第五章效用函数

第五章效用函数SessionTopic效用函数的定义和公理效用函数的构成风险和效用的关系损失函数、风险函数和贝叶斯风险期望货币损益值准则的局限期望货币损益值准则的局限以期望货币损益值为标准的决策方法一般只适用于下列几种情况：（1）概率的出现具有明显的客观性值，而且比较稳定；（2）决策不是解决一次性问题，而是解决多次重复的问题；（3）决策的结果不会对决策者带来严重的后果。如果不符合这些情况，期望货币损益值准则就不适用，需要采用其他标准。

用期望值作为决策准则的根本条件是，决策有不断反复的可能。

所谓决策有不断重复的可能，包括下列三层涵义：第一，决策本身即为重复性决策。第二，重复的次数要比较多，尤其是当存在对于决策后果有重大影响的小概率事件时，只有重复次数相当多时才能用期望值来作为决策标准，因为只有这样其平均后果才接近于后果的期望值。例如，要决定是否按月投保火险，而且需要决定的不是投保一个月（投保一次），而是决定10年内（即120个月）是否投保，这就重复120次了。但因为失火损失较大，而失火概率又非常小，比如说仅万分之一，即120个月也不一定会失一次火，所以其实际平均后果就和期望值相差很大。假定投保者投保资产为12万元，而保险费规定为万分之二（保险费征收率一定比失火概率大，否则保险公司就无盈利可图了），那么每月应交保险费24元，这是在投保情况下每月的支出。如果不去投保，则损失的期望值为120000（1/10000）=12元，比投保的支出小得多。如按期望值标准，则谁也不会去投保了。可是实际上决策者还是会去投保的，这是因为实际平均损失与其期望值大不一样，如果这120个月中没有失火，则1元损失也没有，但万一失火一次，则等于每月平均损失120000/120=1000元，比计算的损失期望值大80多倍。所以计算出来的损失期望值对决定是否投保的决策者来说毫无意义，决策者往往会按“不怕一万，只怕万一”的心里去投保。因为拥有12万元资产的决策者来说，每月支出24元同其资产额相比几乎等于零，而万一失火却会遭受惨重损失。第三，每次决策后果都不会给决策者造成致命的威胁，否则，如果有此威胁，一旦真的产生此种致命后果，决策者就不可能再作下一次决策，从而也失去了重复的可能性。这就像投机者把全部资本孤注一掷一样，一旦失败，资本赔光，下一次也就无法再投机了。对于有此致命危险的重复性决策，期望值标准的采用也就受到了限制。最后，采用期望值标准时，还得假定在不断重复作出相同决策时其客观条件不变，这一方面包括了个自然状态的概率不变，另一方面亦包括决策后果函数不变。

Example1St.Petersburgparadox

AprimemotivatorforBernoulli’sworkontheevaluationorriskyventureswasthefamousSt.Petersburggame.Incurrentterms,afaircoinistosseduntilaheadappears.Ifthefirstheadoccursatthenthtoss,thepayoffis2n$.Supposeyouowntitletooneplayofthegame;thatis,youcanengageinitwithoutcost.Whatistheleastamountyouwouldsellyourtitlefor?AccordingtotheBernoullis,thisleastamountisyourequivalentmonetaryvalueofthegame.

Heobservedthattheexpectedpayoff(1/2)2+(1/4)22+(1/8)23+…=1+1+1+…isinfinite,butmostpeoplewouldselltitleforarelativelysmallsum,andheaskedforanexplanationofsuchaflagrantviolationofmaximumexpectedreturn.

