专题24圆(知识点总结+例题讲解)2021届中考数学一轮复习

2021年中考数学专题24圆（知识点总结+例题讲解）一、与圆有关概念：2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)；1.圆的定义：在一个平面内，线段OAOOOA2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)；弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；直径：CD)；2半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。弧、优弧、劣弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“ ”表示以A，B为端点的弧记作“AB”，读作“圆弧AB”或“弧AB”．大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。等弧：等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。垂径定理及其推论：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。（2）2：10.圆的对称性：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。【例题1(2020•青海已知⊙O的直径为10是⊙O的两条弦cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为 cm．【答案】17∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AEBE1AB4cm，CFDF1CD3cm，22∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AEBE1AB4cm，CFDF1CD3cm，22Rt△OAEOEAO2AE2 52423cm，CO2CF2CO2CF2

4cm，5232OABCD1，EF=OF+OE=4+3=7cm；OAB5232综上所述，ABCD1cm7cm．17。1(2020•12/26)ED=1AB=1(1=10【答案】26【解析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得ADBD1AB1

尺=5寸，设半径2 2OA=OE=r，则OD=r-1，在Rt△OAD(r-1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．OE⊥AB，∵OE⊙OADBD1AB1尺=52 2设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，Rt△OAD：(r-1)2+52=r2，解得：r=13，∴26：26二、与圆有关的角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：距相等。推论：距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；2(2020•ABCDBD周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．解：如下图，连接OA、OB、OD、OC，∵∠BDC=60°，∴∠BOC=2∠BDC=120°，则∠ADB)A．40°B．50°C．60°D．70°周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．解：如下图，连接OA、OB、OD、OC，∵∠BDC=60°，∴∠BOC=2∠BDC=120°，则∠ADB)A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】A∵AB=CD， ∴∠AOB=∠DOC，∵ABDABAD，∴∠AOB=∠AOD，AOBAODDOC1(360BOC80ADB1AOB40，故选：A。3 2∠ABD)A．54°B．56°C．64°D．66°【答案】A2】(2020•∠ABD)A．54°B．56°C．64°D．66°【答案】AAB⊙ODAB=∠BCD=36°，进而可得∠ABD的度数．解：∵AB⊙O，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=∠BCD=36°，∴∠ABD=∠ADB-∠DAB=90°-36°=54°．故选：A。三、与圆有关的位置关系：1.点与圆的位置关系：设⊙Or，POd，则有：PPP。不在同一直线上的三点确定一个圆2.直线与圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。如果⊙Or，Old，那么：l⊙Ol⊙O③直线l与⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线长定理：心的连线平分两条切线的夹角。三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。3.圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系：①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种；②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种；③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。Rr，d，那么：③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)；③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)；两圆相切、相交的重要性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。【例题3】(2020•青)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切半径r= ．【答案】1，根据勾股定理可得AB5DEF，连接ODOEOF，可得EOFCCE=CF=r，AF=AD=3-r，BE=BD=4-r，进而可得△ABCr解：在△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，连接OD、OE、OF，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，∵∠C=90°，∴四边形EOFC是矩形，∴矩形EOFC是正方形，∴CE=CF=r，∴AF=AD=AC-FC=3-r，BE=BD=BC-CE=4-r，∵AD+BD=AB，∴3-r+4-r=5，解得r=1．则△ABC的内切圆半径r=1．故答案为：1。OEOE⊙OD，BD，则∠D)A．55°B．65°C．60°D．75°【答案】B解：连接CD，∵∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，解：连接CD，∵∠A=50°，∴∠CDB=180°-∠A=130°，∵E是边BC的中点∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴ODB

12

BDC65，故选：B．【例题4(2020•牡丹)AB是⊙O的弦垂足为M，连接OA．若中有个角是30°，OM＝2√3，则弦AB的长为 ．【答案】124．【解析】分∠OAM＝30°，∠AOM＝30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可．解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，情况一：若∠OAM＝30°，解：∵OM⊥AB，∴AM＝BM，情况一：若∠OAM＝30°，tan∠OAM=OM=2√3=√3，∴AM＝6，∴AB＝2AM＝12；情况二：若∠AOM＝30°，∴AB＝2AM＝12；情况二：若∠AOM＝30°，则tan∠AOM=AM=AM=√3，OM2√33∴AM＝2，4(2020•AB⊙OABC，使BC＝OBEOB，DE⊥AB⊙OD，P⊙OBCD，PE，PC．求证：CD⊙O发现的结论加以证明．

PEPC【答案】(1)见解析；(2)

12，见解析【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．(1DEOB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB30°，从而可得∠ODC＝90°，OD⊥CD，CD⊙O；(2)OP，由已OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．EEOB，DE⊥AB⊙OD，∴DEOB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝

12∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴

PE＝OP＝1．1(2)2OP，1(2)2OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴OP＝OC＝2，OEOP1四、与圆有关的计算：弧长及扇形的面积：（1）r，n°的圆心角所对的弧长公式：l

nr；180（2Rn°

nR2

1lR (l扇形 360 2圆锥的侧面积和全面积：圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r；那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。圆锥的侧面积公式：S1lrrl l，r2圆锥的全面积公式：S ＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2；圆锥全求阴影部分面积的几种常见方法：公式法；割补法；拼凑法；等积变形构造方程法；去重法。正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S =a2正方形

b2。25(2020•A2ABCDACAO部分的面积为 ．(结果保留π)【答案】4-π【解析】根据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．2解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，2AB2AB2BC2

2 ，∴OAOC ，2( 2)2∴图中的阴影部分的面积22 22( 2)2360【变式练习5】(2020•河南15/23)如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为 ．2【答案】6 23EE′CDCD′的长度和