高考专题练习：平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.(3)单位向量：长度等于1个单位的向量.(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任向量共线.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算处二角形法则平行四边形法则交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)减法求a与b的相反向量—b的和的运算匕a三箱形法娟a—b=a+(—b)数乘求实数A与向量a的积的运算I丸a1=团凰，当2>0时，居与a的方1向相同；当A<0时，加与a的方向相反;当A=0时，Aa=0A(pa)=(Au)a；(A+p)a=Aa+ua；A(a+b)=Aa+肪3.两个向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数人使得归也.常用结论.两特殊向量(1)零向量和单位向量是两类特殊的向量.它们的模是确定的，但方向不确定.(2)非零向量a的同向单位向量为6.

.五个重要结论(1)一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即感入+Q+&1+•••+A7A=41.特别地，一12 23 34 n1n1n个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量.(2)若P为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OP=1(OA+0B).(3)若A,B,C是平面内不共线的三点，则PA+PB+虞=0P为^ABC的重心.(4)在4ABC中，AD,BE,CF分别为△ABC三边上的中线，它们交于点G(如图所示)，易知G为^ABC的重心，则有如下结论：①GAA+GA+GC=0;②^G=3AB+A)；③GD=2(A+GC),GD=1(AB+A).(5)若OA=O+N0A(九〃为常数)，则A,B,C三点共线的充要条件是A扫除盲点清易错扫除盲点一、思考辨析判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量.()⑵若两个向量共线，则其方向必定相同或相反.()⑶若向量油与向量CD是共线向量，则A,B,C,D四点在一条直线上.()⑷当两个非零向量a,b共线时，一定有b=弱，反之成立.()

答案：⑴X⑵X⑶X(4)V二、易错纠偏常见误区I(1)对向量共线定理认识不准确；(2)对向量线性运算不熟致错；(3)对向量三角不等式认识不清致错..对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a//b”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.若a+b=0,贝Ua=-b,所以a/b.若a/b,贝Ua+b=0不一定成立.故前者是后者的充分不必要条件..点D是^ABC的边AB上的中点，则向量CD=( )a.-bCa.-bC+2BA- 1^1-B.—BC—BBAC.BC—2BAC.BC—2BA答案：A3.已知向量a,b,若IaI=2,IbI=4,则Ia—bl的取值范围为.解析：当a与b方向相同时，Ia-bI=2,当a与b方向相反时，Ia-bI=6,当a与b不共线时，2<Ia-bI<6,所以Ia-bI的取值范围为[2,6].此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况.答案：[2,6] | 1尊考点探究•题型突破N舞齐t群"茸$汽誓"盘雨赛"打平面向量的有关概念(自主练透)1.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a=IaIa0；②若a与a0平行，则a=IaIa0；③若a与a0平行且aI=1,则a=a0.上述命题中，假命题的个数是（）B.1AB.1C.2 D.3解析：选D.向量是既有大小又有方向的量，a与laia0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=-1a1a0,故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3.2.设a,b都是非零向量，下列四个条件中，使卷=会成立的充分条件是（）A.a=一b B.a〃bC.a=2b D.a〃b且1al=lbl解析：选C.因为向量2的方向与向量a相同，向量得的方向与向量b相同，且菊二b，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a=2b时，前嚼啥，故"a=W是"a=b”成立的充分条件.3.给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若lal=ibl，则a=b或a=—b；③若A，B，C，D是不共线的四点，且AB=DC，则ABCD为平行四边形；④a=b的充要条件是lal=lbl且a〃b；⑤已知九从为实数，若加=曲，则a与b共线.其中真命题的序号是.解析：①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点.②是错误的，al=lbl，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反.③是正确的，因为AB=DC,所以|ab1=1DCI且诵〃DC；又A，B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形.④是错误的，当a〃b且方向相反时，即使1aI=IbI,也不能得到a=b,所以IaI=Ibl且a〃b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件.⑤是错误的，当A=从=0时，a与b可以为任意向量，满足加=曲,但a与b不一定共线.答案：③辨析向量有关概念的五个关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.⑷单位向量的关键是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.考点平面向量的线性运算(多维探究)角度一向量加、减法的几何意义I।1(1)设非零向量a,b满足la+bI=Ia—削，则( )A.a±b B.laI=IbIC.a〃b D.lal>lbl(2)(2020.高考全国卷I)设a,b为单位向量，且Ia+bI=1,则Ia—bI=.【解析】(1)依题意得(a+b)2-(a-b)2=0，即4a-b=0，a±b,选A.(2)方法一：如图，设Oa=a,OfB=b,利用平行四边形法则得Ot：=a+b,

