北京市东城区普通校2012届高三联考试题(数学理)

北京市东城区一般校2012届高三3月联考试题数学（理）2012年3月命题校：65中共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．选出切合题目要求的一项填在机读卡上。1．复数11的模为（）A．1B．2C．1D．2i222．若抛物线y22px的焦点与椭圆x2y21的右焦点重合，则p的值为（）62A．4B．2C．2D．43．定义在R上的函数f(x)在3,上为增函数，且yf(x3)为偶函数，则（）A．f(8)f(4)B．f(5)f(1)C．f(6)f(2)D．f(6)f(1)4．设a,b是两个非零向量，则“向量a,b的夹角为锐角”是“函数f(x)(xab)(ax的b)图像是一条张口向下的抛物线”的（）A．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不用要条件5．设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)等于（）A．2(8n1)B．2(8n11)C．2(8n31)D．2(8n41)77776．已知直线m、n与平面、，以下命题中正确的选项是（）A.m//,n//且//，则m//n；B．m,nC．m,n//且，则mnD．m//,n

且，则mn；且，则m//n.7．函数fx1log2x与gx2x1在同向来角坐标系下的图象大概是（）8．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数，若对随意x[a,b]，都有|f(x)g(x)|1成立，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“亲密函数”，区间[a,b]称为“密切区间”.若f(x)x23x4与g(x)2x3在[a,b]上是“亲密函数”，则其“亲密区间”能够是（）A.[1，4]B.[2，3]C.[2，4]D.[3，4]第Ⅱ卷(非选择题，共110分)二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。9．log2sin12log2cos的值为；1210．函数f(x)ln(x1)2的零点所在的区间是(n,n1)，则正整数n；x11．数列{an}知足anan11(nN*)，且a11，Sn是数列{an}的前n项和，则22S2011；12．在算式“4130”的、中，分别填入一个正整数，使它们的倒数之和最小，则这两个数组成的数对(、)应为；13．若会合A{x|x24x50,xZ}，B{x|ylog0.5x3,xZ}，记x0为抛掷一枚骰子出现的点数，则x0AB的概率等于；14．已知函数f()x(xR)，给出以下命题：x1x（1）对R，等式f(x)f(x)0恒成立；（2）函数f(x)的值域为1,1；（3）若x1x2，则必定有f(x1)f(x2)；（4）函数g(x)f(x)x在R上有三个零点．此中正确命题的序号为___________（把全部正确命题的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。215．（本小题满分13分）设函数f(x)cos(2x)sinx．（Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB1，f(C)1,324且C为锐角，求sinA的值.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD．2（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角QBPC的余弦值．17．（本小题满分13分）某城市近来出台一项灵活车驾照考试的规定：每位考试者一年以内最多有4次参加考试的时机，一旦某次考试经过，即可领取驾照，不再参加此后的考试，否则就向来考到第4次为止。李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试经过的概率挨次为0.6，0.7，0.8，0.9．（Ⅰ）求在一年内李明参加驾照考试次数X的散布列和X的数学希望；（Ⅱ）求李明在一年内领到驾照的概率。18．（本小题满分14分）函数f(x)x3ax2bxc，过曲线yf(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y3x1，且点P为切点；（Ⅰ）若yf(x)在x2时有极值，求f(x)的表达式；（Ⅱ）在（1）的条件下，求yf(x)在3,1上的最大值；（Ⅲ）若函数yf(x)在区间2,1上单一递加，求b的取值范围。19.（本小题满分13分）在平面直角坐标系xoy中，点M与点N(1,1)对于原点O对称，P是动点，且直线1.MP与NP的斜率之积等于3(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线

MP

和

NP分别与直线

x

3交于

A,B

两点，问：能否存在点

P使得

PMN

与PAB的面积相等？若存在，求出点

P的坐标；若不存在，说明原因。20.（本小题满分14分）已知二次函数yf(x)的图像经过坐标原点，其导函数为f'(x)

