(π,6）＋α)）＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（π－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π,6)－α））））＝－taneq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，6）－α）)＝－eq\f（\r（3），3）。答案：－eq\f(\r（3）,3）［怎样快解·准解]1．熟记常见的互余和互补的2组角互余的角eq\f（π,3）－α与eq\f（π,6）＋α；eq\f(π，3）＋α与eq\f(π，6）－α；eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4）－α等互补的角eq\f（π,3）＋θ与eq\f（2π,3）－θ；eq\f（π,4）＋θ与eq\f(3π，4)－θ等2．学会巧妙过渡，熟知将角合理转化的流程也就是：“负化正,大化小，化到锐角就好了．”3．明确三角函数式化简的原则和方向（1)切化弦，统一名．(2）用诱导公式，统一角．（3）用因式分解将式子变形，化为最简．也就是：“统一角，统一名，同角名少为终了．"eq\a\vs4\al（考点二同角三角函数的基本关系及应用）eq\a\vs4\al(重点保分型考点——师生共研）同角三角函数的基本关系式是求解三角函数问题的基础,多与其他三角函数知识融合在一起进行考查，以公式及其变形解决计算问题为主，属于中低档题。［典题领悟]1．若tanα＝2,则eq\f(sinα＋cosα，sinα－cosα)＋cos2α＝（）A。eq\f（16,5) B．－eq\f(16，5）C.eq\f(8，5) D．－eq\f（8,5）解析：选Aeq\f（sinα＋cosα，sinα－cosα）＋cos2α＝eq\f（sinα＋cosα,sinα－cosα）＋eq\f(cos2α，sin2α＋cos2α）＝eq\f（tanα＋1,tanα－1）＋eq\f(1,tan2α＋1）＝eq\f(16,5）。2．已知sinαcosα＝eq\f(3，8)，且eq\f(π，4）〈α<eq\f（π,2），则cosα－sinα的值为(）A。eq\f(1，2) B．±eq\f(1，2)C．－eq\f（1,4） D．－eq\f(1，2）解析：选D因为sinαcosα＝eq\f(3,8）,所以（cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×eq\f(3，8）＝eq\f（1，4）,因为eq\f（π，4）<α〈eq\f（π，2），所以cosα〈sinα，即cosα－sinα〈0，所以cosα－sinα＝－eq\f（1，2).3．已知α为第二象限角，则cosα·eq\r（1＋tan2α）＋sinα·eq\r(1＋\f（1,tan2α)）＝________。解析：原式＝cosαeq\r(\f(sin2α＋cos2α,cos2α）)＋sinαeq\r（\f(sin2α＋cos2α，sin2α）)＝cosα·eq\f（1,|cosα|)＋sinα·eq\f（1,|sinα|),因为α是第二象限角，所以sinα＞0,cosα＜0，所以cosα·eq\f（1，|cosα|）＋sinα·eq\f（1，｜sinα｜）＝－1＋1＝0,即原式等于0.答案：04．(2018·泉州质检）已知θ为第四象限角，sinθ＋3cosθ＝1，则tanθ＝________.解析：由(sinθ＋3cosθ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sinθcosθ＝－8cos2θ,又因为θ为第四象限角，所以cosθ≠0，所以6sinθ＝－8cosθ,所以tanθ＝－eq\f（4，3)。答案：－eq\f（4，3)[解题师说]1．掌握3个应用技巧技巧解读适合题型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f（sinθ，cosθ）＝tanθ化成正切表达式中含有sinθ，cosθ与tanθ.(如典题领悟第1、3题)“1"的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f（π，4)＝(sinθ±cosθ）2∓2sinθcosθ表达式中需要利用“1”转化．(如典题领悟第4题）和积转换利用（sinθ±cosθ）2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化表达式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ.（如典题领悟第2题)2．谨记3个解题关键(1)利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用．(2）同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．(3)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方,要特别注意判断符号．[冲关演练］1．(2018·安徽江南十校联考)已知tanα＝－eq\f（3，4），则sinα·（sinα－cosα)＝（）A。eq\f(21,25) B。eq\f（25，21）C.eq\f（4，5） D.eq\f（5,4）解析：选Asinα（sinα－cosα)＝sin2α－sinαcosα＝eq\f（sin2α－sinαcosα，sin2α＋cos2α）＝eq\f（tan2α－tanα，tan2α＋1），将tanα＝－eq\f(3，4)代入，得原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，4）））2－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（3，4）））,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（3，4）))2＋1）＝eq\f(21，25),故选A。2．