高中物理竞赛力学

高中物理竞赛力学第一页，共261页。力学物理奥赛培训2011年5月福建福州厦门大学物理学系苏国珍(gzsu@)第二页，共261页。一.质点运动学二.牛顿运动定律三.动量定理动量守恒定律四.动能定理机械能守恒定律五.质心运动定律六.角动量定理角动量守恒定律七.刚体的平衡八.万有引力与天体运动九.简谐振动第三页，共261页。一.质点运动学第四页，共261页。（一）基本知识第五页，共261页。1．质点运动的一般描述1.1运动方程与轨道方程轨道方程运动方程P(x,y)xOyxy第六页，共261页。1.2速度反映质点运动的快慢和方向的物理量瞬时速度沿轨道切线方向第七页，共261页。1.3加速度反映速度（大小和方向）变化快慢的物理量加速度与速度的方向一般不同。xOzyvAvvBABrArBvAvB(a)(b)第八页，共261页。gyv0Ox2.抛体运动速度：运动方程：轨道方程：第九页，共261页。推论gyv0Ox第十页，共261页。甲乙sh第十一页，共261页。3.1圆周运动的加速度RPxOP0s0n0avaan3.圆周运动第十二页，共261页。3.2圆周运动的角量描述角位置：=(t)角速度:

角加速度:

3.3角量和线量的关系RPxO

P0s第十三页，共261页。xySOPrr04.相对运动4.1运动描述与参照系：对物体运动的描述与参照系有关——位移、速度、加速度的测量与参照系有关。

4.2不同参照系间位移、速度和加速度的变换

第十四页，共261页。（二）拓展知识第十五页，共261页。aana1.一般曲线运动1.1一般曲线运动中的加速度第十六页，共261页。1.2曲率半径的物理求法椭圆的曲率半径：AByxOab轨道方程：对应运动方程：A点：同理：第十七页，共261页。抛物线的曲率半径：yxO轨道方程：对应运动方程：其中：第十八页，共261页。2.连体运动问题解题方法一：运动的分解情形1：两物体通过刚性细杆或不可伸长的绳子相连，他们在连线方向的位移、速度和加速度相等。v2v1第十九页，共261页。hv0v0v||解：第二十页，共261页。情形2：两刚性物体接触点的速度沿法向分量相等。v1v2第二十一页，共261页。Pv0vP例1.2如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度。解：RO第二十二页，共261页。练习：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮M推动，凸轮绕过O点的水平轴以角速度转动。在图示的瞬时，OA＝r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度。AOrnBMK参考答案：第二十三页，共261页。情形3：两直线相交点的运动等于各直线沿对方直线方向运动的合运动：Pv2v1第二十四页，共261页。例1.3水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度。OMRv0v0v2v1v0解：第二十五页，共261页。练习：如图，一平面内有两根夹角为细杆l1和l2，两细杆各自以垂直于自己的速度v1和v2在该平面内运动，试求两细杆交点P的速率。Pv1v2第二十六页，共261页。解：Pv1v2v1v2第二十七页，共261页。A对B：解题方法二：运动的合成（相对运动）一个物体同时参与两种运动实质上是参照系的转换：B对地：A对地：第二十八页，共261页。例1.4如图，缠在线轴上的绳子一头搭在墙上的光滑钉子A上。今以恒定速度v拉绳，当绳与竖直方向夹角为时，求线轴中心O的运动速度v。设线轴的外半径为R，内半径为r，线轴沿水平面作无滑动滚动。ABCrROv第二十九页，共261页。解：情况1：线轴座逆时针方向转动。设转动角速度为。ABCrROvvOB点相对于地面的速度：B点相对O的速度大小：vB沿绳子方向的分量与v相等：…….（1）线轴与地面无滑动：……..….（2）联立（1）、（2）得:……..…..….（3）由式（3）可知，情况1出现的条件为：第三十页，共261页。情况2：线轴座顺时针方向转动。同理可得：出现情况2的条件为：ABCrROvvO第三十一页，共261页。例1.5续例11，求重物上升的加速度。hv0vv||O第三十二页，共261页。以地面为参照系，A的加速度以O点为参照系，绳子末端A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为解：第三十三页，共261页。例1.6续例12，求竖直杆运动的加速度。PRO以圆心O为参照系，P点作圆周运动，其速度大小为：P点相当于地面的加速度：向心加速度：vP第三十四页，共261页。关键：找出各物体间位移间的关系，进而得到速度、加速度之间的关系。解题方法三：微积分第三十五页，共261页。yhxv0第三十六页，共261页。解：第三十七页，共261页。Pv0vP例1.8如图示，一半径为R的半圆柱体沿水平方向以速度v0作匀速运动。求杆与半圆柱体的接触点P的角位置为时竖直杆运动的速度和加速度。yRxOA第三十八页，共261页。解：第三十九页，共261页。例1.9水平直杆AB在半径为R的固定圆圈上以匀速v0竖直下落，如图所示，试求套在该直线和圆圈的交点处小环M的速度和加速度。OMRv0v0xy第四十页，共261页。解：第四十一页，共261页。二.牛顿运动定律第四十二页，共261页。（一）基本知识第四十三页，共261页。第一定律：定性反映了物体的运动与其受力之间的关系，引入惯性参照系的概念。第二定律：定量性反映了物体的运动规律与其受力之间的关系：第三定律：反映了力的来源：力来自物体间的相互作用。——正是由于物体间的相互作用使得物体的运动状态不断发生改变，使得自然界不断地变化发展。1．牛顿运动定律第四十四页，共261页。2．自然界中的力2.1万有引力mMFr任何物体之间都存在的相互吸引力：第四十五页，共261页。2.2重力：使物体产生重力加速度的力。重力来源于地球对物体的引力，若忽略地球的惯性离心力，则——重力加速度与物体质量无关第四十六页，共261页。比萨铁塔落体实验

