小学奥数平面几何五种面积模型

CD如右图CD如右图△D,ABACDBAACB目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似〔含金字塔模型和沙漏模型共〔含燕尾模型和风筝模型掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模①等底等高的两个三角形面积相等；

B②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右S；反之，如果，那么可知直AB平D④等底等高两个行四边形面积相(方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等面积比等于它们的底之比两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角两夹边的乘积之比．如图在中，分别是上的点如图⑴(在的延长线上，在上)那么

ABC

:

ADE

AB):()ADE

D图⑴三、蝶形定

C

图⑵

任意四边形中的比例关系(蝶形定理〞)

S:SS:S①②；①或者②12OC蝶形定理为我们提供了解决不规那么四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使

A

a

不规那么四边形的面积关系与四边形内的三角形

相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

B

b

C梯形中比例关系(梯形蝶形定理〞):S::S:S:::的对应份数四、相似模()字塔模型

(二)沙漏模型A

E

AD

EB

G

C

B①ADAEDE；ABACBC：:AG．所的相三角形，就是形状一样，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不管大小怎样改变它们都相)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定〔燕尾模型风筝模型〕

CFO．ABOCFO．ABOABCD8△在三角形中，，，相交于同一点，那么:S:DC上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任

B

D

O

A

E

C何一个三角形之中为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【】

如图，正方的边长为6，2长方形面积为．

【解析】

连接那么长方形的面积是三角形面积的二倍．三角形的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

DEF

4.516.5,所以长形面积为33【稳固】下图，方形的边长为厘长方的长为厘米，那么长形的宽为几米？

【解析】

此题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(方形和正方形可以看作特殊的平行四边形三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明连接我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)

ABCD12ABCDcmFGHADABCDBBHHCCHBCHD．HDABCD12ABCDcmFGHADABCDBBHHCCHBCHD．HDH∵在正方形中，

G

AB

边上的高，

△ABG

1S2

ABCD

(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)∴正方形(米)6.4

．与形

EFGB

面积相等．长方形的宽【】【解析】

长方形的面积为36，、、为各边点，为边上任意一点问阴影局部积是多少？AHDE解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下列图：A

HDEG可得：

S

EHB

B

S

AHB

F、

CS、

，而DHCS

ABCD

36AHBCHB

1(S)362

；而

S

BHF

DHG

阴影

EBF

，S

EBF

111BEAB))36228所以阴影局部的面积是4.513.5阴影EBF解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，那么图形就可变成右图：ADH)EBFC

DEFABCD6)PBCABCDABCDABCDABDEFABCD6)PBCABCDABCDABCDABEFGODOGDOG这样阴影局部的面积就是的面积鸟头定理么有：阴影

ABCD

AED

BEF

1111113613.5222222

．【稳固在边长6米的正方内任取一点将正方的一组对边二等分另一组对边等分，分别点连接求阴影局部面积．A(P)

BCC【解析】

〔1特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，那么阴影局部变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以6阴影局部的面积为14〔法2〕连接、．

平方厘米．由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的14

，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD

面积的

16

，所以阴影局部的面积为

16)4

平方厘米．【】

如下图，长形内的阴影局部面积之和70，，【解析】

，四边形的面积为．ADAECB用图形中的包含关系可以先求出三角形

、和四边形EFGO

的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出

EFGOABCDBOCDOG3012070DOGEFGOEFGOAFCBFDAFCEFGOABCDBOCDOG3012070DOGEFGOEFGOAFCBFDAFC50ADABCD如图，连接2213DF四边形的面积．由于长方形的面积为

120

，所以三角形的面积为1，所以三角形和的面积之和为；44又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形EFGO

的面积为

30

．另解从整体上来看四边形的面积三角形面积三角形面积白色局部的面积，而三角形面积三角形BFD

面积为长方形面积的一半，60白色局部的面积等于长方形面积减去阴影局部的面积，即

，所以四边形的面积为

．【稳固】图，长形的面积36是的三等分，那么阴影局的面积为．

ED

，A

E

O

B【解析】

．

C

根据蝶形定理1；SOEN

1ONND:SS1:1CDE

，所OM:MAS:BOEBAEBDEBAE

，所OEMOEA

．矩形A

SOEAOED

，所以阴影局部面积为：

11325

．【】

为等边三角，面积为400，、、分别三边的中，甲乙面积和为143求阴五边形的积是三角形)