因为IaI=IbI=Ia+b1=1,所以△OAC为正三角形，所以IBA|=|a-bI=2X浮方法二：因为a,b为单位向量，且\a+bI=1,所以(a+b)2=1，所以1+1+2a-b=1,所以a-b=-2,所以a-bI2=a2+b2-2a-b=1+1-2X(-2)=3,所【答案】(1)A(2),门解题的关键：一是搞清各向量间的关系，找出问题对应的几何图形；二是熟练运用向量的加、减法法则和运算律以及几何意义求解.角度二平面向量的线性运算I】(一题多解)(2021・福建省质量检测)在^ABC中，DC=2BD，且E为AC的中点，则D=( )A.BA.D.「 1一1D.C・-3AB-6AC【解析】方法一：如图，连接AD.De=AE-AD=2.AC-(AB+1BC)=1AC+方法二-AB-3(AC-AB)=-2AB+1AC.+方法二=2(Ca+AB)-AB+方法三：如图，作AF=DE,以AB,AC为基底将^分解，AF二和+AM二xAB+yAC,则De=xAB+yAC,易知x<0,y>0,排除b,c,d选项，故选a.rn方法四：不妨令^ABC为直角三角形，C=90°,AC=2,BC=3,以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则C(0,0),A(2,0),B(0,3),D(0,2), E(1, 0),所以AB=(-2, 3),AC=(-2, 0), DE=(1, -2),易得DE=[AB+1AC,故选A.【答案】A(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为用已知向量线性表示.角度三根据向量线性运算求参数题多解)如图，在直角梯形ABCD中，DC=；AJ3,BE=2EC,且AE=rAB+^AD，则2r+3s=( )

A.1C.3TOC\o"1-5"\h\z2 2_【解析】万法一：由题图可得AE=AB+BE=AB+3bC=AB+3(bA+>D+1 2因为AE=rAB+sAD,所以r=2,s=3,则U2r+3s=1+2=3.乙 J1 2万法二：因为BE=2EC,所以be-AB=2(?C-AE),整理得AE=3AB+3AC=3巍+3(AD+DC)=2巍+3A^D,以下同方法一.J J 乙 J万法三：如图，延长AD,BC交于点P,则由DC=4AB得DC/LAB,且AB=4DC.又BE=2EC,所以e为PB的中点，目赤=4AD.于是，AE于是，AE=2(ab+B)=2(AB+3AD^=2AB+1AD.以下同方法一.3-万法四：如图，建立平面直角坐标系My,依题意可设点B(4m,0),D(3m,3h),E(4m，2h),其中m>0,h>0.D CD C由AE=rAB+sAD,得(4m,2h)=r(4m,0)+s(3m,3h),1r=2,_21s=3,所以2r+3s=1+2=3.【答案】C规律方法利用向量线性运算求解参数的思路（1）利用向量的线性运算得到相关的线性表示；⑵利用向量等式求出参数或建立方程（组）求解.1.1.（2021・西安五校联考）如图AB是圆O的一条直径，C,D是半圆弧的两个三等分点，则aB=（a.AC^aD2AC—2ADAD—AC2AAD—2AC解析：选解析：选D.连接CD（图略）因为C,D是半圆弧的两个三等分点，所以CD//AB,且AB=2CD,所以AB=2CD=2(AD-AC)=2AD~2AC,故选d.2.在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD的中点，若通=xAE+—, 一、 fryAF（x,y£R），则x—y=.解析：由题意得AE=A+BE=AB+2AD,AF=AD+D=AD+1A,因为AB=xAE+yAF,所以由=lx答案：2考点平面向量共线定理的应用(典例迁移)例2设两个非零向量a与b不共线.(1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a—b)，求证：A,B,D三点共线；⑵试确定实数k，使ka+b和a+kb共线.【解】(1)证明：因为淄=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,所以脑，BD共线，又它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数九使ka+b=A(a+kb),即(k-A)a=(Ak-1)b.又a,b是两个不共线的非零向量，所以k-A=Ak-1=0.所以k2-1=0.所以k=±1.【迁移探究1】(变条件)若将本例(1)中“BC=2+8b”改为“BC=a+mb”，则m为何值时，4B，D三点共线？解：BC+CD=(a+mb)+3(a-b)=4a+(m-3)b,即BD=4a+(m-3)b.若4,B,D三点共线，则存在实数九使BD=2AB,即4a+(m-3)b=2(a+b),4=2,所以《m-3=2,解得m=7.故当m=7时，A,B,D三点共线.【迁移探究2】(变条件)若将本例⑵中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka+b与a+kb反向共线，所以存在实数2,使ka+b=2(a+kb)(2<0),k=2,所以< 所以k=±1.k2=1,又2<0,k=2,所以k=-1.故当k=-1时，两向量反向共线.共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a,b,若存在实数2,使a=2b(b=0),则a与b共线.