?逻辑推理

fast

slow第四十七页，共261页。2.3弹力：物体由于形变而对引起形变的物体产生的作用力。2.4摩擦力：相互接触的物体间产生的一对阻止相对运动或相对运动趋势的力。滑动摩擦力：摩擦力总是阻止相对运动。（在弹性范围内）弹簧：第四十八页，共261页。摩擦力总是阻止相对运动第四十九页，共261页。一人被困在冰面上（冰面水平光滑）无法离开。请你替他想一个办法使他能够离开该冰面。第五十页，共261页。自行车在粗糙的水平面上起动时，前轮和后轮所受的摩擦力方向如何？第五十一页，共261页。（二）拓展知识第五十二页，共261页。接触面:沿法线方向N1．关于弹力1.1弹力的大小微小形变——微小振动为简谐振动1.2弹力的方向:弹力的方向总是与形变方向相反.杆：较复杂绳子：沿绳子方向TFFnF第五十三页，共261页。1.3弹簧的串联与并联Fk1k2k1k2F第五十四页，共261页。2．关于摩擦力2.1摩擦力的大小两接触物体相对滑动的条件：fs=N无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：摩擦力的方向总是沿接触面切线方向。2.2摩擦力的方向Nf无滑动：决定于物体的运动和所受的其他力：有滑动：与相对运动速度方向相反。第五十五页，共261页。解：第五十六页，共261页。第五十七页，共261页。解：第五十八页，共261页。2.3摩擦力的作用时间可能有两种情况：hvMmV0V0v0=0第五十九页，共261页。hvMmV0例2.3一质量为M的平板沿光滑水平面以速度V0运动。质量为m的小球从h处落下，与平板发生碰撞后弹起，已知小球弹起时沿竖直方向的分速度大小与碰撞前速度大小之比为e，球与平板间的摩擦系数为。求小球碰撞后的速度与水平方向的夹角。第六十页，共261页。解：情况1：tf=tNtf=tN的条件：vxV，即hvMmvxvyV第六十一页，共261页。情况2：tf<tNtf<tN的条件：hvMmvxvyV第六十二页，共261页。3.四种基本力宏观世界里除了重力来源于万有引力外，其它的力几乎都源于电磁力第六十三页，共261页。4.非惯性参照系的动力学问题惯性系:牛顿定律成立的参考系。一切相对于惯性系作匀速直线运动的参考系也是惯性系。非惯性系:相对于惯性系作加速运动的参考系。在非惯性系内牛顿定律不成立。4.1惯性参照系与非惯性参照系第六十四页，共261页。4.2非惯性参照系中的牛顿第二定律其中为惯性力第六十五页，共261页。mM第六十六页，共261页。xyO解1：第六十七页，共261页。mgN1xyYX解1：第六十八页，共261页。（三）典型题解第六十九页，共261页。例2.5在光滑的水平桌面上有质量为m的小车C，车上有质量为4m和m的立方块A和B，它们与小车表面之间的摩擦系数=0.5。今用一恒力F沿水平方向作用在滑轮上。求A、B、C的加速度。mm4mFABC第七十页，共261页。解：AF/2fABF/2fB第一种情况：A、B与小车间均无相对滑动。A、B与小车间无相对滑动的条件：第七十一页，共261页。BF/2fBmm4mFABC第七十二页，共261页。mm4mFABC第七十三页，共261页。结论：第七十四页，共261页。AOa第七十五页，共261页。O解：无滑动条件：f<N第七十六页，共261页。为使大、小环间始终无滑动，以上不等式对任意都要成立。因此令第七十七页，共261页。