Danielshowedhowhistheoryresolvestheissuebyprovidingauniquesolutionstotheequation

foranyfinitew0,wheresistheminimumsellingpriceorequivalentmonetaryvalue.Moreover,exceptfortheveryrich,apersonwouldgladlyselltitleforabout$25or$30.Theeffectofw0canbeseenindirectlybyestimatingyourminimumsellingpricewhenthepayoffatnis2ncentsinsteadof2ndollarsandcomparing100timesthisestimatetoyouranswerfromtheprecedingparagraph.UnlikeBernoulli,Cramerpayslittleattentiontoinitialwealth,andfor

x

0setsv(x)=.Inhisterms,theminimumsellingpriceisthevalueofsthatsatisfieswhichisalittleunder$6.Example2AGameillustratingthe‘St.Petersburgparadox’

Acasinomakesrepeatedindependenttossesofafaircoinuntilatailoccurs.Agambler,startingwithastakeof$1,isofferedthefollowingwager.Aftereachtossthegamblerwillbegiventwochoices.Hemayeithertakeawayhiswinningsfromtheprevioustossesofthecoin.Inthiscasethegamewillend.Alternativelyhemayuseallhiswinningsfromprevioustossesplushisoriginalstakemoneyasastakeforthenexttossofthecoin.Thisstakewillbetripledbythecasinoifaheadistossedonthenextthrow.Ontheotherhand,ifatailisthrownthegamblerwillloseallhiswinningsfromprevioustossesofthecointogetherwithhisoriginalstakemoney.SupposethatthegamblerisinstructedtofollowtheEMValgorithmwhenplayingthisgame.Assumerconsecutiveheadshavebeenthrownanddenotethegambler’soriginalstakeplustotalwinningsasSr.Hisexpectedpay-offforwithdrawingfromthegameisclearlySr.However,hisexpectedpay-offforcontinuingtoplayisatleast(1/2)

3Sr+(1/2)0=(3/2)Sr(theexpectedpay-offforplayingoncemore).SoundertheEMValgorithmthegamblershouldcontinuetostakehiswinningsuntilatailisthrown.Butsinceatailwillbethrowneventuallywithprobabilityone,byfollowingtheEMValgorithmthegamblerensuresthathewilllosehisoriginalstakemoneywithcertainty!

Clearly,inthesimplegamegivenabove,veryrationalpeoplewillnotwanttofollowthedictatesoftheEMValgorithm.ItisthereforenecessarytomodifytheEMValgorithmsothat‘optimaldecisions’canbedefinedsensiblyforsituationsliketheonegivenabove.Itwillbeshowninthenextsectionthatsuchamodificationispossibleprovidedthatyourclientispreparedtocommithimselftofollowingcertainrules(oraxioms).ItalsogeneralizestheEMVapproachtoproblemswhenclient’sobjectivesarenotonlythemaximizationofpay-off.Homework:AmedicallaboratoryhastotestNsamplesofbloodtoseewhichhavetracesofararedisease.Theprobabilityanyonepatienthasthediseaseisp,andgivenp,theprobabilityofanygroupofpatientshavingthediseaseisuninfluencedbytheexistenceorotherwiseofthediseaseinanyotherdisjointgroupofpatients.Becausepisbelievedtobesmallitissuggestedthatthelaboratorycombinethebloodofdpatientsintoequalsizedpoolsofn=N/dsampleswheredisadivisorofN.Eachpoolofsampleswouldthenbetestedtoseeifitexhibitedatraceoftheinfection.Ifnotracewerefoundthentheindividualsamplescomprisingthegroupwouldbeknowntobeuninfected.Ifontheotherhandatracewerefoundinthepooledsampleitisthenproposedthateachofthensamplescomprisingthatpoolbetestedindividually.Ifitcosts1totestanysampleofblood,whetherpooledorunpooled,findtheBayesdecisionfortheoptimalsizeofthegroupsofpatientsforagivenvalueofp.AnswerYouaregiventhespaceofdecisionsyouaretoconsideristhesetofdivisionsofN.Alltheuncertaintyintheexperimentexistsbecauseyoudonotknow(d)thenumberoftestsyourclientwillneedtodoifhechoosestopoolthesamplesintogroupsifdsamples.HismonetarylossisjustL(d)=(d).Theuncertainquantity(d)canbebrokendownintotwocomponents,beingthesumofthenumbernoftestedpoolsplusthenumberofindividualpatientsthatsubsequentlyneedtobechecked.Ifd=1,andhechoosestotestsamplesindividually,thesecondcomponentofthissumisknowntobezero.SothecorrespondingexpectedlossL(1)=N,thenumberofpatients.Supposed>1andyouchoosetopoolthesamplesinsomeway.Ifdenotestheprobabilitythatapoolhasnotraceofdiseasedblood,thenistheprobabilitythatnopatientinthepoolhastheinfection.Sincepatientshavethediseaseindependentlyitfollowsbythelawsofprobabilitythat=(1-p)d