【解析】DFDEDFEF丙AMHNCDDE【解析】DFDEDFEF丙AMHNCDDE连接，．；，，728ADGABC△A甲IJB

E

丙

因为、、分别为三边的中点所以、、是三角形的中位线也就与对应的边平行根据面积比例模型三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有

ABC丙AMCAMHN

，即，所以丙AMHN，所以阴影ADF甲乙AMHN43．阴影甲乙丙ADF

．【5】

如图，，，，线段将图分成两局，左边局部面是，右边局面积是，那么角形的面积是．A

AD

EF

DE

F

GB【解析】BD根据题意可知，

BDG28

；所以BEF

SSSCBFBECCBFAEG

AED

，于是：S；S；27可S

40

．故三角形的面积是40．【6】

如图在中

,E

分别

AB,

上的点，

AD:2:5

，AE:AC

，

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

平方厘米，的面积

连接，，所以设份，那么份，平厘，所以份平连接，，所以设份，那么份，平厘，所以份平eq\o\ac(△,)ABC357070ABADACAEADE连接．∴又∵，∴AE连接．∵，∴，又∵，D

D

C

C【解析】BES:SAD::5(2:(54):S:4:5):(75)S::(7352厘米，份就平方厘米的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理共角定理共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角夹边的乘积之比．【稳固】如，三角形中，是的5倍，是的3倍如果三角形的面积等1，那三角形的面积是多少

AD

D

E【解析】BE∵EC

B

ABAD∴

S

．【稳固】如，三角形被成了甲(影局部)乙两局部，，，乙局部面积甲局部面积几倍？AA

BDDC

，B【解析】AD

E甲

乙

C

B

E

CAEABSBDDC

△ABCAC:AD5:连接，，所，设△ABCAC:AD5:连接，，所，设份，平方厘米所以份是平厘米，份就是平方△ABCABCDBEABCFCBGDDCABCDABCD【解析】ACBD△△ABC又同可得，．所以所以．∴

S

，∴

，

．【7】

如图在中，在的延长线，在上，且

，EC

，

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

平方厘米，的面积．

DC【解析】BES:AD:AB::AE(3::份，那么25eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)125厘米的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(等角或互补角)夹边的乘积之比【8】

如图，平行边形，，，，平行四边形的面积是，求行四边形与四边形的面积比．HH

，EFGHA

B

E

G

D

G

D

F连接、．根据共角定理∵在和中，与互补，

F∴eq\o\ac(△,)AB1．BE3，所以．△eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)15+3+2△

．

O【】ABCABO【】ABCABBCACDEOOBC【解析】90，F由于，BFACBDOAEBE3cm5cm【9】

如下图的四形的面积等多少？

O

D

【解析】

题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形绕顶点逆时针旋转使长为的两条边重合此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为

12144

.(可以用勾股定理如下图，中，，，，以为一边向外作正方形，中心，求的面积．

ABC

O

D

O

D3

3

5

F如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．由于

ABC90

AOC

以

OCBOCFOAB

，所以

OCF

，那么、、三点在一条直线上．OFAOC90

，所以是等腰直角三角形，且斜边为

，所以它的面积为

82

14

．根据面积比例模型，的面积为

．【】

如图，以正形的边

为斜边在正形内作直角角形，，、交于．、的长分别为、，求三

【解析】ADE90ABF，而也是，所以ABEcm1【解析】ADE90ABF，而也是，所以ABEcm12cmABCDEFABEDAFCDEFABEDAFBCFDBDBDABCDEFCDAFEDEFBGFD432角形的面积CB

CE

E

A

A如图连接以点为中心将顺时针旋转到的位置．那么

EAFBAFAEB90四边形是直角梯形，且

AF

，所以梯形的面积为：)2又因为是直角三角形，根据勾股定理，

AE

34

，所

17

()那所S

ADEABD()BDE

()【

】

如下列图，边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，厘米，厘米，请六边形的面积多少平方FD24厘米？B

G

BA

A

CF

D

F

DE

E【解析】

如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与

重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形它的面积与原六边形的面积相等显然长方形

BGFD的面积为厘米．

432

平方厘米六边形的面积为平方

ACDADBEFDFECeq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)DEBeq\o\ac(△,)BEC△ABC而ACDADBEFDFECeq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ABCeq\o\ac(△,)DEBeq\o\ac(△,)BEC△ABC而eq\o\ac(△,)ABCECDEDGABCDFEFExyyBCBC5BCD阴影【