若α是三角形的内角，且tanα＝－eq\f(1，3），则sinα＋cosα的值为________．解析：由tanα＝－eq\f（1,3）,得sinα＝－eq\f（1，3）cosα，将其代入sin2α＋cos2α＝1，得eq\f(10,9)cos2α＝1，∴cos2α＝eq\f（9,10),易知cosα<0，∴cosα＝－eq\f(3\r（10),10），sinα＝eq\f(\r(10)，10），故sinα＋cosα＝－eq\f（\r(10)，5).答案：－eq\f（\r（10),5)3．已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝eq\f(1，5)，则tanα＝________.解析:由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（sinα＋cosα＝\f(1,5)，，sin2α＋cos2α＝1））消去cosα，整理得25sin2α－5sinα－12＝0，解得sinα＝eq\f(4,5）或sinα＝－eq\f(3，5)。因为α是三角形的内角，所以sinα＝eq\f(4，5),又由sinα＋cosα＝eq\f(1，5)，得cosα＝－eq\f（3，5)，所以tanα＝－eq\f(4，3).答案：－eq\f（4,3）（一）普通高中适用作业A级-—基础小题练熟练快1．已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(5,12），则sinα＝（)A。eq\f(1，5) B．－eq\f(1,5）C.eq\f（5，13) D．－eq\f（5,13)解析：选D因为tanα＝－eq\f（5,12）,所以eq\f(sinα,cosα）＝－eq\f（5,12)，所以cosα＝－eq\f(12,5)sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±eq\f(5，13），又α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(5，13）。2．已知sin（π＋θ)＝－eq\r（3）cos（2π－θ)，|θ|＜eq\f（π，2),则θ等于（）A．－eq\f（π,6) B．－eq\f(π，3)C.eq\f(π,6） D.eq\f(π,3)解析：选D因为sin（π＋θ）＝－eq\r（3)cos(2π－θ),所以－sinθ＝－eq\r（3）cosθ，所以tanθ＝eq\r（3）.因为｜θ｜＜eq\f（π，2),所以θ＝eq\f（π，3).3．若eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π，sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f（1,2），则tanθ＝（)A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选D因为eq\f(sinπ－θ＋cosθ－2π，sinθ＋cosπ＋θ)＝eq\f（sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ)＝eq\f（1,2），所以2（sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ,所以tanθ＝－3.4．计算：sineq\f(11π，6）＋coseq\f(10π,3)＝(）A．－1 B．1C．0 D。eq\f（1，2）－eq\f(\r（3)，2）解析：选A原式＝sineq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（2π－\f（π，6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（3π＋\f（π,3)）)＝－sineq\f(π，6)＋coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（π＋\f(π,3））)＝－eq\f(1,2）－coseq\f(π,3)＝－eq\f(1，2)－eq\f（1，2）＝－1。5．若tanα＝eq\f（1,2）,则sin4α－cos4α的值为（)A．－eq\f(1,5) B.eq\f（1，5）C。eq\f（3，5) D．－eq\f（3,5)解析：选D∵tanα＝eq\f(1，2)，∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α)·（sin2α－cos2α)＝eq\f(tan2α－1,tan2α＋1）＝－eq\f（3,5)。6．（2018·湖南郴州模拟）已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))）＝eq\f（12,13),则coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(π，6)－α））＝(）A。eq\f（5,12） B。eq\f（12，13)C．－eq\f(5，13） D．－eq\f（12，13）解析：选B因为sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f（π,3))）＝eq\f(12,13),所以coseq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,6）－α））＝sineq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,6）－α)）)）＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f（π,3）))＝eq\f(12,13）,故选B.7．已知α是第一象限角,且sin(π－α）＝eq\f(3，5），则tanα＝________.解析：因为sin(π－α）＝eq\f(3,5)，所以sinα＝eq\f(3，5)，因为α是第一象限角，所以cosα＝eq\f（4，5），所以tanα＝eq\f(sinα，cosα)＝eq\f(3,4）。