So,sincehewilltestn=N/dsuchpooledsamples,theexpectednumberofpooledsamplesthatneedretestingisn(1-).Ifapoolisfoundtohavetracesofthediseasethenallmembersofthepoolwillberetested.Sotheexpectednumberofsamplesthatsubsequentlyneedretestingisdn(1-)=N{1-(1-p)d}Addingthisnumbertothechosennumberofpools(n=N/d)givestheexpectednumberoftests(orequivalentlytheexpectedlossin$)forchoosingtousesamplepoolsofsized>1.CombiningtheseresultsgivesthatAlthoughisnotalinearfunctionofd(asitwasinourfirstexample),givenp,canbeeasilycalculatedforeachdivisordofNandthedecisionwhichminimizesfound.Sinceisincreasingwhend>e,youcanshowthatifp

0.31youshouldchoosetotestsamplesindividually.Ontheotherhand,ifNisdivisibleby3andp<0.31thenitisalwaysoptimaltopoolsamplesinsomeway.Ifp<0.31,lety=d-1+1-(1-p)d.Theny=-d-2–(1-p)dln(1-p)=0.WecanobtainSincetherightoftheequationisconstant,thisanon-algebraequation.Wemayusenumericalcalculustoapproximativelyresolveit.Supposetheresolutionisd1,thentheoptimaldisthedivisorofNwhichisnearestd1.效用函数的定义和公理效用函数的定义和公理1.效用的概念

决策分析中有两个关键问题：一是对所研究现象的状态的不确定性进行量化；二是对各种可能出现的后果赋值。一般说来，状态的不确定性用各种状态出现的概率来描述，而研究出现后果的价值则要用到效用理论。所谓效用，就是金钱、物品、劳务或其它事务给人提供的满足。它是度量一定数量的金钱（或其它事务）在决策者心目中的价值或者说决策者对待它们的态度的概念。或者说，效用是在有风险的情况下，决策人对后果的爱好（称为偏好）的量化，可用一数值表示。在风险决策中，多用来体现决策者对风险所持有的态度。2.效用函数的定义定义5.1展望：设C1，C2，…，Cn表示决策人选择某一行动ai时，决策问题的全部n个可能的后果；p1，p2，…，pn分别时后果发生的概率。用P表示所有后果的概率分布，并记为P=（p1,C1;p2,C2;…;pn,Cn）称为展望。所有展望的集合记作。定义5.2

在上的效用函数是定义在上的实值函数u:(1)它和在上的优先关系一致，如果对于所有P1,P2

，有

P1

P2，当且仅当u(P1)

u(P2).(2)它在上是线性的，即如果P1,P2

，而且0

1，则

u(P1+(1-)P2)=u(P1)+(1-)u(P2).

将上述定义推广到一般情况，函数u的线性性可表示为：如果Pi

，而且i

0,i=1,2,…,m,，则复合展望由于P=（p1,C1;p2,C2;…;pn,Cn）所以u(P)=u(p1,C1;p2,C2;…;pn,Cn)记P1=(1,C1;0,C2;…;0,Cn)P2=(0,C1;1,C2;…;0,Cn)Pn=(0,C1;0,C2;…;1,Cn)，则P=P1+P2+…+Pn

由效用函数在上的现行性质可知，u(P)可表示为u(P)=

==

上式中的u(Ci)为u(1,Ci)，即以概率1选择后果Ci的效用。根据定义，P的效用u(P)就是以概率p1选择后果C1，以概率p2选择后果C2，……，以概率pn选择后果Cn的期望效用。