ACB第七十八页，共261页。

根据牛顿第二定律可得：两式相除：有三角形相似可知：ACBDEF解：第七十九页，共261页。

依题意：由此可得：ACBDEF第八十页，共261页。

第八十一页，共261页。mmv0M例2.8如图所示，长为2l的轻绳，两端各系一个质量为m的小球，中央系一个质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态，三球在一条直线上。今给小球M以一个冲量，使它获得水平速度v0，v0的方向与绳垂直。求：（1）M刚受冲量时绳上的张力；（2）在两端的小球发生碰撞前瞬间绳中的张力。第八十二页，共261页。解：（1）以M为参照系，m绕M作以速度v0作圆周运动。M刚受冲量时，绳子对M的作用合力为零，M为惯性参照系，因此（2）mmv0MT1T1M第八十三页，共261页。以M为参照系，m绕M以速度v

作圆周运动。此时M有加速度aM，为非惯性参照系。MM第八十四页，共261页。三．动量定理动量守恒定律第八十五页，共261页。（一）基本知识第八十六页，共261页。1.质点的动量定理1.1牛顿第二定律的普遍形式第八十七页，共261页。1.2质点的动量定理动量定理反映了力对时间的积累效应第八十八页，共261页。2.质点系的动量定理内力只是使系统内各质点产生动量的交换，但不改变质点系的总动量第八十九页，共261页。3.动量守恒定律若系统在某一方向所受的合力的冲量为零，则该方向动量守恒第九十页，共261页。（二）拓展知识第九十一页，共261页。1.变力的冲量t0ttiti+titFO第九十二页，共261页。2.动量定理、定理守恒定律与参照系动量定理、动量守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动量定理，需计入惯性力的冲量；在非惯性参照系中，动量守恒定律的适用条件为外力与惯性力的合力为零。第九十三页，共261页。3.碰撞问题3.1碰撞的物理过程第九十四页，共261页。3.2一般碰撞第九十五页，共261页。3.3完全弹性碰撞第九十六页，共261页。3.4完全非弹性碰撞第九十七页，共261页。（三）典型题解第九十八页，共261页。例3.1一机枪质量为M，放置于光滑水平面上，内装有n颗质量为m的子弹，当它在水平方向射出子弹时，子弹的出口相对速度为u，假定在1min内连续发射了这n颗子弹，试求：（1）发射结束后机枪的后退速度；（2）如果nm<<M，试讨论上述结果的近似值。第九十九页，共261页。解：（1）第一百页，共261页。（2）第一百零一页，共261页。例3.2如图所示，有一列N节（含机车）的火车，车厢之间由完全非弹性的车钩相连接，机车与每节车厢的质量均为m，机车与每节车厢所受的阻力均为自身重量的倍，火车以恒定牵引力启动。（1）若启动时各节间的车钩已拉紧，求启动火车所需的最小牵引力。（2）若启动前每一车钩间隙等于L，则启动火车所需的最小牵引力为多少？……F12N－1N第一百零二页，共261页。……1kk+1FN…………1kk+1FN……vk……1k+1k+2FN……vk+1(a)(b)(c)第一百零三页，共261页。解：（1）（2）第一百零四页，共261页。第一百零五页，共261页。例3.3