答案：eq\f(3,4)8．化简eq\f(cos\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(α－\f(π，2）)），sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5π,2）＋α)））·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析:原式＝eq\f（cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（π，2)－α)），sin\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(2π＋\f（π，2)＋α)））·(－sinα)·cosα＝eq\f（sinα，sin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)＋α）)）·(－sinα)·cosα＝eq\f(sinα，cosα）·（－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α9．化简：eq\f（sinα＋πcosπ－αsin\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π，2)－α)），tan－αcos3－α－2π）＝________.解析：原式＝eq\f(－sinα－cosαsin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2）－α)），－tanαcos3α)＝eq\f(sinαcosαcosα，－\f（sinα，cosα）cos3α)＝eq\f（sinαcos2α,－sinαcos2α）＝－1。答案：－110．已知θ是三角形的一个内角，且sinθ，cosθ是关于x的方程4x2＋px－2＝0的两根，则θ等于________．解析：由题意知sinθ·cosθ＝－eq\f（1,2），联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sin2θ＋cos2θ＝1,,sinθ·cosθ＝－\f(1，2），)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f（\r（2），2)，,cosθ＝－\f（\r（2),2)）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(sinθ＝－\f（\r(2)，2），，cosθ＝\f（\r（2),2)，）)又θ为三角形的一个内角，∴sinθ＞0，则cosθ＝－eq\f(\r（2)，2)，∴θ＝eq\f（3π，4）.答案:eq\f（3π,4)B级-—中档题目练通抓牢1．(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝eq\f（3,4),则cos2α＋2sin2α＝（)A.eq\f（64，25) B.eq\f(48，25）C．1 D.eq\f（16，25)解析:选A因为tanα＝eq\f（3,4），所以cos2α＋2sin2α＝eq\f(cos2α＋4sinαcosα,sin2α＋cos2α）＝eq\f(1＋4tanα,tan2α＋1）＝eq\f（1＋4×\f（3，4),\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,4)））2＋1）＝eq\f（64，25)。2．已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos（πx＋β)，且f（3)＝3，则f(2018)的值为（)A．－1 B．1C．3 D．－3解析:选D因为f(3）＝asin(3π＋α）＋bcos(3π＋β)＝－asinα－bcosβ＝3，所以asinα＋bcosβ＝－3，所以f（2018）＝asin（2018π＋α)＋bcos（2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－3.3．（2018·广州模拟）当θ为第二象限角，且sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(θ,2)＋\f（π，2)））＝eq\f(1,3)时，eq\f(\r(1－sinθ),cos\f（θ,2)－sin\f（θ，2））的值是()A．1 B．－1C．±1 D．0解析:选B∵sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(θ，2）＋\f（π，2）)）＝eq\f（1，3）,∴coseq\f(θ，2）＝eq\f（1,3）,∴eq\f（θ,2)在第一象限，且coseq\f(θ，2）<sineq\f(θ,2），∴eq\f(\r(1－sinθ),cos\f（θ,2)－sin\f(θ，2））＝eq\f（－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(cos\f（θ，2）－sin\f(θ,2））)，cos\f(θ,2）－sin\f（θ,2））＝－1。4．sineq\f（4π,3）·coseq\f（5π,6）·taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（4π,3)）)的值是________．解析:原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π，3）））·coseq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f（π，6））)·tan－π－eq\f(π，3）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－sin\f(π，3)))·eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－cos\f(π,6)))·eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－tan\f（π,3）)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(\r(3），2）））×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r(3）,2)））×（－eq\r（3)）＝－eq\f（3\r(3）,4).