因此，如果效用u存在，而且它和决策人对中的偏好关系一致，即当P1

P2时，u(P1)

u(P2)，决策人必将选择一行动使后果的期望效用为极大。（举例：带伞问题）理性行为公理：公理1

连通性（或成对可比性）：如果P1,P2

，则或者P1

P2，或者P1

P2，或者P1

P2。公理2

传递性：如果P1,P2,P3，而且P1

P2，P2

P3，则必有P1

P3。

公理3

替代性：如果P1,P2

和Q，而且0<p<1，则

P1

P2

当且仅当pP1+(1-p)QpP2+(1-p)Q.

公理4

连续性（连续性或称偏好有界性）：如果P1,P2,P3，而且P1

P2P3，则存在数p和q，0<p<1和0<q<1，使

pP1+(1-p)P3P2qP1+(1-q)P3

公理1和公理2合称为次序性公理。符合次序性公理的集合称为全（弱）序集，集中的元素可以按偏好关系排列优先次序，表示的是决策者对行动的偏爱程度的比较。这两条公理是说，对行动的偏爱是可以比较的。公理3是说，偏好关系中的两个有序后果在各有相同比例(1-p)被相等量(1-p)Q

替代后，优先关系不变。公理4意味着没有一种后果无限好，也没有一种后果无限坏。公理4还可以用如下方式表示：若P1

P2

P3，则必有0

1，使P2

P1+(1-)P3(称为效用值)。这条公理告诉我们：对于较好行动后果C1，较差行动后果C3及中间行动后果C2，总可以调整P的大小，使得复合行动“以概率P获C3，以概率1-p获C1”与行动后果C2相比较，决策者同样偏爱。这条公理有时不易被人们接受，特别是当较差行动导致严重后果时。定理5.1

在上的优先关系

如满足公理1至公理4，则在上存在一效用函数u，它和

一致。此外，u经过正线性变换，仍然是和

一致的效用。Theorem5.2Ifu()isautilityfunctiononX,thenw()=u()+(>0)isalsoautilityfunctionrepresentingthesamepreferences.Conversely,ifu()andw()aretwoutilityfunctionsonXrepresentingthesamepreferences,thenthereexist>0andsuchthatw()=u()+.Proof.Thefirstpartofthetheoremisonepartofthetheorem4.1.Toprovetheconverseimplicationsupposethatu()andw()aretwoutilityfunctionsonXrepresentingthesamepreferences.Supposealsothatw()

u()+(5.1)Wewillobtainacontradiction.ForanypointxiXdefineapoint(ui,wi)intheplane,whereui=u(xi)andwi=w(xi).If(5.1)holds,xiX(i=1,2,3)suchthatthepoints(u1,w1),(u2,w2)and(u3,,w3)

arenotcolinear.Withoutlossofgeneralitywemayassumethatu1<u2<u3.Letp=(u2-u1)/(u3-u1)andconsiderthelotteryx3px1,wherex3px1=<(1-p),x1;0,x2;p,x3>.Intermsofthefunctionu(),x3px1hasexpectedutility.=pu(x3)+(1-p)u(x1)

==u2

Sox2x3px1.Butsimplegeometryshowsthattheassumptionofnon-collinearityimplies

W2pw3+(1-p)w1.SeeFig.4.1Sointermsoftheutilityfunctionw(),x2

x3px1.Hencetheassumptionthatu()andw()representthesamepreferencesiscontradicted.Therefore(5.1)cannotholdandwehavew()=u()+.That>0holdsclearly.