6x

2，数列

{an}

的前

n项和为

Sn，点

(n,Sn)(n

N)均在函数

y

f(x)的图像上。（Ⅰ）、求数列

{an}的通项公式；1，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得TnmN都成立（Ⅱ）、设bn对全部nanan120的最小正整数m；高三（理科）数学评分标准一、选择题:DACA,DBCB二、填空题：9.2；10.1；11.502；12.(5,10)；13.2；314.（1）、（2）、（3）.三、解答题：15.解：(本小题满分13分)(1)f(x)cos2xcossin2xsin1cos2x2分2331cos2x3sin2x11cos2x13sin2x.4分222222所以当2x2k,，即xk,kZ时，f(x)获得最大值1＋3.242f(x)的最小正周期T26分2故函数f(x)的最大值为1＋3.7分2，最小正周期为C113sinC13(2)由f()，即22，解得sinC.2442又C为锐角，所以C.9分3122由cosB求得sinB3.3sinAsin[(BC)]sin(BC)sinBcosCcosBsinC221132232232613分解：（本小题满分13分）（I）如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴成立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）2分则DQ(1,1,0),DC(0,0,1),PQ(1,1,0).所以PQDQ0,PQDC0.即PQDQ,PQDC,故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.6分（II）依题意有B(1,0,1)，CB(1,0,0),BP(1,2,1).设n(x,y,z)是平面PBC的法向量，则nCB0,即x0,2yz0.nBP0.x所以可取n(0,1,2).设m是平面PBQ的法向量，则由mBP0,同理可取m(1,1,1),mPQ0.所以cosm,n101(1)1(2)1535.5故二面角QBPC的余弦值为1513分.517解.（本小题满分13分）(1)X的取值为1,2,3,4.2分P(X1)0.6,P(X2)(10.6)0.70.28P(X3)(10.6)(10.7)0.80.096P(X4)(10.6)(10.7)(10.8)0.0246分∴X的散布列为：X1234P0.60.280.0960.0248分所以，E(X)10.640.0241.544.10分（2）李明在一年内领到驾照的概率为：P1(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.997613分18.（本小题满分14分）解：（1）由f(x)x3ax2bxc得,f(x)3x22axb1分因为过点P(1,f(1))的切线方程为y3x1所以f(1)4，f'(1)332ab32ab0故ca即ca33

①②3分yf(x)在x2时有极值，故f(2)=04ab12③由①②③式联立,解得a2,b4,c5，f(x)x32x24x55分（2）f(x)3x22axb3x24x4(3x2)(x2)6分令f'(x)0得x12,x22，由f(3),f(1),f(2),f(2)，比较大小可知f(x)33在[3,1]上最大值为13。10分（3）yf(x)在区间[2,1]上单一递加，又f(x)3x22axb，由（1）知2ab0，f(x)3x2bxb依题意f(x)在[-2，1]上恒有f(x)0,即3x2bxb0在[-2，1]上恒成立。①当xb1时，f(x)小f(1)3bb0，b66②当xb2时，f(x)小f(2)122bb0，b6③当2b1时，f(x)小12bb20，∴0≤b≤6612综合上述议论可知，所求参数b取值范围是：b≥0。14分注：转变成b3x21在[-2，1]上恒成立，借助分别常数及均值不等式的可酌情给分。x19．（本小题满分13分）（I）解：因为点B与A(1,1)对于原点O对称，所以点B(1,1).设点P的坐标为(x,y)y1y11由题意得1x13x化简得x23y24(x1).故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)6分（II）若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)则1|PA||PB|sinAPB1|PM||PN|sinMPN.8分22因为sinAPBsinMPN,|PA||PN|所以||PB||PM所以|x01||3x0||3x0||x1|即(3x0)2|x021|，解得x053因为x023y024，所以y03312分9故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，且P的坐标为(5,33).13分39（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)ax2bx(a0),则f'(x)2axb,因为f'(x)6x2得a3,b2f(x)3x22x┄┄┄┄┄6分因为点(n,Sn)(nN)在函数yf(x)的图像上，所以Sn3n22n当n2时，anSnSn1(3n22n)[