答案：－eq\f（3\r（3）,4)5．已知sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，则eq\f(sinπ－α＋5cos2π－α,2sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3π，2）－α)）－sin－α)＝________。解析：由已知得，－sinα＝2cosα，即tanα＝－2,所以eq\f（sinπ－α＋5cos2π－α,2sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3π，2）－α））－sin－α)＝eq\f(sinα＋5cosα，－2cosα＋sinα)＝eq\f(tanα＋5,－2＋tanα）＝－eq\f(3,4)。答案:－eq\f（3,4）6．已知sin(3π＋θ)＝eq\f(1,3),求eq\f(cosπ＋θ，cosθ［cosπ－θ－1]）＋eq\f(cosθ－2π，sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(θ－\f（3π,2））)cosθ－π－sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π，2）＋θ）)）的值．解：因为sin(3π＋θ）＝－sinθ＝eq\f(1,3),所以sinθ＝－eq\f（1，3）,所以原式＝eq\f（－cosθ，cosθ－cosθ－1)＋eq\f（cos2π－θ,－sin\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3π,2）－θ）)cosπ－θ＋cosθ)＝eq\f(1，1＋cosθ)＋eq\f（cosθ,－cos2θ＋cosθ）＝eq\f(1，1＋cosθ）＋eq\f（1,1－cosθ）＝eq\f（2，1－cos2θ）＝eq\f(2,sin2θ）＝eq\f（2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f（1,3)））2)＝18。7．已知关于x的方程2x2－（eq\r(3）＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0，2π），求:（1)eq\f(sin2θ，sinθ－cosθ)＋eq\f(cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1）原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ）＋eq\f(cosθ,1－\f（sinθ，cosθ）)＝eq\f(sin2θ，sinθ－cosθ)＋eq\f（cos2θ,cosθ－sinθ)＝eq\f(sin2θ－cos2θ，sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ。由条件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r(3）＋1,2)，故eq\f(sin2θ，sinθ－cosθ）＋eq\f（cosθ,1－tanθ)＝eq\f(\r（3）＋1,2）.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝eq\f(\r（3）＋1，2)，sinθcosθ＝eq\f（m，2),又1＋2sinθcosθ＝（sinθ＋cosθ）2，可得m＝eq\f(\r（3)，2)。(3)由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r(3)＋1，2），,sinθcosθ＝\f(\r（3),4），))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（sinθ＝\f（\r（3）,2），，cosθ＝\f（1,2））)或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＝\f（1,2），,cosθ＝\f（\r（3),2）.））又θ∈（0,2π)，故θ＝eq\f(π，3)或θ＝eq\f(π,6).C级——重难题目自主选做已知f(x）＝eq\f(cos2nπ＋x·sin2nπ－x,cos2[2n＋1π－x］）（n∈Z）．(1)化简f(x)的表达式；(2)求feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π，2018）））＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（504π,1009）)）的值．解：（1)当n为偶数,即n＝2k(k∈Z)时，f（x）＝eq\f(cos22kπ＋x·sin22kπ－x，cos2［2×2k＋1π－x])＝eq\f（cos2x·sin2－x,cos2π－x）＝eq\f（cos2x·－sinx2,－cosx2)＝sin2x；当n为奇数,即n＝2k＋1（k∈Z）时，f(x)＝eq\f（cos2[2k＋1π＋x]·sin2［2k＋1π－x],cos2{［2×2k＋1＋1]π－x｝）＝eq\f(cos2[2kπ＋π＋x］·sin2［2kπ＋π－x],cos2[2×2k＋1π＋π－x］)＝eq\f（cos2π＋x·sin2π－x，cos2π－x）＝eq\f（－cosx2sin2x，－cosx2)＝sin2x，综上得f(x）＝sin2x.