uu1u2u3ww3w2w1pw3+(1-p)w1确定当量是指以下两种情况等价：一种情况是决策人得到一确定的后果C1，另一种情况是决策人得到一抽奖的机会(记作C)，他以概率p得到后果C2，以概率1-p得到后果C3，即（p,C2;(1-p),C3）。如果决策人认为这两种情况对他是等价的，则确定的后果C1称为抽奖（p,C2;(1-p),C3）的确定当量。

u(C1)=E[u(C)]公理5（抽奖的性质）一抽奖的所有奖金都增加一金额，将使此抽奖的确定当量增加。定理5.3如果在抽奖集上的优先关系适合公理1至公理5，则在后果集X上的效用函数为线性函数或指数函数。证明：假设抽奖的奖金（后果）为一连续变量，记作x，奖金集为X，X上的概率密度为f(x).此时抽奖P的期望效用为根据公理5和确定当量的定义可知，

(5.2)其中是抽奖的确定当量。假设为一连续变量，在后果集X上的效用函数u(x+)对有直到二阶的连续导数。将上式两边对位分两次，得和将以上两式左右两边分别相除，并令=0，得

如果（5.3）式对于各种不同的密度函数都成立，则满足该式的效用函数应符合以下条件：（5.3）对所有的xX

选择此比值为一常数-r，即上式积分，得

lnu(x)=-rx+k0所以

u(x)=k1e-rx如r=0，则有u(x)=k1x+k2如r0，则

u(x)=k2e-rx+k3

Example3TheStPetersburgparadoxrevisitedInExample2assumenowthatthegamblerhasautilityfunctiononrewardroftheform

u(r)=r(e

+r)-1

r>0(5.4)Theparameterwillreflectthegambler’spropensitytotakerisks.Thelargerthevalueof,themoreheprefersspeculativegainsoflargeamountstothecertaintyofgainingsmallamounts.Regardlessof,u(r)isconcaveandtakesvaluesbetween0and1.Thedecision-maker’sexpectedutilityassociatedwithdecisiondnofterminatingthegameafterthenthtossis=(1/2)n-13n-1(e+3n-1)-1=(1.5)n-1(e+3n-1)-1

Itiseasilycheckedthatafunctionex[e+ex]-1ismaximizedwhen

x=-1[log-log()+]if

Itfollowsthat(1.5)y-1(e+3y-1)-1ismaximizedwhen

y=-1[log-log()+]+1where=log1.5=log3isthereforemaximizedateitherthelargestnon-negativeintegervaluenlessthanyorthesmallestnon-negativeintegergreaterthany,whereyisdefinedabove.Noticeinparticularthatyincreases(linearly)with.Sothemorereadythegambleristorisklargespeculativegains,thelongerheshouldplaythegame,aswewouldexpect.Butnotethatanygamblerwithautilityfunctiongiveninequation(5.4)willchoosetoterminatethegameatsomestage–unliketheEMVdecision-maker.SothenthesupposedStPetersburg‘paradox’hasdisappeared.基数效用：以上所定义的效用是决策人在有风险的情况下对后果的偏好的量化，其中含有决策人对一不确定事件可能冒的风险的态度，它反映了决策人的偏好强度，这种效用称为基数效用。序数效用：定义一效用表示决策人对各种确定事件的后果的偏好次序。对于这类事件，决策人无需承担任何风险。这样定义的效用和基数效用不同，称为序数效用。定义5.3令X为所有确定事件的后果x的集，在X上的效用函数称为序数效用函数，它是定义在X上的实值函数u，有u(x1)

u(x2)，当且仅当x1

x2。

如在X上的优先关系满足以下三条公理，则在X上的序数效用存在：公理1连通性、公理2传递性、公理3连续性，即对于任何确定的后果x，它的劣势集和它的优势集都是闭集。

定理5.4如果在X上的优先关系

满足公理1至公理3，则在X上存在效用u，它和一致。此外，u经过保序变换仍然和一致。效用函数的构成离散型效用的测定效用的大小可以用概率的形式来表示，效用值介于0、1之间。效用的测定方法很多，最常用的是VonNeumann和Morgenstern于1944年共同提出的，称之为效用标准测定法。例如，对决策者而言，他最大的愿望是收益100元，最小的收益为0元。将收益为100元的方案的效用指定为1，收益为0元的方案的效用值定为0，且分别记作u(100)=1,u(0)=0。如果决策者确定“u(100)=1,u(0)=0”，那么记“收益a元的行动方案”为a，0<a<100。下面确定u(a)。显然，对决策者愈有利的方案，效用值愈大，因此u(a)应满足0<u(a)<1。效用函数的构成