⑵证明三点共线：若存在实数九使AB二加，则A,B,C三点共线.⑶求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.值.［注意］证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点.1.设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a,tb,|（a+b）的终点在同一条直线上，则实数t=.解析：因为a，tb，3a+b）三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同，所以a- tb与a- ；（a +b）共线，即a- tb与1a -1b共线，111=3X，1所以存在实数九使a-tb=X（Ia-1b），所以j 1解得X=2,［t=wX，答案：|,一，..一2一I.（一题多解）（2020・广东六校第一次联考）如图，在△ABC中，AN=gNC,P是BN上一点，若AP=tAB+|24C，则实数t的值为.解析：通解：因为AN=|NC,所以俞=2z4C.设N=XNB,则,4P=和+NP=+XNB+XNB=+AB|=XAB+-X)-AC,又AP2 1解得t=X2(1-X)=1151 3I，=tAB+|AC,所以2 1解得t=X2(1-X)=1151 3I，=1~&优解：因为病=3nc,所以。=|AN,所以版二tAB+3AC=tAB+|AN,因为B,P,N三点共线，所以t+5=1,所以t=1.I I答案：II成方法素养*助学培优核心素养系列8数学运算一一共线定理的推广与应用【共线定理】已知PA,PB为平面内两个不共线的向量，设PC=xPA+yPB,则A,B,C三点共线的充要条件为x+y=1.【推广形式】如图所示，直线DE〃AB,C为直线DE上任一点，设PC=—, xPA+yPB(x,y£R).当直线DE不过点P时，直线PC与直线AB的交点记为R因为点F在直线AB上，所以由三点共线结论可知，若PF=^PA+^PB(2,从£R),则A+从=1.由^PAB与^PED相似，知必存在一个常数m£R,使得PC=mPF，则PC=mPF=mAPA+m曲B.又PC=xPA+yPB(x,y£R),所以x+y=mA+m/d=m.以上过程可逆.因此得到结论：PC=xPA+yPB,则x+y=m(定值)，反之亦成立.［应用实例］更例】如图，在正六边形ABCDEF中，P是4CDE内(包括边界)的动点，设AP=aAB+帝(a,§£R),则a+§的取值范围是.