】

如图，三角的面积是，是的中点，在上，且，与交于点．那四边的面积等:于．A

D

F

B

F2D

E

C

【解析】

方法一：连接，根据燕尾定理，,设SBDF份，如图所

份那S份，份，DCFABFAEFEFC所以

DCEF

551212方法二：连DE，由题目条件可得到eq\o\ac(△,)

1133

，eq\o\ac(△,)

12123

，所以，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

111232

，．所以那么四边的面积等于5．【稳固】如，长方形的面积平方厘米，，是的中点．阴影部的面积是少平方厘米?A

D

A

A

D

D【解析】

13FE23xBGG设S份那么据燕尾定理他△DEFSS平方厘米.1212

ACOABDDODOABCDS:S3ACOABDDODOABCDS:S3ABDAHBDHCGBDG．AHHG3AH3AOCOOD2:1BGC【】

四边形

ABCD

的对角线

与交于点(如下图如果角形的面积等于角形的面积的长度是的长的倍．

13

，，，那

D

DO

H

O

GCB

C【解析】

在此题中边形为任意四边形于这种〞不良四边形〞，无外乎两种处理方法：⑴利用条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个〞不良四边形〞于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高一样，那么面积之比等于底边之比，得出结果．请教师注意比拟两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．解法：OD

AO:OCSBDC

，∴

OC

，∴解法二：作于，于．∵

1SS

，∴1，S

DOC

，∴，∴，∴．3【稳固】如，四形被两条对线分成个三角形，其三个三角的面积，求：⑴三角的面积；⑵

AG:GC

？

【解析】

⑴根据蝶形定理SBGC

2

，那么

BGC

；

OOEFODFABCDOCF△CDOOCF△△OCE根OOEFODFABCDOCF△CDOOCF△△OCE根据蝶形定理，，那么S12GCEABCDBE:EC2:3:FC2DFGABCD连接，．长方A方形，11⑵根据蝶形定理，

:GC

．【】

如图平行四边的对角交于点、△

的面积依次2和6求求的面积⑵

GCE的面积A

FB

C【解析】

⑴根据题意可知

的面积为

和的面积都是

16

，所以的面积为

8

；为

⑵由于的面积为8，的面积为6所以的面积，

GCE

:

GCF

EG::S2:COECOFEG:FG．13

，所以【】

如图，长方中，，积为平方厘，求长方的面积．

，三角形的面

【解析】AEFE因为

BE:

，

FC2

，

所

以

DEF

31)53

．因

长方形BCD

AG::5:1210

所

平

ABCDMABCD【解析】M么份，ABCDMABCD【解析】M么份，所以正方形的面积为份，ABCDBCFBEFABCDDE方厘米，所以

S

AFD

12

平方厘米．因为

AFD

长方形ABCD

，所以【】

长方形的面积是平方厘米．如图正方形面积平方厘米，是边上的点．求中阴影局部面积．CG

M

D因是边上的中点，所以以知道

AM:BC2

，根据梯形蝶形定理可:::22::4设份那eq\o\ac(△,)AMGeq\o\ac(△,)ABGeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)1△份，所S:所平方厘米．阴影阴影正方形阴影【稳固】下列图的方形中，边的中点，与相交于点，三角形的面积为平方厘米那么正方形面积是平方厘米．AD【解析】

BE连接，根据题意可知

BE:

，根据蝶形定理得(方厘)，(厘米)么△(平方厘米ABCD

连接．ABCD21ABEDABCD【分析】AD连接．ABCD21ABEDABCD【分析】ADBCAECDABEDABCD【

】ABCD

是平行四边，

BC3:

，三角形的面积为6方厘米．那么阴局部的面积平方厘米．B

A

DOCE

AB【解析】AC由于是平行四边形，

BC:2

，所以

CE:AD

，根据梯形蝶形定理，S::S:2:23:6:6:9所S方AOCDOEAODAOC厘)，(方厘米)又(平方厘AODABC米)阴影局部面积为(平方厘米)．【稳固右图中是梯形，

是平行四边三角形积如下图(单位：平方厘)阴影局部的面是平方米．

DA

D

EC

C接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．OCDOAE根据形定理，SOCDOAD2，OCD所以(平方厘米)．OCD