(2）由（1)得feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（π,2018)))＋feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（504π,1009)))＝sin2eq\f（π，2018)＋sin2eq\f（1008π，2018）＝sin2eq\f（π，2018)＋sin2eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2）－\f(π,2018))）＝sin2eq\f(π,2018）＋cos2eq\f(π，2018)＝1。（二)重点高中适用作业A级——保分题目巧做快做1．已知sin（π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ),|θ|＜eq\f（π，2）,则θ等于（）A．－eq\f（π,6） B．－eq\f(π，3）C.eq\f（π，6) D。eq\f（π,3)解析：选D因为sin(π＋θ)＝－eq\r（3）cos(2π－θ),所以－sinθ＝－eq\r(3)cosθ，所以tanθ＝eq\r(3）.因为|θ|＜eq\f（π,2）,所以θ＝eq\f(π,3).2．计算:sineq\f（11π，6)＋coseq\f(10π,3)＝（）A．－1 B．1C．0 D。eq\f(1，2)－eq\f（\r(3)，2)解析：选A原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2π－\f(π,6））)＋coseq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(3π＋\f(π,3）））＝－sineq\f（π，6）＋coseq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（π＋\f（π，3)））＝－eq\f（1，2）－coseq\f（π，3)＝－eq\f(1，2）－eq\f(1,2)＝－1.3．若tanα＝eq\f（1,2），则sin4α－cos4α的值为（)A．－eq\f(1，5) B。eq\f(1,5）C.eq\f（3，5） D．－eq\f（3,5）解析：选D∵tanα＝eq\f(1，2),∴sin4α－cos4α＝（sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α）＝eq\f(tan2α－1,tan2α＋1）＝－eq\f（3，5）。4．已知函数f(x）＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β），且f（3）＝3，则f（2018)的值为（）A．－1 B．1C．3 D．－3解析:选D因为f（3)＝asin（3π＋α）＋bcos（3π＋β)＝－asinα－bcosβ＝3，即asinα＋bcosβ＝－3,所以f(2018）＝asin（2018π＋α）＋bcos（2018π＋β)＝asinα＋bcosβ＝－3.5。若sinα＋cosα＝eq\f(7，13）（0＜α＜π），则tanα＝（)A．－eq\f(1,3） B。eq\f（12,5）C．－eq\f(12，5） D。eq\f(1，3）解析：选C∵sinα＋cosα＝eq\f（7,13)(0＜α＜π），①∴两边平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(49,169),得sinαcosα＝－eq\f（60，169).又0＜α＜π,∴sinα＞0，cosα＜0，∴(sinα－cosα）2＝1－2sinαcosα＝eq\f（289，169），∴sinα－cosα＝eq\f（17,13），②由①②解得sinα＝eq\f(12,13），cosα＝－eq\f（5,13），故tanα＝－eq\f（12，5).6．化简：eq\f（sinα＋πcosπ－αsin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5π，2)－α)），tan－αcos3－α－2π）＝________。解析：原式＝eq\f(－sinα－cosαsin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(π，2）－α)），－tanαcos3α)＝eq\f(sinαcosαcosα,－\f(sinα,cosα)cos3α）＝eq\f（sinαcos2α，－sinαcos2α)＝－1。答案：－17.（2017·江西上饶一模)已知eq\f（π,2）＜α＜π，3sin2α＝2cosα，则sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(α－\f（9π，2)）)＝________。解析：∵eq\f（π，2)＜α＜π，∴cosα＜0.∵3sin2α＝2cosα,即6sinα·cosα＝2cosα，∴sinα＝eq\f(1，3），cosα＝－eq\f(2\r(2),3），则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（9π,2）））＝－cosα＝eq\f（2\r（2)，3).答案：eq\f(2\r(2），3)8.sin(－1200°）·cos1290°＋cos(－1020°）·sin(－1050°)＋tan945°的值为________．解:原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°）＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·（－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°）·(－cos30°）＋cos60°·sin30°＋tan45°＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（\r(3)，2)）)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（\r（3),2)）)＋eq\f（1,2）×eq\f(1,2）＋1＝2。答案：29.