【解析】当P在^CDE内时，直线EC是最近的平行线，过D点的平行线是最远的，所以a+B4祟，AD-卜[3,4].|.AIMAML_【答案】[3,4]典饵2典饵2如图所示，A,B,C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外一点D,若OC=mOA+nOB,则m+n的取值范围是【解析】由点D是圆O外的一点，可设BD="AQ>1),则OD=O+BD=OB+XBA=/A+(1-A)OB.因为c,O,D三点共线，令OD=-⑼〃>1),所以OU=-AOA--A a1-A1n二-7，贝m+n二-工-丁二-工£(--A a1-A1n二-7，贝m+n二-工-丁二-工£(-1，0)-【答案】(-1,0)典例3如图，在扇形OAB中，NAOB=《C为弧AB上的动点，若OC=xOA+yOB，则x+3y的取值范围是ccOYR【解析】如图，作OB'二手，则考虑以向量OA【解析】为基底.显然，当C在A点时，经过m=1的平行线，当C在B点时，经过m=3的平行线，这两条线分别是最近与最远的平行线，所以x+3y的取值范围是[1，3].【答案】[1,3]। ⑥ I知能提升•分层演练[A级基础练].(2020.长沙市统一模拟考试)如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足CF=2FB，那么E=( )解析：选C.因为e为DC的中点，所以EC=。DC.因为cF=2F,所以cF=|也所以EF=EC+CF=2,DC+|CB=\AB+|DA=|AB-|AD,故选C.J 乙 J 乙 J 乙 J.已知向量a与b不共线，AB=a+mb,AC=na+b(m,n£R),则AB与AC共线的条件是()A.m+n=0 B.m—n=0C.mn+1=0 D.mn—1=0解析：选D,由C=a+mb,AC=na+b(m,n£R)共线，得a+mb=A(nafl=An,+b),即1 所以mn-1=0.m=A,.已知平面内一点PR^ABC,若C+PB+PC^C，则点P与AABC的位置关系是()A.点P在线段AB上 B.点P在线段BC上仁点P在线段AC上 D.点P在^ABC外部解析：选C.由PA+C+PC=AB，得pa+PB+PC=PB-PA，即pc=-2PA,故点P在线段AC上..如图，在△ABC中，AD=2AC,BP=3BD，若AP=AAB+^AC，则A的值TOC\o"1-5"\h\z3 3 ^为()-3 B.32 D.-2解析：选B.因为AP=C+BP,BP=1BD=3(AD-AB)=1AD-1AB=3义2AC[AB=证-1AB,所以m=AB+12AC-1C^=2AB+2AC.2 2又AP=AAB+^AC,所以A=3，〃=9，所以-=2X9=3.故选B.〃325.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC=3CD，点O在线段CD上（与点C,D不重合），若AO=xAB+（1—x）Ac，则x的取值范围是（ ）B.(o,3AB.(o,3(-J,0解析：选D.设CO=yBC,因为AO=AC+CO=AC+yBC=AC+y(AC-AB)=-yAB+(1+y)AC.因为BC=3CD，点o在线段CD上（与点C,D不重合）.因为AO=xAB+(1-x)AC,所以x=-y,所以x£（-；,0）.已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点，且BC=a,(2A=b,给出下列命题：①AD=2a—b:②BE=a+gb:③#=—|a+gb；@AD+BE+CF=0.其中正确命题的个数为解析：BC=a，C=b，AD=|(CB+AC=-2a-b,故①错;BE=BC+2CA=a+1b,故②正确；CF=2(CB+C)=|(-a+b)=-2a+|b,故③正确；所以⑦+BE+CF=-b-2a+a+2b+2b-2a=0.故④正确.

所以正确命题的序号为②③④.答案：3.设P是^ABC所在平面内的一点，且CP=2PA，则△PAB与^PBC的面积的比值是.ICpI2解析：因为CP=2PA,所以CJ=1,又4PAB在边PA上的高与^PBC在边IPAI1PC上的高相等，所以A=PC上的高相等，所以A=S△PBCIPAIICPI12.答案:2.在^ABC中，/A=60°,/A的平分线交BC于点D,若AB=4,且A^D=4z4C+AQ£R),则AD的长为.BB解析：因为B,D,C三点共线，所以1+2=1，解得%=3,如图，过点D分别作AC,AB的平行线交AB，AC于点M，N,则AN=4危，AM=3AB，因为在^ABC中，ZA=60°，ZA的平分线交BC于点D，所以四边形AMDN是菱形，因为AB=4，所以AN=AM=3,AD=3、户.答案:3%；3.经过△OAB重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q，设Op=m()A，OQ=nOB，m，n£R，求1+-的值.nm解：设Oa=a,OB=b,则C0=3(a+b),PQ=(JQ-OP=nb-ma，PG=OJG-O=1(a+b)-ma=f1-mV+1b.由P,G,Q共线得，存在实数A使得PQ=P,即〃5即〃5-ma=2&-m消去九得1+工=3.nm.如图，EF是等腰梯形ABCD的中位线，M,N是EF上的两个三等分点，若晶=a,BC=b,AB=2DC.(1)用a,b表示AM；⑵证明：A,M,C三点共线.解：⑴aD解：⑴aD=AB+BC+CD=a+b+~2a尸2a+b又E为AD中点，所以AE=2AD=4a+2b,因为EF是梯形的中位线，目由=2DC,2a所以EF=2(a^b2a所以EF=2(a^b+DC)=2(a+又MnN是EF的三等分点，所以EM=；eF=4a,所以4M=AE+EM=4a+2b+4a=2a+2b.2—►(2)证明：由(1)知MF=3EF=所以MC所以MC=MF+FC=2a+2b=AM又MC与/00有公共点M,所以A,M,C三点共线.[B级综合练]