如图所示，四个相等质量的质点由三根不可伸长的绳子依次连接，置于光滑水平面上，三根绳子形成半个正六边形保持静止。今有一冲量作用在质点A，并使这个质点速度变为u，方向沿绳向外，试求此瞬间质点D的速度uABCD第一百零六页，共261页。ABCDI1I1I2I2I3I3I0uu1u2600600u：A的速度或B的速度在B、A连线方向的分量u1：B或C的速度在C、B连线方向的分量u2：D的速度或C的速度在D、C连线方向的分量第一百零七页，共261页。解：B球：C球：D球：联立以上各式，解得：第一百零八页，共261页。第一百零九页，共261页。第一百一十页，共261页。解：第一百一十一页，共261页。根据（1）—（5）可得第一百一十二页，共261页。第一百一十三页，共261页。第一百一十四页，共261页。系统落地时的速度:解：(1)第一百一十五页，共261页。第一百一十六页，共261页。(2)第一百一十七页，共261页。四．动能定理机械能守恒定律第一百一十八页，共261页。（一）基本知识第一百一十九页，共261页。1．质点的动能定理动能定理反映了力对空间的积累效应第一百二十页，共261页。2．质点系的动能定理内力所做的总功一般不为零，即内力一般要改变系统的总动能第一百二十一页，共261页。例：mMm+M第一百二十二页，共261页。内力可以改变系统的总动能

第一百二十三页，共261页。3．势能3.1保守力：做功只与物体的始、末位置有关，而与物体的运动路径无关的力。第一百二十四页，共261页。第一百二十五页，共261页。重力势能:弹力势能:万有引力势能:几种常见保守力的势能:第一百二十六页，共261页。4．功能原理机械能守恒定律4.1功能原理第一百二十七页，共261页。4.2机械能守恒定律封闭保守系统：第一百二十八页，共261页。（二）拓展知识第一百二十九页，共261页。1.变力做功x0xxixi+xitFO第一百三十页，共261页。2.功、能与参照系动能定理、机械能守恒定律只适用于惯性参照系。在非惯性参照系中使用动能定理，需计入惯性力所做的功；在非惯性参照系中，机械能守恒定律的适用条件为外力、非保守内力及惯性力所做的总功为零。力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关（例4.6）。在某一过程中，动能的增量一般与参照系（即使是惯性系）有关，但势能的增量（与成对保守力做功相联系）与参照系无关。所以相同的过程对某一参照系机械能守恒，但对另一参照系却可能不守恒。第一百三十一页，共261页。一质量为m的小球与一劲度系数为k的弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动。试问：若视弹簧和物体m为一个体系，则在一沿此弹簧长度方向以速度u作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。xOkmxu第一百三十二页，共261页。（三）典型题解第一百三十三页，共261页。L3LBA第一百三十四页，共261页。L3LBAL2LBA解：（1）第一百三十五页，共261页。以地面为参照系，A的加速度以O点为参照系，A作圆周运动，其加速度沿绳子方向的分量，即向心加速度大小为（2）先计算A、B加速度之间的关系：OL2LBAvA||vAvAaBaA第一百三十六页，共261页。再求绳子中的张力：L2LBA第一百三十七页，共261页。练习如图所示，质量为m、半径为R，表明光滑的圆柱体B放在光滑的水平桌面上。有一质量也等于m的细长直杆A，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动．初始时，杆的下端正好与圆柱体顶点接触，系统保持静止状态。因受一微小扰动，使A、B从静止开始运动。求：（1）当杆A与圆柱面接触点的连线和竖直方向夹角为时，杆A的速度；（2）此时杆A与圆柱体将的相互作用力。OACBROACBR第一百三十八页，共261页。参考答案：第一百三十九页，共261页。mmOMmgN第一百四十页，共261页。解：（1）

以上不等式有解：第一百四十一页，共261页。

即开始上升时，

第一百四十二页，共261页。MmvRV第一百四十三页，共261页。解：第一百四十四页，共261页。脱离球面的条件：N＝0，则第一百四十五页，共261页。m2m1F第一百四十六页，共261页。m2m1x1x2Fx＝0第一百四十七页，共261页。解：

m2刚好能被提起的条件：

机械能守恒：第一百四十八页，共261页。Fmk第一百四十九页，共261页。解：mk（1）考察物体第n次来回运动：第一百五十页，共261页。物体停止在位置xn的条件：物体最终停止的位置为：mk第一百五十一页，共261页。（2）根据功能原理：（3）物体来回一次的时间：因此可得物体从开始运动到最终停止所经历的时间：mk第一百五十二页，共261页。hdVL第一百五十三页，共261页。hdVL第一百五十四页，共261页。（1）物块滑到斜面底端的速度：ha解：物块在斜面上滑动的加速度：第一百五十五页，共261页。以传输带为参照系，物块滑到传输带的初速度大小:运动方向与传输带边缘的夹角满足：物块在传输带上作减速运动，加速度大小：当物块与传输带相对静止时在传输带上运动的距离：物块不超过传输带宽的边缘对应的最小摩擦系数2应满足:第一百五十六页，共261页。物块对传输带的摩擦力大小:

单位时间内物块对传输带所做的功:（2）传输带上与传送带间存在相对滑动的货物质量:单位时间内传输带对物块所做的功:或第一百五十七页，共261页。以地面为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:以传送带为参照系，单位时间内摩擦力对传输带和物块所做的功分别为:

力做功一般与参照系（即使是惯性系）有关，但成对相互作用力做功与参照系无关。

第一百五十八页，共261页。五．质心运动定理第一百五十九页，共261页。（一）基本知识第一百六十页，共261页。yxCO1.质心第一百六十一页，共261页。2．质心运动定理

系统质心加速度的大小与于所受的合外力大小成正比，与系统的总质量成反比，加速度的方向沿合外力的方向。内力不影响系统质心的运动。第一百六十二页，共261页。（二）拓展知识第一百六十三页，共261页。1.柯尼希定理质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为柯尼希定理。特别地：两质点构成的质点系统的总动能为推论：质心参照系中两质点构成的质点系统的总动能为第一百六十四页，共261页。在讨论孤立质点系的运动时，采用质心系是方便的。在质心系里，体系的动量恒为零，且孤立体系的质心系是惯性系，功能定理和机械能守恒定律都能适用。2.质心参照系取质心为坐标原点建立的参考系称为质心参考系或质心系。即使讨论非孤立体系的运动，采用质心系也是方便的，可以证明，当质心系为非惯性参考系时，功能定理和机械能守恒定律也仍然正确。（这是因为在质心参照系中，作用在各质点上的惯性力所做的总功为零。）第一百六十五页，共261页。（三）典型题解第一百六十六页，共261页。例5.1

如图，求当人从小车的一端走到另一端时，小车相对与地面移动的距离。lmMxylsyx解：

第一百六十七页，共261页。MmRO第一百六十八页，共261页。MmOO'yxyxsR解：

第一百六十九页，共261页。mmLLABC第一百七十页，共261页。mBLLmmCvBvCv'v'vCA解：

第一百七十一页，共261页。例5.4一轮船质量为M，以速度V0行驶，船上一人以相对轮船的速度v向前投掷一质量m的球。问需做功多少（图a）？若向后投掷情况又如何（图b）？(a)(b)V0V0第一百七十二页，共261页。解1：

向前抛：

向后抛：

第一百七十三页，共261页。成对相互作用例所做的总功与参照系无关。解2：

不管向前或先后抛：

解3：

以质心为参照系：第一百七十四页，共261页。六.角动量定理角动量守恒定律第一百七十五页，共261页。（一）基本知识第一百七十六页，共261页。1．力矩dOMFPr第一百七十七页，共261页。质点对参考点O的角动量定义为：2．质点的角动量mdOLvr第一百七十八页，共261页。3．质点的角动量定理和角动量守恒定律——质点的角动量守恒角动量守恒，动量未必守恒第一百七十九页，共261页。4．质点系的角动量定理和角动量守恒定律——质点系的角动量守恒内力不改变系统的总角动量第一百八十页，共261页。（二）典型题解第一百八十一页，共261页。FmR第一百八十二页，共261页。解：FmR第一百八十三页，共261页。例6.2如图所示，质量为m的小球B放在光滑的水平槽内，现以一长为l的细绳连接另一质量为m的小球A，开始时细绳处于松弛状态,A与B相距为l/2。球A以初速度v0在光滑的水平地面上向右运动。当A运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B球开始运动时速度vB的大小。l/2lBAA300vAyvAxvBvA第一百八十四页，共261页。解：第一百八十五页，共261页。第一百八十六页，共261页。m2mlAOlBBA12机械能守恒:角动量定理：（1）解：第一百八十七页，共261页。对小球1：同理对小球2：

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百八十八页，共261页。

.lOl22mgf11N1f2N2mg第一百八十九页，共261页。

初速度的方向与水平线的夹角：得任意t时刻球2的位置坐标：第一百九十页，共261页。球2脱离细杆时，第一百九十一页，共261页。第一百九十二页，共261页。解：（1）螺旋环的角动量：角动量守恒：第一百九十三页，共261页。（2）根据角动量守恒和机械能守恒定律解得：第一百九十四页，共261页。另解：（1）

