理论力学大作业-均布载荷悬索桥几何形状的研究

均布载荷下悬索桥几何形状的研究摘要 本文分别以两种模式下的均布载荷情形为出发点，研究了悬索桥的主缆几何形状。 针对沿索长均匀分布的载荷，此时可将悬索桥简化为悬挂于重力场下的一条柔索。取柔索最低点（设为C）为坐标原点，建立平面直角坐标系，在索上任取一点（不包括最低点），设该点为，以这一点到柔索最低点的一小段为隔离体进行受力分析，由力的平衡方程求解积分可得x与s（到C之间的索长）之间的关系，再将所得关系式回代到之前建立的常微分方程中，则可求得y与x之间的关系，满足悬链线方程。关系式中的未知参数有载荷集度w和最低点水平拉力，考虑到在工程实际中不易测量，我们建立了超越方程，并代入生活中的实际参数使用Matlab用试算法计算，最后绘出悬索桥的形状。 针对沿水平方向均匀分布的载荷，即考虑悬索桥的负载情况时，同样建立平面直角坐标系选取研究对象进行受力分析，通过类似的过程我们最后得出在此情况下悬索桥呈抛物线形状。关键词：悬链线方程，载荷集度，试算法一、背景介绍：悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构主要承重构件的桥梁。悬索桥是以承受拉力的缆索或链索作为主要承重构件的桥梁，由悬索、索塔、锚碇、吊杆、桥面系等部分组成。悬索桥的主要承重构件是悬索，它主要承受拉力，一般用抗拉强度高的钢丝、钢缆等制作。其缆索几何形状由力的平衡条件决定，一般接近抛物线。悬索桥中最大的力是悬索中的张力和塔架中的压力。假如在计算时忽视悬索的重量的话，那么悬索形成一个双曲线。这样计算悬索桥的过程就变得非常简单了。二、模型建立及求解：2.1模型的假设 本文中，我们设定悬索为理想的柔索，因此，柔索仅承受轴向拉力。悬索悬挂于重力场，单位长度承载铅垂方向的力为w，即此时悬索桥不加任何负载，仅有自身重力导致其下垂。若要考虑悬索桥的桥面的负载，悬索的重量远小于桥面道路重量，可忽略不计，这时悬索受到沿水平方向均匀分布的载荷。因此我们对于悬索桥几何形状的研究从如下两个情形来考虑：不考虑悬索负载，仅有自身悬索重量；考虑悬索桥道路负载，且道路负载沿水平方向均匀分布。2.2模型一：沿索长均布载荷的悬索桥形状2.2.1模型建立(a)(b) 设载荷沿索长均匀分布，载荷集度为w，如图a所示，取悬索最低点C为坐标原点，建立Cxy坐标系，绳上任取一点D(x,y)，取隔离体CD段，画出图b所示受力图，由力的平衡方程可得 即（1-1）故（a）又所以积分可得（b）其中为反双曲正弦函数，C1为积分常数。存在边界条件：s=0时，x=0。代边界条件入（b）式，求出积分常数C1=0。故（b）式变为 即 （1-2）为双曲函数，将（1-2）式代入（a）式得到 由此可得 （1-3）上式表明，当载荷沿绳索均匀分布时，悬索为悬链线形状。2.2.2模型一的求解 考虑到在工程实际中不易测量，为了使上述公式得以运用于实际中，我们利用悬索桥的水平距离和集度负载来求解，求解的具体方法如下：，求a、b的数值可利用式（1-3），即：（1-4）在计算悬索桥形状时，需要首先求出悬索最低点的水平拉力（或绳索上任意一点拉力的水平分量），但是计算要解超越方程。我们组采用试算法由下式求出（1-5）通过对于初始量的赋值，用Matlab计算得出后，并用Matlab作图得：2.3模型二：沿水平均布载荷的悬索桥形状2.3.1模型建立 若要考虑悬索桥的桥面的负载，悬索的重量远小于桥面道路重量，绳索完全拉紧，这时悬索受到沿水平方向均匀分布的载荷w，w表示载荷集度，其量纲为N/m。选择绳索最低点C为坐标原点，建立Cxy坐标系，C到绳上任意一点D(x,y)的绳索部分承受的载荷总共为W=wx。 取绳索的CD段为隔离体，如图b所示，由力平衡方程，求出，故D点的张力（2-1）图b中，合力W作用线与C、D两点在水平方向上为等距离，由得到 整理上式，进而求得绳索形状方程 （2-2）由式（2-2）可知，在水平均布载荷作用下，悬索呈抛物线形状。2.3.2模型二的求解 类似于模型一，我们代入生活中悬索桥的实际数据，利用式（2-2）得出悬索桥的形状，并使用Matlab软件作图如下：三、心得体会：通过本次大作业，我们小组每位成员都感到收获颇丰。从初期无从下手时的疑惑，到灵感突现时的兴奋，再到遇到难题时的无助，以及查阅相关资料后的恍然大悟，我们经历了一个全身心投入去发现、探索的过程。从作业中我们不仅增长了知识，还总结出一些解决此类问题中所需要的能力和方法：1.要特别注意理论力学基本概念、基本理论以及解决问题的基本方法。2.要有意识地培养和锻炼对实际问题进行科学抽象建立力学模型并应用理论力学的方法加以解决的能力。3.要有一定的数学解题能力。4.要有快速从外部资料中查找到所需内容的能力。5.要积极主动地培养创新意识和创新能力。6.要特别注重团队意识和团队精神，发挥团队优势。7.要有运用计算机解决问题的能力和意识。 虽然在完成大作业的过程中遇到了挫折并借助了外部资料，但我们依然充满信心去迎接下一次挑战。这次宝贵的作业经历将成为我们学习过程中的垫脚石，激励我们不断前进。四、附录Matlab程序代码：模型一：clear;clf;T0=180000;w=2000;x=-30:0.1:30;y=T0/w*(cosh(w/T0*x)-1);plot(x,y)axis([-3030-410])clear;w=2000;ya=5;yb=5;L=60;T=20:20:1000000fori=1:length(T)a(i)=T(i)/w*(acosh(w*ya/T(i)+1)+acosh(w*yb/T(i)+1))-L;endT(find(a==-1*min(abs(a))))模型二：clear;clf;T0=180000;w=2000;x=-30:0.1:30