已知α为第三象限角，f(α)＝eq\f（sin\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（α－\f（π，2））)·cos\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2）＋α））·tanπ－α，tan－α－π·sin－α－π）。（1)化简f（α）；（2）若coseq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（α－\f（3π，2)））＝eq\f（1,5),求f（α)的值．解：(1)f（α）＝eq\f(sin\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2））)·cos\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3π，2)＋α)）·tanπ－α，tan－α－π·sin－α－π)＝eq\f（－cosα·sinα·－tanα,－tanα·sinα）＝－cosα。（2)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（α－\f（3π，2）))＝eq\f(1,5)，∴－sinα＝eq\f（1,5），从而sinα＝－eq\f(1，5)。又α为第三象限角,∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f（2\r（6)，5），∴f（α）＝－cosα＝eq\f(2\r（6)，5)。10．已知关于x的方程2x2－(eq\r(3)＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π），求：(1）eq\f（sin2θ，sinθ－cosθ)＋eq\f（cosθ,1－tanθ)的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解:（1）原式＝eq\f(sin2θ,sinθ－cosθ)＋eq\f（cosθ，1－\f(sinθ，cosθ）)＝eq\f(sin2θ，sinθ－cosθ）＋eq\f(cos2θ,cosθ－sinθ）＝eq\f(sin2θ－cos2θ,sinθ－cosθ)＝sinθ＋cosθ。由条件知sinθ＋cosθ＝eq\f(\r（3）＋1,2)，故eq\f（sin2θ,sinθ－cosθ）＋eq\f(cosθ，1－tanθ)＝eq\f(\r(3)＋1，2)。（2）由已知，得sinθ＋cosθ＝eq\f（\r(3）＋1，2),sinθcosθ＝eq\f（m，2），又1＋2sinθcosθ＝(sinθ＋cosθ）2，可得m＝eq\f（\r（3）,2）.（3）由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ＝\f(\r（3)＋1,2），,sinθcosθ＝\f(\r（3),4)，）)得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinθ＝\f(\r(3）,2）,，cosθ＝\f（1,2)）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（sinθ＝\f(1，2），，cosθ＝\f(\r(3),2）.)）又θ∈(0，2π)，故θ＝eq\f（π，3)或θ＝eq\f(π，6)。B级——拔高题目稳做准做1．（2018·广州模拟)当θ为第二象限角，且sineq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（θ,2)＋\f(π,2））)＝eq\f(1,3)时,eq\f(\r（1－sinθ）,cos\f（θ,2）－sin\f（θ,2)）的值是（）A．1 B．－1C．±1 D．0解析：选B∵sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（θ,2)＋\f（π，2))）＝eq\f（1,3），∴coseq\f（θ,2)＝eq\f(1，3)，∴eq\f（θ,2）在第一象限，且coseq\f(θ，2）<sineq\f(θ，2），∴eq\f(\r（1－sinθ），cos\f（θ，2）－sin\f（θ，2)）＝eq\f（－\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（cos\f(θ，2)－sin\f（θ，2))），cos\f(θ,2）－sin\f（θ，2））＝－1.2。（2018·湖南衡阳模拟）已知θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(π,2),\f(π，2）)），且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0，1)，则tanθ的可能取值是(）A．－3 B．3或eq\f（1,3）C．－eq\f(1,3) D．－3或－eq\f(1,3)解析：选C由sinθ＋cosθ＝a，两边平方可得2sinθ·cosθ＝a2－1。由a∈(0，1)，得sinθ·cosθ＜0.又∵θ∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（π,2），\f（π,2）））,∴cosθ＞0，sinθ＜0，θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2）,0)).又由sinθ＋cosθ＝a＞0,知｜sinθ|＜｜cosθ|.∴θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(π，4），0）），从而tanθ∈（－1,0）．故选C。3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.解析：因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44。5.答案：44。54。已知0＜α＜eq\f(π，2），若cosα－sinα＝－eq\f(\r（