现以a=50为例，确定u(50)的值。首先可向决策者提出如下问题：“现有两个行动方案a1和a2，如果采取行动方案a1，能以0.5的概率获0元和0.5的概率获100元的收益；如果采取行动方案a2，肯定能得到50元的收益。请问，你愿意采取哪个行动方案？”如果决策者选择a2，我们再提第二个问题：如果行动方案a1的两个可能结果的概率发生变化，即以0.2的概率获得0元，以0.8的概率获100元，行动方案a2不变，决策者如何选择？假如此次决策者的选择为a1，我们再适当升高方案a1取0的概率，降低获100的概率，再次提问。如此继续下去，直到决策者认为采取行动方案a1与采取行动方案a2对他来说是同样时为止。此时，行动方案a1与a2在决策者心目中的地位平等，即称为等效行动。

(说明效用的主观性)假设此时的方案a1获0元的概率为0.3，获100元的概率为0.7，因为在决策者看来，行动方案a1和a2的效用相等，故

0.3u(0)+0.7u(100)=u(50)

u(50)=0.7提出上述问题时，行动方案a1的两个可能结果不一定用0元和100元的效用值比较，也可以用任意两个货币值，只要它们的效用已经得出，并且预测点介于二者之间。对于货币效用，如果知道了效用值，也可以测出货币值。比如货币的效用值为0.5，我们来测出相应的货币值。可以这样提问：“现有两个行动方案a1和a2，如果采取行动方案a1，能以0.5的概率获0元和0.5的概率获100元的收益；如果采取行动方案a2，肯定能得到40元的收益。请问，你愿意采取哪个行动方案？”

假设决策者的回答是选择行动方案a2，则可以把40元降低一些，如将为25元，再向他提同样的问题。如果它这时选择a1，我们就把25元适当提高，再要求它比较两个方案，直到决策者认为两个方案等效为止。假设此时a2肯定获得的收益为30元，则有：

u(30)=0.5u(0)+0.5u(100)=0.5

也可以调整数之后继续提问。这样就可以得出任一手一值介于0和100之间的效用值。将这些值[c,u(c)]以平滑的曲线连接起来，便得到决策者的效用曲线。

效用的概念不仅适用于货币，而且适用于非货币事物，即运用标准测定法，亦可测出非货币事物的效用。比如，对某决策者来说，又A、B、C、D、E五件事情，我们将测定它们对决策者的效用。具体做法是：首先要确定决策者最喜爱和最不喜爱那件事情。假设他最喜爱的是A，最不喜爱的是E，则令u(A)=1，u(E)=0，如果要测定B的效用，可以这样提问：“有行动方案a1和a2，方案a1可能以p的概率使你获得A和以(1-p)的概率获得E；方案a2有1的概率获得B。你认为当p为何值时，方案a1与a2等效?”

决策者在回答p值后，便可以同样的计算方法得出u(B)。同样也可求出u(C)和u(D)。2.连续型效用的测定P43例3.7效用函数的确定

确定效用函数是一个相当复杂的过程，它至少需要解决三方面的问题：其一，测定出集合X中一些离散点的效用；其二，在不同条件下，建立描述主体偏好特性的数学模型；其三，效用函数的导出和确定。用标准测定法来构造效用函数，其实质是采用问答的方式，对决策者作一些心理测验，通过回答以了解决策者对随机事件与确定型事件在效用值上的等价关系，通过货币值及所求的对应效用值的坐标关系，就可以得出足够多的坐标点，而后把这些点以平滑的曲线连接起来，便得到决策者的效用曲线。但此法比较麻烦，因为要对决策者作反复的提问。为了给出两种比较简便的方法，以减少对决策者的提问次数，需要先介绍风险与效用的关系。