，故【稳固右图中是梯形，

是平行四边三角形积如下图(单位：平方厘)阴影局部的面是平方米．

【解析】ADBCAECDABED12AOE【解析】ADBCAECDABED12AOEAODABCDCEDFOFBC【解析】CFEDCF定理，，所以，所以(方厘米)(方厘米)那么长方形的面积为12OFBC【】CDDEFGKDEFGBKDA

A

O

B

ECBC接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么S．根据蝶形定，OAEOADS，所以4方厘米)．另解：在平行四边形，厘米)

，故(平方所以(方厘米)根据蝶形定理，阴影局部的面积为

(平方厘米．【】

如图，长方被、分成块，其中3块的面分别为2、8平方米，那么余的四边形的面积平方厘米．AE

F

F2

25

?5

?8

8CD

C连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝶形412平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)如图，是等腰直角三形，是正方形，线段与相交于点．正形的面积，是多少？

AK:

，那么的面积

【解析】DEFGDABCADBCACKACKBCMABCMAMDE【解析】DEFGDABCADBCACKACKBCMABCMAMDEACMDEFGABCHABCDDAMAMDAEGDAEGD

A

AGK

BE

C

BM由于是正方形，所以与平行，那么四边形

ADBC

是梯形在梯形中，和的面积是相等的而

AKKB1:3

，所以的面积是面积的

1

那么的面积也是

面积．4由于是等腰直角三角形果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都【

】

等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形DEFG的面积相等，为48那么的面积为．4下列图中，边形都是长为正方形，、、、分别是，，，的中点，如果图中阴影局与右图中阴影部的面积之比是最简分数，于．HDAHD

(m

的G【解析】

FCFC左、右两个图中的阴影局部都是不规那么图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白局部面积都比拟好求，所以可以先求出空白局部的面积，再求阴影局部的面积．如下列图所示，在左图中连接．设与的交点为．左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的1，所以三角形的面积12428

．又左图中四个空白三角形的面积是相等的以左图中阴影局部的面积为

2

．

ACAFEC可知∥且BEFBEFAEFCAEFC1EFNBENF1:3:ACAFEC可知∥且BEFBEFAEFCAEFC1EFNBENF1:3:那么【解析】以，因此份，份，AEG

N

GBFCBC如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．EFACEF

那么三角形的面积为三角形面积1，所以三角形的面积为

128

，梯形的面积为113．2在梯形中，由于

EF:AC

，根据梯形蝶形定理，其四局部的面积比为：

:12

2:4

，所以三角形的面积为31，那么四边形的面积为111．而右图中824四个空白四边形的面积是相等的以右图中阴影局部的面积为1．63那么左图中阴影局部面积与右图中阴影局部面积之比为1，即m3，2n2

．【

】如图△，FGBC相平行

ADFB

，那么::Seq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ADE四边形四边FGCB

．

F

G

设份，根据面积比等于相似比的平方，:SAD4S:

，

DEBCADAC中，DEBCADAC中，，，，，FDCABCDAFBEGAFDCMCEeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)ABGeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)AE进而有

份，

份以

:S

:S

3:5【稳固】如，平行，且，，，求的长．AD

EB

【解析】

由金字塔模型得

AD::AC

，所以

AC【稳固】如，

△FGMN互相平行，

AADDFMP

，那么

D

E:::四边形四F形NQP

:S四边形

F

GM

N【解析】

设S份，:AD2:AF24，因△ADE份，而S份，同理△四形DEGF有S份SS四边形GNM四边形份．

B

Q

C所以有

△

:S四边形DEGF

:S四边形

:S四边形MNQP

:S四边形P

57:9【】

如图，正方的边长，是边的中，是边上的点，且

DE:

，与相交于，求

A

AB

G

F

G

D

E

D

E

M

D

【解析】

方一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有

AB::1:1

，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有

:GEAB:EM

，所以44(4411方法二：连接

．，分别求

△ABF

，

，根．eq\o\ac(△,)FADABCDBFBMGFABAD所以GHBDABD，根．eq\o\ac(△,)FADABCDBFBMGFABAD所以GHBDABD21CEDAIM，1BDF【】ABCD且PQRSSAEF△eq\o\ac(△,)