第一百九十五页，共261页。（2）

第一百九十六页，共261页。七.刚体的平衡第一百九十七页，共261页。（一）基本知识第一百九十八页，共261页。1.刚体平衡条件1）物体受力的矢量和为零：2）对矩心的合力矩为零重要推论：刚体受三个非平行力作用而平衡时，此三个力的合力为零，而且这三个力的力线（含延长线）相交于一点。第一百九十九页，共261页。2.刚体平衡的稳定性满足平衡条件的刚体，若受到扰动，便离开平衡位置。若它会自动回到平衡位置，则称为稳定平衡；若它会更远离平衡位置，则称为不稳定平衡；若平衡位置的周围仍是平衡位置，则称为随遇平衡。稳定平衡不稳定平衡随遇平衡第二百页，共261页。（二）典型题解第二百零一页，共261页。例7.1匀质杆OA重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重为P2、长为l2的均匀杆AB，在AB杆的B端加一水平力F。求平衡时此两杆与水平线所成的角度与的大小，以及OA与AB间的作用力。P1P2FOAB第二百零二页，共261页。解：以AB为研究对象，有（1）以OA+AB为研究对象，有P1P2FOAB第二百零三页，共261页。以AB为研究对象，其所受的合力为零，因此（2）P2FABNN的方向与水平线的夹角满足：第二百零四页，共261页。第二百零五页，共261页。PiPi-1Bi-1Ai-1AiP1P6mgB6A6A1C解：设任一小突起Ai对其的压力为Pi，则（i=2…6）考虑薄片A6B6，根据力矩平衡条件可得第二百零六页，共261页。例7.3用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，如图所示。已知每一积木块的长度为l，横截面是边长为h＝l/4的正方形。要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试计算跨度与桥孔高度的比值。HhlL第二百零七页，共261页。……123410解：第二百零八页，共261页。例7.4有一半径为R的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触。现有另一质量与A相同，半径为r的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手。己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30。若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？BArR第二百零九页，共261页。

对A球：对B球：解：联立（1）~（6）解得：（1）（2）（3）（4）（5）（6）第二百一十页，共261页。圆柱B与墙面的接触点不发生滑动：圆柱A在地面上不发生滑动：两圆柱的接触点不发生滑动：综合上述结果，可得到r满足的条件：第二百一十一页，共261页。八.万有引力与天体运动第二百一十二页，共261页。（一）基本知识第二百一十三页，共261页。1.开普勒三定律第一定律：行星围绕太阳运动的轨道为椭圆，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。第二定律：行星与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积：第三定律：各行星绕太阳运动的周期平方与轨道半长轴立方之比值相等：第二百一十四页，共261页。2.万有引力与引力势能2.1万有引力2.2引力势能第二百一十五页，共261页。开普勒定律角动量守恒机械能守恒3.解题技巧第二百一十六页，共261页。（二）典型题解第二百一十七页，共261页。解：

rSr第二百一十八页，共261页。例8.2地球和太阳的质量分别为m和M，地球绕太阳作椭圆运动，轨道的半长轴为a，半短轴为b，如图所示。试求地球在椭圆顶点A、B、C三点的运动速度大小及轨迹在A、B、C三点的曲率半径。

MmACObaA第二百一十九页，共261页。解：A、B两点：MmvAAvCCObacaBvB第二百二十页，共261页。A、C两点：MmvAAvCCObacaBvB第二百二十一页，共261页。例8.3质量为M的宇航站和对接上的质量为m的飞船沿圆形轨道绕地球运动着，其轨道半径是地球半径的n倍（n＝1.25）。某一瞬时，飞船从宇航站沿原运动方向射出后沿椭圆轨道运动，其最远点到地心的距离为8nR，求质量m/M为何值时，飞船绕地球运行一周后正好与宇航站相遇？mMM+mM0第二百二十二页，共261页。解：M+m：m：M+mM0unRmv1nR8nR第二百二十三页，共261页。设M的最近点到地心的距离为x，则M：MM0v2nRx第二百二十四页，共261页。mMM0nRx8nR第二百二十五页，共261页。第二百二十六页，共261页。MCmRr（1）解：第二百二十七页，共261页。设地球绕太阳