平面曲线积分与路径无关条件_第1页
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文档简介

平面曲线积分与路径无关条件第一页，共18页。§11.4平面曲线积分与路径无关的条件返回第二页，共18页。定理11.2

设D是单连通域

,在D内具有一阶连续偏导数,(i)沿D中任意按段光滑闭曲线

L,有(ii)对D中任一按段光滑曲线

L,曲线积分(iii)(iv)在D内处处成立与路径无关,只与L

的起点及终点有关.

函数则以下四个条件等价:是D内是某一函数的全微分,即

第三页，共18页。证明(i)(ii)

设为D内任意两条由A到B

的有向分段光滑曲线,则(根据条件(i))所以第四页，共18页。证明

(ii)(iii)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B(x,y),

与路径无关,有函数

第五页，共18页。证明

(iii)(iv)

设存在函数

u(x,y)使得则P,Q在D内具有连续的偏导数,所以从而在D内每一点都有第六页，共18页。证明

(iv)(i)

设L为D中任一分段光滑闭曲线,利用格林公式,得所围区域为证毕由条件(iv),在D上处处成立第七页，共18页。由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:具有性质：du=Pdx+Qdy称u(x,y)为Pdx+Qdy

在域D内的一个原函数.第八页，共18页。说明:根据定理2,若在某区域内则2)可用积分法求du=

Pdx+Qdy在域D内的原函数:及动点或则原函数为取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;第九页，共18页。例1试应用曲线积分求的原函数.解这里在整个平面上成立由定理2,

曲线积分第十页，共18页。为此,取取路线为图11-1中的折

线段

于是有只与起点

A和终点

B有关,而与路线的选择无关.

第十一页，共18页。例2.设质点在力场作用下沿曲线L:由移动到求力场所作的功W解:令则有可见,在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.第十二页，共18页。取圆弧第十三页，共18页。解第十四页，共18页。例4：计算积分其中C是上半圆周顺时针方向为正。例5：已知点O（0,0）及点A（1,1），且曲线积分与路径无关,试确定常数a,b，并计算曲线积分。第十五页，共18页。全微分求积（全微分方程）设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D有连续偏导数，且是某个函数u的全微分,且则(u的求法)例求的一个原函数,并计算上述求原函数的过程称为全微分求积(分).第十六页，共18页。原函数的另一种求法:例求u为全微分方程

.若P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函

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