2.3.4 两条平行线间的距离 教学设计 2021-2022学年高二上学期数学 人教A版（2019）选择性必修第一册

课题2.3.4两条平行线间的距离教材分析本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。本节重点是距离公式的推导和应用。解决问题的关键是理解距离公式的推导。课程目标A.理解两条平行线间的距离公式的推导B.会求两条平行直线间的距离．C.通过两条平行直线间的距离公式的推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力数学学科素养1.数学抽象：两条平行线间的距离公式2.逻辑推理：两条平行线间的距离公式的推导3.数学运算：两条平行线间的距离公式的应用4.数学建模：距离公式教学重难点重点：理解和掌握两条平行线间的距离公式难点：应用距离公式解决综合问题课前准备多媒体教学环节时间安排教师活动学生活动设计意图批注2min35min3min一、复习回顾，情景导入1.点到直线的距离公式是什么？2.怎样利用点到直线的距离公式推导出两条平行直线间的距离？二、探索新知探究一两条平行直线间的距离问题1.两条平行直线间的距离是怎样定义的？答案：夹在两平行线间的公垂线段的长问题2.怎样求两平行线间的公垂线段的长答案：先求出两个垂足，再利用两点间距离公式求解.答案：先从一条直线上取一个点，求这个点到直线的距离就是这两条平行直线间的距离这时让学生按照上述方法得到两条平行直线间的距离结论如下：求两条平行直线间的距离就转化为点到直线的距离题型一、求两条平行直线间的距离例1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得，由平行线间距离公式可得：它们之间的距离为，故选：C变式训练：(1)两平行直线，之间的距离为（） B．3 C. D．【答案】A【详解】解：由题意得：直线，，，两直线为平行直线.直线两平行直线之间的距离为．故选：A(2)已知：，：，则与之间的距离为__________．【答案】【详解】解：∵：，：，则与之间的距离为，故答案为：．题型二、已知两条平行直线间的距离，求参数例2.已知两平行直线与的距离为，则实数的值是（）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：将直线整理得，所以平行线间的距离公式得直线与的距离为，解得故选：D变式训练：(1)(多选)若两平行直线3x-2y-1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则实数c的值是（）A．2 B．-4C．5 D．-6【答案】AD【详解】依题意知，，解得a＝-4，c≠-2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为，又两平行线之间的距离为，根据两平行线间的距离公式可得：，解得c＝2或-6.选项AD正确，选项BC错误.故选：AD.(2)两平行直线与间的距离为3，则___________.【答案】或48【详解】∵，∴，∴.∴，解得或.∴或.故答案为：-12或48.题型三、应用例3.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2间的距离为5，求l1，l2的方程．[解]若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1与l2的斜率为k，由斜截式得l1的方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，由点斜式可得l2的方程为y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0.在直线l1上取点A(0,1)，则点A到直线l2的距离d＝eq\f(|1＋5k|,\r(1＋k2))＝5，∴25k2＋10k＋1＝25k2＋25，∴k＝eq\f(12,5).∴l1的方程为12x－5y＋5＝0，l2的方程为12x－5y－60＝0.若直线l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x＝0，l2的方程为x＝5，它们之间的距离为5，满足条件．则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0；l1：x＝0，l2：x＝5.变式训练：已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．思路探究：先求出正方形中心坐标，利用正方形中心到四边的距离相等及另外三边与已知边l平行或垂直求解．[解]设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2＝0，,x＋y＋1＝0))得正方形的中心坐标为P(－1,0)，由点P到两直线l，l1的距离相等，得eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))＝eq\f(|－1＋c|,\r(12＋32))，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.又正方形另两边所在直线与l垂直，∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0.∵正方形中心到四条边的距离相等，∴eq\f(|－3＋a|,\r(32＋－12))＝eq\f(|－1－5|,\r(12＋32))，得a＝9或a＝－3，∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0.∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0.三、小结点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长度公式点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))作业课本79页练习1.2.3.学生思考，独立完成，给出答案师生共同完成师生共同完成师生共同完成师生共同完成学生独立完成师生共同完成师生共同完成学生独立完成学生独立完成师生共同完成学生独立完成学生总结，老师补充先复习上节课的内容，直接提出问题，引入本节新课。一系列的问题，引导学生思考，从而自然得到两条平行直线的距离，培养学生的逻辑思维能力.巩固公式记忆公式灵活运用公式灵活运用公式，加强计算能力，培养学生的转化思想学生独立完成，更好的培养学生的独立