:SBG:GE:，△AEF432

据

蝶形所

定

理以【】

如下图，平四边形的面积是1，、是、的中，交于，求的面积．

F

D

H

CI

A

E

【解析】

BC解法一：由题意可得，、是、的中点，得，FD:BCFH:HC2，EB:CDBG:GD2CHCFGH:EF2:3

EF//BD

，而并得、是的三等分点，所以，所以:EFBM:2:3

以

2BM5

S

ABCD

；又因BG，所3解法二：延长交于，如右图，

．可得，

AI:BC:EB

，从而可以确定的点的位置，BM::IF

，

BM

25

BG3

(鸟头定理，可得

BMG

211533

ABCD

130如图，为正方形，

AMNB

，请问四边形的面积为少？

【解析】1AB/CDMQMCPQMCMCSSAE2【解析】1AB/CDMQMCPQMCMCSSAE2cmMPcmcmBD:DCCE:AF:△所以△BD:DC4:CE5:6AF:FBD

F

D

E

F

Q

S

P

MNB

A

M

()，有MP，所以DC

PCPM

，又，所以，所以1，所以占的1，6所以

122)(cm26

．()图，连结，那么

(cm)，而RB，所以RBAB，2216()EFEFEF33而所以

1()，因MNMP2DC1那么4()阴影局部面积等于33S

42()【】

如右图，三形中，，

，求．F

O

D

【解析】

根据燕尾定理得

:CD4:927S:4〔都有的面要一，所以找最小公倍数〕:27:16:FB【点评】此题键把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜如果能掌握它的转化本质我们就能到达解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【稳固】如图，三角形中，，

，求.

AOBBD:DCAOBBD:DC:CE5:AF:FB△所以△如右图，三形中，连接、、．，故2F

O

D

【解析】

根据燕尾定理得

:

BD:CD3:20:AE:5:15:18〔都有的面要一，所以找最小公倍数〕所以

:

:9AF:【稳固】如图，三角形中，，，求.F

O

D

【解析】

根据燕尾定理得

:S

BD:CD::15:S:CE5:4〔都有的面要一，所以找最小公倍数〕:AF:FB【点评】此题键把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜如果能掌握它的转化本质我们就能到达解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【

】

AF:FB:DCCE:AE2

，且三角形

的面积是那么三角的面为三角形的面积，三角形的面积为．

A

EF

GH

I

I

D

C

B

C【分析】AH由于

CE:3:

，所以

AE

25

ACS5

；

，，S4:9EG:GH:4:5:10，，S4:9EG:GH:4:5:10AF:BDDCCE:3:连接，份4BDCEEBAFFCABC如图，连接．，根据燕尾定理，以

CD:BDS:CE:EA

，所

:S

:S

:6:

，那么

4，919

；那么

25

25

；同样分析可EG::S:19:GI:ID10:5:4

S，所以

，那么，，同样分析可得所以551，5511．105191919【稳固】如右三角形中，且三角形的面积是求三角形的面积．A

F

E

F

EI

G

I

GB

B

【解析】S根燕尾定

理，

:

:3:2:4

，

:DC3:2:得()，()，那么()因此,eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)同连接、得,,以191919三角形的面积是1以三角形的面积是19【稳固】如，中，，，那么的面积阴影三角形积的倍．A

DG

F

I

H

IB

E

C

C【分析】AI根据燕尾定理，

:

:AD:1S

:

CF:AF

，

ACGABHABCABCABC【解析】,,(份)ACGABHABCABCABC【解析】,,(份)，份),么()因此理连接得,,以BDDEECCFFG根据燕尾定理，，5eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)所以，

:S

:

2:4

，那么，

221

．同理可知和的面积也都等于面积的

27

以阴影三角形的面积等于面积的21影三角形面积的7倍．

，所以的面积是阴【稳固】如在中，A

DCDB

,求的值AE

E

F

FI

G

IGB

C连接,1份，根据燕尾定理:SAF:S:BD:DC:1eq\o\ac(△,)S【点评如果任意一个角形各边被分成的比是一样的那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是“同理得到〞的即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线【

】

如图三角形的面积是，

三角形

被分成局部，请写出这局部的面各是多少?AG

F

PM

N

F

DEC

B

DC【解析】

设与交于点

P与交于点，与交于点，与交于点N．连接，:SAG:2S:BD:△设(份)，那()，以1eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

，同理可得，

eq\o\ac(△,)