风险和效用的关系风险和效用的关系

自从1944年Neumann和Morgenstern将期望效用假设公理化后，经济学家们就迅速将其应用于诸如投资选择、保险等经济领域中。对风险的态度（1）风险厌恶（2）风险中立（3）风险喜好例：确定性后果u(2500)=1，u(0)=0，抽奖a2后果的期望值为1250，Eu(a2)=0.5风险和效用的关系风险酬金在风险厌恶的情况下：s=E(x)-ks为确定当量，E(x)为后果的期望值，k为风险酬金（1）k>0，风险厌恶（2）k=0，风险中性（3）k<0，风险喜好可测价值函数后果的偏好强度0-1000与1000-1500等价，效用函数？对确定性后果的偏好强度需要测量序数价值函数设是定义在方案集A上的决策人的弱序，若A上的实值函数v满足

v(a)≥v(b)<=>ab可测价值函数为了量化决策人对确定性后果的偏好强度可测价值函数在后果X上的实值函数v，对w，x，y，z属于X，有（1）(w→x)(y→z)<=>v(w)-v(x)≥v(y)-v(z)（2）v对正线性变换是唯一确定的

(w→x)表示决策人对w和x的偏好强度之差可测价值函数示意图相对风险态度决策人的真实的风险态度被称为“相对风险态度”假设效用函数u和可测价值函数v在X上单调递增且二次连续可微记表示决策在x处的风险侧度（1）r(x)>0，风险厌恶（2）r(x)=0，风险中性（3）r(x)<0，风险喜好偏好强度的局部侧度可测价值可以反映决策人在x处的偏好强度，即边际价值m(x)（1）m(x)>0，v在x处下凹，边际价值递减（2）m(x)=0，v在x处线形，边际价值不变（3）m(x)<0，v在x处凸，边际价值递增真正的风险态度决策人的真实风险态度效用函数的常见形式定常风险厌恶效用函数

u(x)>0,u(x)<0,相应的效用函数为凹的，r(x)=c>0。效用函数具有如下形式：

u(x)=a-be-cx,c>0,b>02）

递增风险厌恶效用函数递增风险厌恶是指当主体随着其财产水平x的增加，他对某一类特定范围的决策就愈加回避风险的态度。这时r(x)>0，u(x)>0,u(x)<0,相应的效用函数为凹的。当选取，a,b>0,0<x<b这时r(x)>0，u(x)>0,u(x)<0,相应的效用函数为凹的。

u(x)=c-d(b-x)a+1

当a=1时，效用函数具有二次函数的形式，它是递增风险厌恶中较为实用的一种效用函数。

3）递减风险厌恶效用函数

当主体的风险态度是递减风险厌恶时，这时r(x)>0，u(x)>0,u(x)<0,相应的效用函数为凹的，但与(2)不同的是，u(x)的凹性随着x的增加而逐渐减弱。当选取r(x)=a/x,a>0，根据参数a的不同，可以导出以下三种形式的基本递减风险厌恶效用函数。

0<a<1一般形式为u(x)=bxq+da=1u(x)=c1lnx+c2

a>1一般形式为u(x)=-bx+d损失函数、风险函数和

贝叶斯风险损失函数、风险函数和贝叶斯风险

损失函数记作l(,a)，它表示一决策问题当状态为，决策人的行动为a时，所产生的后果使决策人遭受的损失。由于损失函数可能为负值，因此它也能反映决策人获得的收益。后果的效用越大，损失越小。故用效用函数去定义损失函数的一种简单办法，是令

l(,a)=-u(,a)为了使损失函数非负，可以定义为

由于损失函数经过任何正线性变换仍然是同一优先关系的效用函数，因此以上两种形式的损失函数都会得到同样的分析结果。

对于给定的，观察的结果X是一随机变量，用F(x)记X的条件分布函数，用f(x)记X的条