.已知向量a，b不共线，且c=Aa+b，d=a+(2A—1)b，若c与d反向共线，则实数A的值为()A.1分1D.—1或一弓解析：选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c=kd(k<0),于是加+b=k[a+(2A-1)b].整理得Aa+b=ka+(2Ak-k)b.由于a,b不共线，所以有2人k-k=1,整理得222-A-1=0，解得A=1或A=-1.又因为k2人k-k=1,故A=-2..(2021-江西九江十校4月模拟)如图，在等腰直角38。中，D,E分别为斜边BC的三等分点(D靠近点B)，过E作AD的垂线，垂足为F，则AF=()A3A3一,1一A.5AB+5ACC.C.记AB+正ACD.185AB+七AC解析：选D.设BC=6解析：选D.设BC=6「 10+10-4则UDE=2,AD=AE=%：10，cosZDAE=————2 2X10所以AD=釜=5,所以赤=4ad.因为a)d=油+3bc=油/,)C-硝=1AB+3AC,所以亦=4X8-^ 4-^=15AB+15AC.故选D.13.在△ABC中，M,N分别是边AB,AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足AO)A+3OB+4O)C=0(A=0)，则A=解析：方法一：由已知得OA=-|OB-4OC①，由M,O,N三点共线知，31£R，使OM=tON,故2OM=2tON,故()A+O^B=t(CfA+OC),整理得()A=一t一一一t一一.一一 《OB+二0c②,对比①②两式的系数得3_1厂TH'解得4tIA1-t'4

t=-3,A=7,A=7.方法二：因为M是AB的中点，所以OM=2(OA+O)，于是OB=20M-°A,同理OC=2ON-OA,将两式代入O+3OB+4OC=0,整理得Q-7)OA+6OM+8ON=0,因M,O,N三点共线，故3p£R，使得OM=pON,于是q-7)oA+(6p+8)ON=0,显然(0A,ON不共线，故A-7=6p+8=0,故A=7.答案：714.(2020.高考江苏卷)在^ABC中，AB=4,AC=3,NBAC=90°,D在边BC上，延长AD到尸，使得AP=9,若PA=mPB+1|—m^PC(m为常数)，则CD的长度是.解析：方法一：以点A为坐标原点，AB的方向为x轴的正方向，AC的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，设CD=ACB,a£[0,1],则D(4A,3-3A),AD=AC+ACB=AAB+(1-A)AC,又点p在AD的延长线上，则可设AP=即,〃>1,又P=m(PB-PC)+2PC=mCB+|PC,则PA=m(AB-AC)+/aC-O),

3-pp=mAB+(--m)AC贝Q2mAB+(3-2m)AC=AP=^AD="AB+〃(1-A)AC2 2所以2m=却,3-2m=〃-Ap,所以〃=3,又AP=9,则AD=3,所以(4A)2+(3-3a)2=9，得a=25或a=0，则zACDAD=2cosZACDAD=2X3x3=£.综上，CD=?或0.答案：5或或0[CzACDAD=2cosZACDAD=2X3x3=£.综上，CD=?或0.答案：5或或0[C级提升练]