,1,而，所以21325

，

S四边四边DFAC连接、、:S四边四边DFAC连接、、:::，，S:，】ABCGACDBCADMAFBGNeq\o\ac(△,)△eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

123721

．同理，

eq\o\ac(△,)

335

eq\o\ac(△,)BDM

1,所以13212735

，S四边

3,,357042632142【稳固】如，的面积为点、是边的三等分点，、是边的三等分点那么四边形的面积是多？C

C

D

DG

E

E

I

H

I

HA

B

A

B．【解析】CK根据燕尾定理，所以

BD2S::CG，那么1，1121

．类似分析可得

215

．又

S

AFS

S

BD:CD

，可得

S

．那么，

14

12184

．根据对称性，可知四边形的面积也为

1784

，那么四边形

周围的图形的面积之和为

S

370

，所以四边形的面积为

1

617070

．【

右图，中，是的中，、、是边上的四等分点，与交于，与交于的面积比边形

FCGN的面积大平方米，那么的面是多少平厘米？A

AN

G

N

GBDE

BC

连接根据燕尾定理，，5:S1:1所以AN:4:3:S::31连接根据燕尾定理，，5:S1:1所以AN:4:3:S::31SSABC()，那(份),(),(),eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)△ABC,eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,),【解析】CM

、．AG1:1BD:CDeq\o\ac(△,S)所以eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)再根据燕尾定理，，所以，那么，所以△55．728

，根据题意，有

eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

，可得

(平方厘米)【

】

如图，面积的三形中，D、EF、H分别、的三等分点阴影局部面积.D

I

D

I

H

M

HQ

G

FG

【解析】

三角形在开会那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令与的交点为M与的交点为，与的交点为与的交点为Q接、⑴求

DMI

：在中，根据燕尾定理，

:AI:CI2:SAD:BD2△△2Seq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)所1所以4312

,所以

DMI

1)1212

,同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的⑵求：在中，根据燕尾定理五形:SBFCF:AD:BD2eq\o\ac(△,1)eq\o\ac(△,)以,理72121在中，根据燕尾定

16理

:

BF:

:S

△

AI:

5△72,75△72,7eq\o\ac(△,)7，求的面所

以

1eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)

，

所

以

五边

11S2121

同理另外两个五形面积是

△

面积的

，所以

11113670【】

如图，面积的三形中，D、EF、H分别、的三等分点中心六边形面.AD

I

D

I

H

E

P

H

FG

B

F

【解析】

设深黑色六个三角形的顶点分别为

N、、、S、、Q，连接在中根据燕尾定理，

:

:CG.2

,

:S△以eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)

AI:2,理eq\o\ac(△,)

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)所以

eq\o\ac(△,)

22，同理1777根据容斥原理，和上题结果

11377010课后练习：练

△DEF

的面积为平方厘米，

BE,ADBDCFAFABC积．AFDBE

【解析】S

△

::S

BDBE):(BABC1):(26CE:CBCA(1(23:8

，

:

ADAF):((21):4)6

24S份恰好是方厘米，以AB24S份恰好是方厘米，以ABCGEFGHABCD同，即所以连接，理可得所以平米ABFABCDBGHFM【解析】:GCEB:CDDFM1，得设份，那么份，份，eq\o\ac(△,)7

份，eq\o\ac(△,)

平方厘练

如图，四边的面积平方米，，，，HDDA

，求四边形的面积．H

D

C

G

F

F【解析】

连

接

BD

．由共角定理得

△

CD):(CF)

，即

△:22ACS四形△

四形

S四形练

正方形的面积是120平厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是平方厘米

D

AEGFBC

HF欲求四边形的面积须求出和的面积．由题意可得到：，所以可得：将、延长交于点，可得：

13

BM:DCMF:FD:FC

，而

EH:EM:CD:2CHCE2

，

1，所以1SSS30四边1，所以1SSS30四边EFH，，，那么【解析】ABCA90'A'DC，，A'DCOSABFABCDBGHF而

CFSS2255127．515此题也可以用蝶形定理来做，连接，确定的位置(就是

)同样也能解出．练

如图，

AB4cmDC

，

BAEAC10cm

cm

．

CB

A

E

D

DC'将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转成三角形和再连接

'C

显然

AC

AC'CACC'

，所以

ACA'C'

是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形

ACA'C

中有如下等量关系：；所以

'

；'

．150cm2

．练

如图